Pré-calcul Exemples

$f (x) = 2 x^{3} - 4 x^{2} - 14 x + 28$

Étape 1

Si une fonction polynomiale a des coefficients entiers, chaque zéro rationnel aura la forme $\frac{p}{q}$ où $p$ est un facteur de la constante et $q$ est un facteur du coefficient directeur.

$p = \pm 1, \pm 2, \pm 4, \pm 7, \pm 14, \pm 28$

$q = \pm 1, \pm 2$

Étape 2

Déterminez chaque combinaison de $\pm \frac{p}{q}$ . Il s’agit des racines possibles de la fonction polynomiale.

$\pm 1, \pm \frac{1}{2}, \pm 2, \pm 4, \pm 7, \pm \frac{7}{2}, \pm 14, \pm 28$

Étape 3

Remplacez les racines possibles une par une dans le polynôme afin de déterminer les racines réelles. Simplifiez pour vérifier que la valeur est $0$ , ce qui signifie que c’est une racine.

$2 {(2)}^{3} - 4 {(2)}^{2} - 14 \cdot 2 + 28$

Étape 4

Simplifiez l’expression. Dans ce cas, l’expression est égale à $0$ donc $x = 2$ est une racine du polynôme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1.1

Multipliez $2$ par ${(2)}^{3}$ en additionnant les exposants.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1.1.1

Multipliez $2$ par ${(2)}^{3}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1.1.1.1

Élevez $2$ à la puissance $1$ .

$2^{1} {(2)}^{3} - 4 {(2)}^{2} - 14 \cdot 2 + 28$

Étape 4.1.1.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$2^{1 + 3} - 4 {(2)}^{2} - 14 \cdot 2 + 28$

Étape 4.1.1.2

Additionnez $1$ et $3$ .

$2^{4} - 4 {(2)}^{2} - 14 \cdot 2 + 28$

Étape 4.1.2

Élevez $2$ à la puissance $4$ .

$16 - 4 {(2)}^{2} - 14 \cdot 2 + 28$

Étape 4.1.3

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$16 - 4 \cdot 4 - 14 \cdot 2 + 28$

Étape 4.1.4

Multipliez $- 4$ par $4$ .

$16 - 16 - 14 \cdot 2 + 28$

Étape 4.1.5

Multipliez $- 14$ par $2$ .

$16 - 16 - 28 + 28$

Étape 4.2

Simplifiez en ajoutant et en soustrayant.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.2.1

Soustrayez $16$ de $16$ .

$0 - 28 + 28$

Étape 4.2.2

Soustrayez $28$ de $0$ .

$- 28 + 28$

Étape 4.2.3

Additionnez $- 28$ et $28$ .

$0$

Étape 5

Comme $2$ est une racine connue, divisez le polynôme par $x - 2$ pour déterminer le polynôme quotient. Ce polynôme peut alors être utilisé pour déterminer les racines restantes.

$\frac{2 x^{3} - 4 x^{2} - 14 x + 28}{x - 2}$

Étape 6

Ensuite, déterminez les racines du polynôme restant. Le degré du polynôme a été réduit de $1$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.1

Placez les nombres qui représentent le diviseur et le dividende dans une configuration de type division.

$2$	$2$	$- 4$	$- 14$	$28$

Étape 6.2

Le premier nombre dans le dividende $(2)$ est placé à la première position de la zone de résultat (sous la droite horizontale).

$2$	$2$	$- 4$	$- 14$	$28$

	$2$

Étape 6.3

Multipliez l’entrée la plus récente dans le résultat $(2)$ par le diviseur $(2)$ et placez le résultat de $(4)$ sous le terme suivant dans le dividende $(- 4)$ .

$2$	$2$	$- 4$	$- 14$	$28$
		$4$
	$2$

Étape 6.4

Ajoutez le produit de la multiplication et le nombre du dividende et placez le résultat à la position suivante sur la ligne de résultat.

$2$	$2$	$- 4$	$- 14$	$28$
		$4$
	$2$	$0$

Étape 6.5

Multipliez l’entrée la plus récente dans le résultat $(0)$ par le diviseur $(2)$ et placez le résultat de $(0)$ sous le terme suivant dans le dividende $(- 14)$ .

$2$	$2$	$- 4$	$- 14$	$28$
		$4$	$0$
	$2$	$0$

Étape 6.6

Ajoutez le produit de la multiplication et le nombre du dividende et placez le résultat à la position suivante sur la ligne de résultat.

$2$	$2$	$- 4$	$- 14$	$28$
		$4$	$0$
	$2$	$0$	$- 14$

Étape 6.7

Multipliez l’entrée la plus récente dans le résultat $(- 14)$ par le diviseur $(2)$ et placez le résultat de $(- 28)$ sous le terme suivant dans le dividende $(28)$ .

$2$	$2$	$- 4$	$- 14$	$28$
		$4$	$0$	$- 28$
	$2$	$0$	$- 14$

Étape 6.8

Ajoutez le produit de la multiplication et le nombre du dividende et placez le résultat à la position suivante sur la ligne de résultat.

$2$	$2$	$- 4$	$- 14$	$28$
		$4$	$0$	$- 28$
	$2$	$0$	$- 14$	$0$

Étape 6.9

Tous les nombres à l’exception du dernier deviennent les coefficients du polynôme quotient. La dernière valeur sur la ligne de résultat est le reste.

$2 x^{2} + 0 x - 14$

Étape 6.10

Simplifiez le polynôme quotient.

$2 x^{2} - 14$

Étape 7

Factorisez $2$ à partir de $2 x^{2} - 14$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.1

Factorisez $2$ à partir de $2 x^{2}$ .

$(x - 2) (2 (x^{2}) - 14)$

Étape 7.2

Factorisez $2$ à partir de $- 14$ .

$(x - 2) (2 x^{2} + 2 \cdot - 7)$

Étape 7.3

Factorisez $2$ à partir de $2 x^{2} + 2 \cdot - 7$ .

$(x - 2) (2 (x^{2} - 7))$

Étape 8

Factorisez le côté gauche de l’équation.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.1

Factorisez $2$ à partir de $2 x^{3} - 4 x^{2} - 14 x + 28$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.1.1

Factorisez $2$ à partir de $2 x^{3}$ .

$2 (x^{3}) - 4 x^{2} - 14 x + 28 = 0$

Étape 8.1.2

Factorisez $2$ à partir de $- 4 x^{2}$ .

$2 (x^{3}) + 2 (- 2 x^{2}) - 14 x + 28 = 0$

Étape 8.1.3

Factorisez $2$ à partir de $- 14 x$ .

$2 (x^{3}) + 2 (- 2 x^{2}) + 2 (- 7 x) + 28 = 0$

Étape 8.1.4

Factorisez $2$ à partir de $28$ .

$2 x^{3} + 2 (- 2 x^{2}) + 2 (- 7 x) + 2 \cdot 14 = 0$

Étape 8.1.5

Factorisez $2$ à partir de $2 x^{3} + 2 (- 2 x^{2})$ .

$2 (x^{3} - 2 x^{2}) + 2 (- 7 x) + 2 \cdot 14 = 0$

Étape 8.1.6

Factorisez $2$ à partir de $2 (x^{3} - 2 x^{2}) + 2 (- 7 x)$ .

$2 (x^{3} - 2 x^{2} - 7 x) + 2 \cdot 14 = 0$

Étape 8.1.7

Factorisez $2$ à partir de $2 (x^{3} - 2 x^{2} - 7 x) + 2 \cdot 14$ .

$2 (x^{3} - 2 x^{2} - 7 x + 14) = 0$

Étape 8.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.2.1

Regroupez les deux premiers termes et les deux derniers termes.

$2 ((x^{3} - 2 x^{2}) - 7 x + 14) = 0$

Étape 8.2.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

$2 (x^{2} (x - 2) - 7 (x - 2)) = 0$

Étape 8.3

Factorisez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.3.1

Factorisez le polynôme en factorisant le plus grand facteur commun, $x - 2$ .

$2 ((x - 2) (x^{2} - 7)) = 0$

Étape 8.3.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$2 (x - 2) (x^{2} - 7) = 0$

Étape 9

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x - 2 = 0$

$x^{2} - 7 = 0$

Étape 10

Définissez $x - 2$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 10.1

Définissez $x - 2$ égal à $0$ .

$x - 2 = 0$

Étape 10.2

Ajoutez $2$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 2$

Étape 11

Définissez $x^{2} - 7$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 11.1

Définissez $x^{2} - 7$ égal à $0$ .

$x^{2} - 7 = 0$

Étape 11.2

Résolvez $x^{2} - 7 = 0$ pour $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 11.2.1

Ajoutez $7$ aux deux côtés de l’équation.

$x^{2} = 7$

Étape 11.2.2

Prenez la racine spécifiée des deux côtés de l’équation pour éliminer l’exposant du côté gauche.

$x = \pm \sqrt{7}$

Étape 11.2.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 11.2.3.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$x = \sqrt{7}$

Étape 11.2.3.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$x = - \sqrt{7}$

Étape 11.2.3.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$x = \sqrt{7}, - \sqrt{7}$

Étape 12

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $2 (x - 2) (x^{2} - 7) = 0$ vraie.

$x = 2, \sqrt{7}, - \sqrt{7}$

Étape 13

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$x = 2, \sqrt{7}, - \sqrt{7}$

Forme décimale :

$x = 2, 2.64575131 \dots, - 2.64575131 \dots$

Étape 14