Pré-calcul Exemples

 $\begin{matrix} Side & Angle \\ \begin{matrix} b = & 14 \\ c = & 17 \\ a = & 11 \end{matrix} & \begin{matrix} A = \\ B = \\ C = \end{matrix} \end{matrix}$

Étape 1

Utilisez la loi des cosinus pour déterminer le côté inconnu du triangle, à partir des deux autres côtés et de l’angle inclus.

$a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c \cos (A)$

Étape 2

Résolvez l’équation.

$A = \arccos (\frac{b^{2} + c^{2} - a^{2}}{2 b c})$

Étape 3

Remplacez les valeurs connues dans l’équation.

$A = \arccos (\frac{{(14)}^{2} + {(17)}^{2} - {(11)}^{2}}{2 (14) (17)})$

Étape 4

Simplifiez les résultats.

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Étape 4.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.1.1

Élevez $14$ à la puissance $2$ .

$A = \arccos (\frac{196 + 17^{2} - 11^{2}}{2 (14) \cdot 17})$

Étape 4.1.2

Élevez $17$ à la puissance $2$ .

$A = \arccos (\frac{196 + 289 - 11^{2}}{2 (14) \cdot 17})$

Étape 4.1.3

Élevez $11$ à la puissance $2$ .

$A = \arccos (\frac{196 + 289 - 1 \cdot 121}{2 (14) \cdot 17})$

Étape 4.1.4

Multipliez $- 1$ par $121$ .

$A = \arccos (\frac{196 + 289 - 121}{2 (14) \cdot 17})$

Étape 4.1.5

Additionnez $196$ et $289$ .

$A = \arccos (\frac{485 - 121}{2 (14) \cdot 17})$

Étape 4.1.6

Soustrayez $121$ de $485$ .

$A = \arccos (\frac{364}{2 (14) \cdot 17})$

Étape 4.2

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 4.2.1

Multipliez $2$ par $14$ .

$A = \arccos (\frac{364}{28 \cdot 17})$

Étape 4.2.2

Multipliez $28$ par $17$ .

$A = \arccos (\frac{364}{476})$

Étape 4.3

Annulez le facteur commun à $364$ et $476$ .

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Étape 4.3.1

Factorisez $28$ à partir de $364$ .

$A = \arccos (\frac{28 (13)}{476})$

Étape 4.3.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 4.3.2.1

Factorisez $28$ à partir de $476$ .

$A = \arccos (\frac{28 \cdot 13}{28 \cdot 17})$

Étape 4.3.2.2

Annulez le facteur commun.

$A = \arccos (\frac{28 \cdot 13}{28 \cdot 17})$

Étape 4.3.2.3

Réécrivez l’expression.

$A = \arccos (\frac{13}{17})$

Étape 4.4

Évaluez $\arccos (\frac{13}{17})$ .

$A = 40.11916689$

Étape 5

Utilisez la loi des cosinus pour déterminer le côté inconnu du triangle, à partir des deux autres côtés et de l’angle inclus.

$b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2 a c \cos (B)$

Étape 6

Résolvez l’équation.

$B = \arccos (\frac{a^{2} + c^{2} - b^{2}}{2 a c})$

Étape 7

Remplacez les valeurs connues dans l’équation.

$B = \arccos (\frac{{(11)}^{2} + {(17)}^{2} - {(14)}^{2}}{2 (11) (17)})$

Étape 8

Simplifiez les résultats.

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Étape 8.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 8.1.1

Élevez $11$ à la puissance $2$ .

$B = \arccos (\frac{121 + 17^{2} - 14^{2}}{2 (11) \cdot 17})$

Étape 8.1.2

Élevez $17$ à la puissance $2$ .

$B = \arccos (\frac{121 + 289 - 14^{2}}{2 (11) \cdot 17})$

Étape 8.1.3

Élevez $14$ à la puissance $2$ .

$B = \arccos (\frac{121 + 289 - 1 \cdot 196}{2 (11) \cdot 17})$

Étape 8.1.4

Multipliez $- 1$ par $196$ .

$B = \arccos (\frac{121 + 289 - 196}{2 (11) \cdot 17})$

Étape 8.1.5

Additionnez $121$ et $289$ .

$B = \arccos (\frac{410 - 196}{2 (11) \cdot 17})$

Étape 8.1.6

Soustrayez $196$ de $410$ .

$B = \arccos (\frac{214}{2 (11) \cdot 17})$

Étape 8.2

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 8.2.1

Multipliez $2$ par $11$ .

$B = \arccos (\frac{214}{22 \cdot 17})$

Étape 8.2.2

Multipliez $22$ par $17$ .

$B = \arccos (\frac{214}{374})$

Étape 8.3

Annulez le facteur commun à $214$ et $374$ .

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Étape 8.3.1

Factorisez $2$ à partir de $214$ .

$B = \arccos (\frac{2 (107)}{374})$

Étape 8.3.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 8.3.2.1

Factorisez $2$ à partir de $374$ .

$B = \arccos (\frac{2 \cdot 107}{2 \cdot 187})$

Étape 8.3.2.2

Annulez le facteur commun.

$B = \arccos (\frac{2 \cdot 107}{2 \cdot 187})$

Étape 8.3.2.3

Réécrivez l’expression.

$B = \arccos (\frac{107}{187})$

Étape 8.4

Évaluez $\arccos (\frac{107}{187})$ .

$B = 55.09674167$

Étape 9

La somme de tous les angles dans un triangle est $180$ degrés.

$40.11916689 + C + 55.09674167 = 180$

Étape 10

Résolvez l’équation pour $C$ .

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Étape 10.1

Additionnez $40.11916689$ et $55.09674167$ .

$C + 95.21590857 = 180$

Étape 10.2

Déplacez tous les termes ne contenant pas $C$ du côté droit de l’équation.

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Étape 10.2.1

Soustrayez $95.21590857$ des deux côtés de l’équation.

$C = 180 - 95.21590857$

Étape 10.2.2

Soustrayez $95.21590857$ de $180$ .

$C = 84.78409142$

Étape 11

Ce sont les résultats pour tous les angles et côtés du triangle donné.

$A = 40.11916689$

$B = 55.09674167$

$C = 84.78409142$

$a = 11$

$b = 14$

$c = 17$