Pré-calcul Exemples

$f (x) = x^{4} - 3 x^{3} - 6 x^{2} + 6 x + 8$

Étape 1

Si une fonction polynomiale a des coefficients entiers, chaque zéro rationnel aura la forme $\frac{p}{q}$ où $p$ est un facteur de la constante et $q$ est un facteur du coefficient directeur.

$p = \pm 1, \pm 2, \pm 4, \pm 8$

$q = \pm 1$

Étape 2

Déterminez chaque combinaison de $\pm \frac{p}{q}$ . Il s’agit des racines possibles de la fonction polynomiale.

$\pm 1, \pm 2, \pm 4, \pm 8$

Étape 3

Remplacez les racines possibles une par une dans le polynôme afin de déterminer les racines réelles. Simplifiez pour vérifier que la valeur est $0$ , ce qui signifie que c’est une racine.

${(- 1)}^{4} - 3 {(- 1)}^{3} - 6 {(- 1)}^{2} + 6 (- 1) + 8$

Étape 4

Simplifiez l’expression. Dans ce cas, l’expression est égale à $0$ donc $x = - 1$ est une racine du polynôme.

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Étape 4.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.1.1

Élevez $- 1$ à la puissance $4$ .

$1 - 3 {(- 1)}^{3} - 6 {(- 1)}^{2} + 6 (- 1) + 8$

Étape 4.1.2

Élevez $- 1$ à la puissance $3$ .

$1 - 3 \cdot - 1 - 6 {(- 1)}^{2} + 6 (- 1) + 8$

Étape 4.1.3

Multipliez $- 3$ par $- 1$ .

$1 + 3 - 6 {(- 1)}^{2} + 6 (- 1) + 8$

Étape 4.1.4

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$1 + 3 - 6 \cdot 1 + 6 (- 1) + 8$

Étape 4.1.5

Multipliez $- 6$ par $1$ .

$1 + 3 - 6 + 6 (- 1) + 8$

Étape 4.1.6

Multipliez $6$ par $- 1$ .

$1 + 3 - 6 - 6 + 8$

Étape 4.2

Simplifiez en ajoutant et en soustrayant.

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Étape 4.2.1

Additionnez $1$ et $3$ .

$4 - 6 - 6 + 8$

Étape 4.2.2

Soustrayez $6$ de $4$ .

$- 2 - 6 + 8$

Étape 4.2.3

Soustrayez $6$ de $- 2$ .

$- 8 + 8$

Étape 4.2.4

Additionnez $- 8$ et $8$ .

$0$

Étape 5

Comme $- 1$ est une racine connue, divisez le polynôme par $x + 1$ pour déterminer le polynôme quotient. Ce polynôme peut alors être utilisé pour déterminer les racines restantes.

$\frac{x^{4} - 3 x^{3} - 6 x^{2} + 6 x + 8}{x + 1}$

Étape 6

Ensuite, déterminez les racines du polynôme restant. Le degré du polynôme a été réduit de $1$ .

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Étape 6.1

Placez les nombres qui représentent le diviseur et le dividende dans une configuration de type division.

$- 1$	$1$	$- 3$	$- 6$	$6$	$8$

Étape 6.2

Le premier nombre dans le dividende $(1)$ est placé à la première position de la zone de résultat (sous la droite horizontale).

$- 1$	$1$	$- 3$	$- 6$	$6$	$8$

	$1$

Étape 6.3

Multipliez l’entrée la plus récente dans le résultat $(1)$ par le diviseur $(- 1)$ et placez le résultat de $(- 1)$ sous le terme suivant dans le dividende $(- 3)$ .

$- 1$	$1$	$- 3$	$- 6$	$6$	$8$
		$- 1$
	$1$

Étape 6.4

Ajoutez le produit de la multiplication et le nombre du dividende et placez le résultat à la position suivante sur la ligne de résultat.

$- 1$	$1$	$- 3$	$- 6$	$6$	$8$
		$- 1$
	$1$	$- 4$

Étape 6.5

Multipliez l’entrée la plus récente dans le résultat $(- 4)$ par le diviseur $(- 1)$ et placez le résultat de $(4)$ sous le terme suivant dans le dividende $(- 6)$ .

$- 1$	$1$	$- 3$	$- 6$	$6$	$8$
		$- 1$	$4$
	$1$	$- 4$

Étape 6.6

Ajoutez le produit de la multiplication et le nombre du dividende et placez le résultat à la position suivante sur la ligne de résultat.

$- 1$	$1$	$- 3$	$- 6$	$6$	$8$
		$- 1$	$4$
	$1$	$- 4$	$- 2$

Étape 6.7

Multipliez l’entrée la plus récente dans le résultat $(- 2)$ par le diviseur $(- 1)$ et placez le résultat de $(2)$ sous le terme suivant dans le dividende $(6)$ .

$- 1$	$1$	$- 3$	$- 6$	$6$	$8$
		$- 1$	$4$	$2$
	$1$	$- 4$	$- 2$

Étape 6.8

Ajoutez le produit de la multiplication et le nombre du dividende et placez le résultat à la position suivante sur la ligne de résultat.

$- 1$	$1$	$- 3$	$- 6$	$6$	$8$
		$- 1$	$4$	$2$
	$1$	$- 4$	$- 2$	$8$

Étape 6.9

Multipliez l’entrée la plus récente dans le résultat $(8)$ par le diviseur $(- 1)$ et placez le résultat de $(- 8)$ sous le terme suivant dans le dividende $(8)$ .

$- 1$	$1$	$- 3$	$- 6$	$6$	$8$
		$- 1$	$4$	$2$	$- 8$
	$1$	$- 4$	$- 2$	$8$

Étape 6.10

Ajoutez le produit de la multiplication et le nombre du dividende et placez le résultat à la position suivante sur la ligne de résultat.

$- 1$	$1$	$- 3$	$- 6$	$6$	$8$
		$- 1$	$4$	$2$	$- 8$
	$1$	$- 4$	$- 2$	$8$	$0$

Étape 6.11

Tous les nombres à l’exception du dernier deviennent les coefficients du polynôme quotient. La dernière valeur sur la ligne de résultat est le reste.

$1 x^{3} + - 4 x^{2} + (- 2) x + 8$

Étape 6.12

Simplifiez le polynôme quotient.

$x^{3} - 4 x^{2} - 2 x + 8$

Étape 7

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

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Étape 7.1

Regroupez les deux premiers termes et les deux derniers termes.

$(x + 1) (x^{3} - 4 x^{2}) - 2 x + 8$

Étape 7.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

$(x + 1) + x^{2} (x - 4) - 2 (x - 4)$

$(x + 1) x^{2} (x - 4) - 2 (x - 4)$

Étape 8

Factorisez le polynôme en factorisant le plus grand facteur commun, $x - 4$ .

$(x + 1) (x - 4) (x^{2} - 2)$

Étape 9

Factorisez le côté gauche de l’équation.

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Étape 9.1

Regroupez les termes.

$- 3 x^{3} + 6 x + x^{4} - 6 x^{2} + 8 = 0$

Étape 9.2

Factorisez $- 3 x$ à partir de $- 3 x^{3} + 6 x$ .

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Étape 9.2.1

Factorisez $- 3 x$ à partir de $- 3 x^{3}$ .

$- 3 x \cdot x^{2} + 6 x + x^{4} - 6 x^{2} + 8 = 0$

Étape 9.2.2

Factorisez $- 3 x$ à partir de $6 x$ .

$- 3 x \cdot x^{2} - 3 x \cdot - 2 + x^{4} - 6 x^{2} + 8 = 0$

Étape 9.2.3

Factorisez $- 3 x$ à partir de $- 3 x (x^{2}) - 3 x (- 2)$ .

$- 3 x (x^{2} - 2) + x^{4} - 6 x^{2} + 8 = 0$

Étape 9.3

Réécrivez $x^{4}$ comme ${(x^{2})}^{2}$ .

$- 3 x (x^{2} - 2) + {(x^{2})}^{2} - 6 x^{2} + 8 = 0$

Étape 9.4

Laissez $u = x^{2}$ . Remplacez toutes les occurrences de $x^{2}$ par $u$ .

$- 3 x (x^{2} - 2) + u^{2} - 6 u + 8 = 0$

Étape 9.5

Factorisez $u^{2} - 6 u + 8$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 9.5.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $8$ et dont la somme est $- 6$ .

$- 4, - 2$

Étape 9.5.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$- 3 x (x^{2} - 2) + (u - 4) (u - 2) = 0$

Étape 9.6

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x^{2}$ .

$- 3 x (x^{2} - 2) + (x^{2} - 4) (x^{2} - 2) = 0$

Étape 9.7

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$- 3 x (x^{2} - 2) + (x^{2} - 2^{2}) (x^{2} - 2) = 0$

Étape 9.8

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = x$ et $b = 2$ .

$- 3 x (x^{2} - 2) + (x + 2) (x - 2) (x^{2} - 2) = 0$

Étape 9.9

Factorisez $x^{2} - 2$ à partir de $- 3 x (x^{2} - 2) + (x + 2) (x - 2) (x^{2} - 2)$ .

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Étape 9.9.1

Factorisez $x^{2} - 2$ à partir de $- 3 x (x^{2} - 2)$ .

$(x^{2} - 2) (- 3 x) + (x + 2) (x - 2) (x^{2} - 2) = 0$

Étape 9.9.2

Factorisez $x^{2} - 2$ à partir de $(x + 2) (x - 2) (x^{2} - 2)$ .

$(x^{2} - 2) (- 3 x) + (x^{2} - 2) ((x + 2) (x - 2)) = 0$

Étape 9.9.3

Factorisez $x^{2} - 2$ à partir de $(x^{2} - 2) (- 3 x) + (x^{2} - 2) ((x + 2) (x - 2))$ .

$(x^{2} - 2) (- 3 x + (x + 2) (x - 2)) = 0$

Étape 9.10

Développez $(x + 2) (x - 2)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 9.10.1

Appliquez la propriété distributive.

$(x^{2} - 2) (- 3 x + x (x - 2) + 2 (x - 2)) = 0$

Étape 9.10.2

Appliquez la propriété distributive.

$(x^{2} - 2) (- 3 x + x \cdot x + x \cdot - 2 + 2 (x - 2)) = 0$

Étape 9.10.3

Appliquez la propriété distributive.

$(x^{2} - 2) (- 3 x + x \cdot x + x \cdot - 2 + 2 x + 2 \cdot - 2) = 0$

Étape 9.11

Associez les termes opposés dans $x \cdot x + x \cdot - 2 + 2 x + 2 \cdot - 2$ .

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Étape 9.11.1

Réorganisez les facteurs dans les termes $x \cdot - 2$ et $2 x$ .

$(x^{2} - 2) (- 3 x + x \cdot x - 2 x + 2 x + 2 \cdot - 2) = 0$

Étape 9.11.2

Additionnez $- 2 x$ et $2 x$ .

$(x^{2} - 2) (- 3 x + x \cdot x + 0 + 2 \cdot - 2) = 0$

Étape 9.11.3

Additionnez $x \cdot x$ et $0$ .

$(x^{2} - 2) (- 3 x + x \cdot x + 2 \cdot - 2) = 0$

Étape 9.12

Simplifiez chaque terme.

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Étape 9.12.1

Multipliez $x$ par $x$ .

$(x^{2} - 2) (- 3 x + x^{2} + 2 \cdot - 2) = 0$

Étape 9.12.2

Multipliez $2$ par $- 2$ .

$(x^{2} - 2) (- 3 x + x^{2} - 4) = 0$

Étape 9.13

Remettez les termes dans l’ordre.

$(x^{2} - 2) (x^{2} - 3 x - 4) = 0$

Étape 9.14

Factorisez.

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Étape 9.14.1

Factorisez $x^{2} - 3 x - 4$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 9.14.1.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $- 4$ et dont la somme est $- 3$ .

$- 4, 1$

Étape 9.14.1.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$(x^{2} - 2) ((x - 4) (x + 1)) = 0$

Étape 9.14.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$(x^{2} - 2) (x - 4) (x + 1) = 0$

Étape 10

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x^{2} - 2 = 0$

$x - 4 = 0$

$x + 1 = 0$

Étape 11

Définissez $x^{2} - 2$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 11.1

Définissez $x^{2} - 2$ égal à $0$ .

$x^{2} - 2 = 0$

Étape 11.2

Résolvez $x^{2} - 2 = 0$ pour $x$ .

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Étape 11.2.1

Ajoutez $2$ aux deux côtés de l’équation.

$x^{2} = 2$

Étape 11.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{2}$

Étape 11.2.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 11.2.3.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$x = \sqrt{2}$

Étape 11.2.3.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$x = - \sqrt{2}$

Étape 11.2.3.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$x = \sqrt{2}, - \sqrt{2}$

Étape 12

Définissez $x - 4$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 12.1

Définissez $x - 4$ égal à $0$ .

$x - 4 = 0$

Étape 12.2

Ajoutez $4$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 4$

Étape 13

Définissez $x + 1$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 13.1

Définissez $x + 1$ égal à $0$ .

$x + 1 = 0$

Étape 13.2

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$x = - 1$

Étape 14

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $(x^{2} - 2) (x - 4) (x + 1) = 0$ vraie.

$x = \sqrt{2}, - \sqrt{2}, 4, - 1$

Étape 15

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$x = \sqrt{2}, - \sqrt{2}, 4, - 1$

Forme décimale :

$x = 1.41421356 \dots, - 1.41421356 \dots, 4, - 1$

Étape 16