Pré-calcul Exemples

$f (x) = x^{3} - x^{2} + 4 x - 4$

Étape 1

Si une fonction polynomiale a des coefficients entiers, chaque zéro rationnel aura la forme $\frac{p}{q}$ où $p$ est un facteur de la constante et $q$ est un facteur du coefficient directeur.

$p = \pm 1, \pm 2, \pm 4$

$q = \pm 1$

Étape 2

Déterminez chaque combinaison de $\pm \frac{p}{q}$ . Il s’agit des racines possibles de la fonction polynomiale.

$\pm 1, \pm 2, \pm 4$

Étape 3

Remplacez les racines possibles une par une dans le polynôme afin de déterminer les racines réelles. Simplifiez pour vérifier que la valeur est $0$ , ce qui signifie que c’est une racine.

${(1)}^{3} - {(1)}^{2} + 4 (1) - 4$

Étape 4

Simplifiez l’expression. Dans ce cas, l’expression est égale à $0$ donc $x = 1$ est une racine du polynôme.

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Étape 4.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.1.1

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$1 - {(1)}^{2} + 4 (1) - 4$

Étape 4.1.2

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$1 - 1 \cdot 1 + 4 (1) - 4$

Étape 4.1.3

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$1 - 1 + 4 (1) - 4$

Étape 4.1.4

Multipliez $4$ par $1$ .

$1 - 1 + 4 - 4$

Étape 4.2

Simplifiez en ajoutant et en soustrayant.

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Étape 4.2.1

Soustrayez $1$ de $1$ .

$0 + 4 - 4$

Étape 4.2.2

Additionnez $0$ et $4$ .

$4 - 4$

Étape 4.2.3

Soustrayez $4$ de $4$ .

$0$

Étape 5

Comme $1$ est une racine connue, divisez le polynôme par $x - 1$ pour déterminer le polynôme quotient. Ce polynôme peut alors être utilisé pour déterminer les racines restantes.

$\frac{x^{3} - x^{2} + 4 x - 4}{x - 1}$

Étape 6

Ensuite, déterminez les racines du polynôme restant. Le degré du polynôme a été réduit de $1$ .

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Étape 6.1

Placez les nombres qui représentent le diviseur et le dividende dans une configuration de type division.

$1$	$1$	$- 1$	$4$	$- 4$

Étape 6.2

Le premier nombre dans le dividende $(1)$ est placé à la première position de la zone de résultat (sous la droite horizontale).

$1$	$1$	$- 1$	$4$	$- 4$

	$1$

Étape 6.3

Multipliez l’entrée la plus récente dans le résultat $(1)$ par le diviseur $(1)$ et placez le résultat de $(1)$ sous le terme suivant dans le dividende $(- 1)$ .

$1$	$1$	$- 1$	$4$	$- 4$
		$1$
	$1$

Étape 6.4

Ajoutez le produit de la multiplication et le nombre du dividende et placez le résultat à la position suivante sur la ligne de résultat.

$1$	$1$	$- 1$	$4$	$- 4$
		$1$
	$1$	$0$

Étape 6.5

Multipliez l’entrée la plus récente dans le résultat $(0)$ par le diviseur $(1)$ et placez le résultat de $(0)$ sous le terme suivant dans le dividende $(4)$ .

$1$	$1$	$- 1$	$4$	$- 4$
		$1$	$0$
	$1$	$0$

Étape 6.6

Ajoutez le produit de la multiplication et le nombre du dividende et placez le résultat à la position suivante sur la ligne de résultat.

$1$	$1$	$- 1$	$4$	$- 4$
		$1$	$0$
	$1$	$0$	$4$

Étape 6.7

Multipliez l’entrée la plus récente dans le résultat $(4)$ par le diviseur $(1)$ et placez le résultat de $(4)$ sous le terme suivant dans le dividende $(- 4)$ .

$1$	$1$	$- 1$	$4$	$- 4$
		$1$	$0$	$4$
	$1$	$0$	$4$

Étape 6.8

Ajoutez le produit de la multiplication et le nombre du dividende et placez le résultat à la position suivante sur la ligne de résultat.

$1$	$1$	$- 1$	$4$	$- 4$
		$1$	$0$	$4$
	$1$	$0$	$4$	$0$

Étape 6.9

Tous les nombres à l’exception du dernier deviennent les coefficients du polynôme quotient. La dernière valeur sur la ligne de résultat est le reste.

$1 x^{2} + 0 x + 4$

Étape 6.10

Simplifiez le polynôme quotient.

$x^{2} + 4$

Étape 7

Résolvez l’équation pour déterminer toute racine restante.

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Étape 7.1

Soustrayez $4$ des deux côtés de l’équation.

$x^{2} = - 4$

Étape 7.2

Prenez la racine spécifiée des deux côtés de l’équation pour éliminer l’exposant du côté gauche.

$x = \pm \sqrt{- 4}$

Étape 7.3

Simplifiez $\pm \sqrt{- 4}$ .

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Étape 7.3.1

Réécrivez $- 4$ comme $- 1 (4)$ .

$x = \pm \sqrt{- 1 (4)}$

Étape 7.3.2

Réécrivez $\sqrt{- 1 (4)}$ comme $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{4}$ .

$x = \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{4}$

Étape 7.3.3

Réécrivez $\sqrt{- 1}$ comme $i$ .

$x = \pm i \cdot \sqrt{4}$

Étape 7.3.4

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$x = \pm i \cdot \sqrt{2^{2}}$

Étape 7.3.5

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$x = \pm i \cdot 2$

Étape 7.3.6

Déplacez $2$ à gauche de $i$ .

$x = \pm 2 i$

Étape 7.4

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 7.4.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$x = 2 i$

Étape 7.4.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$x = - 2 i$

Étape 7.4.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$x = 2 i, - 2 i$

Étape 8

Le polynôme peut être écrit comme un ensemble de facteurs linéaires.

$(x - 1) (x - 2 i) (x + 2 i)$

Étape 9

Ce sont les racines (zéros) du polynôme $x^{3} - x^{2} + 4 x - 4$ .

$x = 1, 2 i, - 2 i$

Étape 10