Pré-calcul Exemples

$\frac{x^{4} + 3 x^{2} + 1}{x (x^{2} + 1)}$

Étape 1

Divisez en utilisant la division polynomiale longue.

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Étape 1.1

Développez $x (x^{2} + 1)$ .

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Étape 1.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{x^{4} + 3 x^{2} + 1}{x \cdot x^{2} + x \cdot 1}$

Étape 1.1.2

Remettez dans l’ordre $x$ et $1$ .

$\frac{x^{4} + 3 x^{2} + 1}{x \cdot x^{2} + 1 x}$

Étape 1.1.3

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\frac{x^{4} + 3 x^{2} + 1}{x \cdot x^{2} + 1 x}$

Étape 1.1.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{x^{4} + 3 x^{2} + 1}{x^{1 + 2} + 1 x}$

Étape 1.1.5

Additionnez $1$ et $2$ .

$\frac{x^{4} + 3 x^{2} + 1}{x^{3} + 1 x}$

Étape 1.1.6

Multipliez $x$ par $1$ .

$\frac{x^{4} + 3 x^{2} + 1}{x^{3} + x}$

Étape 1.2

Définissez les polynômes à diviser. S’il n’y a pas de terme pour chaque exposant, insérez-en un avec une valeur de $0$ .

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$x$

$0$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$3 x^{2}$

$0 x$

$1$

Étape 1.3

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $x^{4}$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $x^{3}$ .

$x$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$x$

$0$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$3 x^{2}$

$0 x$

$1$

Étape 1.4

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

$x$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$x$

$0$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$3 x^{2}$

$0 x$

$1$

$x^{4}$

$0$

$x^{2}$

$0$

Étape 1.5

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $x^{4} + 0 + x^{2} + 0$

$x$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$x$

$0$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$3 x^{2}$

$0 x$

$1$

$x^{4}$

$0$

$x^{2}$

$0$

Étape 1.6

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

$x$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$x$

$0$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$3 x^{2}$

$0 x$

$1$

$x^{4}$

$0$

$x^{2}$

$0$

$2 x^{2}$

$0$

Étape 1.7

Extrayez les termes suivants du dividende d’origine dans le dividende actuel.

$x$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$x$

$0$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$3 x^{2}$

$0 x$

$1$

$x^{4}$

$0$

$x^{2}$

$0$

$2 x^{2}$

$0$

$1$

Étape 1.8

La réponse finale est le quotient plus le reste sur le diviseur.

$x + \frac{2 x^{2} + 1}{x^{3} + x}$

Étape 2

Décomposez la fraction et multipliez par le dénominateur commun.

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Étape 2.1

Factorisez $x$ à partir de $x^{3} + x$ .

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Étape 2.1.1

Factorisez $x$ à partir de $x^{3}$ .

$\frac{2 x^{2} + 1}{x \cdot x^{2} + x}$

Étape 2.1.2

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\frac{2 x^{2} + 1}{x \cdot x^{2} + x^{1}}$

Étape 2.1.3

Factorisez $x$ à partir de $x^{1}$ .

$\frac{2 x^{2} + 1}{x \cdot x^{2} + x \cdot 1}$

Étape 2.1.4

Factorisez $x$ à partir de $x \cdot x^{2} + x \cdot 1$ .

$\frac{2 x^{2} + 1}{x (x^{2} + 1)}$

Étape 2.2

Pour chaque facteur dans le dénominateur, créez une nouvelle fraction en utilisant le facteur comme dénominateur et une valeur inconnue comme numérateur. Comme le facteur est du deuxième degré, les termes $2$ sont requis dans le numérateur. Le nombre de termes requis dans le numérateur est toujours égal au degré du facteur dans le dénominateur.

$\frac{A}{x} + \frac{B x + C}{x^{2} + 1}$

Étape 2.3

Multipliez chaque fraction dans l’équation par le dénominateur de l’expression d’origine. Dans ce cas, le dénominateur est $x (x^{2} + 1)$ .

$\frac{(2 x^{2} + 1) (x (x^{2} + 1))}{x (x^{2} + 1)} = \frac{A (x (x^{2} + 1))}{x} + \frac{(B x + C) (x (x^{2} + 1))}{x^{2} + 1}$

Étape 2.4

Annulez le facteur commun de $x$ .

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Étape 2.4.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{(2 x^{2} + 1) (x (x^{2} + 1))}{x (x^{2} + 1)} = \frac{A (x (x^{2} + 1))}{x} + \frac{(B x + C) (x (x^{2} + 1))}{x^{2} + 1}$

Étape 2.4.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{(2 x^{2} + 1) (x^{2} + 1)}{x^{2} + 1} = \frac{A (x (x^{2} + 1))}{x} + \frac{(B x + C) (x (x^{2} + 1))}{x^{2} + 1}$

Étape 2.5

Annulez le facteur commun de $x^{2} + 1$ .

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Étape 2.5.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{(2 x^{2} + 1) (x^{2} + 1)}{x^{2} + 1} = \frac{A (x (x^{2} + 1))}{x} + \frac{(B x + C) (x (x^{2} + 1))}{x^{2} + 1}$

Étape 2.5.2

Divisez $2 x^{2} + 1$ par $1$ .

$2 x^{2} + 1 = \frac{A (x (x^{2} + 1))}{x} + \frac{(B x + C) (x (x^{2} + 1))}{x^{2} + 1}$

Étape 2.6

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.6.1

Annulez le facteur commun de $x$ .

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Étape 2.6.1.1

Annulez le facteur commun.

$2 x^{2} + 1 = \frac{A (x (x^{2} + 1))}{x} + \frac{(B x + C) (x (x^{2} + 1))}{x^{2} + 1}$

Étape 2.6.1.2

Divisez $A (x^{2} + 1)$ par $1$ .

$2 x^{2} + 1 = A (x^{2} + 1) + \frac{(B x + C) (x (x^{2} + 1))}{x^{2} + 1}$

Étape 2.6.2

Appliquez la propriété distributive.

$2 x^{2} + 1 = A x^{2} + A \cdot 1 + \frac{(B x + C) (x (x^{2} + 1))}{x^{2} + 1}$

Étape 2.6.3

Multipliez $A$ par $1$ .

$2 x^{2} + 1 = A x^{2} + A + \frac{(B x + C) (x (x^{2} + 1))}{x^{2} + 1}$

Étape 2.6.4

Annulez le facteur commun de $x^{2} + 1$ .

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Étape 2.6.4.1

Annulez le facteur commun.

$2 x^{2} + 1 = A x^{2} + A + \frac{(B x + C) (x (x^{2} + 1))}{x^{2} + 1}$

Étape 2.6.4.2

Divisez $(B x + C) (x)$ par $1$ .

$2 x^{2} + 1 = A x^{2} + A + (B x + C) (x)$

Étape 2.6.5

Appliquez la propriété distributive.

$2 x^{2} + 1 = A x^{2} + A + B x \cdot x + C x$

Étape 2.6.6

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 2.6.6.1

Déplacez $x$ .

$2 x^{2} + 1 = A x^{2} + A + B (x \cdot x) + C x$

Étape 2.6.6.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$2 x^{2} + 1 = A x^{2} + A + B x^{2} + C x$

Étape 2.7

Déplacez $A$ .

$2 x^{2} + 1 = A x^{2} + B x^{2} + C x + A$

Étape 3

Créez des équations pour les variables de fractions partielles et utilisez-les pour définir un système d’équations.

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Étape 3.1

Créez une équation pour les variables de fractions partielles en faisant correspondre les coefficients de $x^{2}$ de chaque côté de l’équation. Pour que l’équation soit égale, les coefficients équivalents de chaque côté de l’équation doivent être égaux.

$2 = A + B$

Étape 3.2

Créez une équation pour les variables de fractions partielles en faisant correspondre les coefficients de $x$ de chaque côté de l’équation. Pour que l’équation soit égale, les coefficients équivalents de chaque côté de l’équation doivent être égaux.

$0 = C$

Étape 3.3

Créez une équation pour les variables de fractions partielles en faisant correspondre les coefficients des termes qui ne contiennent pas $x$ . Pour que l’équation soit égale, les coefficients équivalents de chaque côté de l’équation doivent être égaux.

$1 = A$

Étape 3.4

Définissez le système d’équations pour déterminer les coefficients des fractions partielles.

$2 = A + B$

$0 = C$

$1 = A$

$2 = A + B$

$0 = C$

$1 = A$

Étape 4

Résolvez le système d’équations.

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Étape 4.1

Réécrivez l’équation comme $C = 0$ .

$C = 0$

$2 = A + B$

$1 = A$

Étape 4.2

Réécrivez l’équation comme $A = 1$ .

$A = 1$

$C = 0$

$2 = A + B$

Étape 4.3

Remplacez toutes les occurrences de $A$ par $1$ dans chaque équation.

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Étape 4.3.1

Remplacez toutes les occurrences de $A$ dans $2 = A + B$ par $1$ .

$2 = (1) + B$

$A = 1$

$C = 0$

Étape 4.3.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 4.3.2.1

Supprimez les parenthèses.

$2 = 1 + B$

$A = 1$

$C = 0$

$2 = 1 + B$

$A = 1$

$C = 0$

$2 = 1 + B$

$A = 1$

$C = 0$

Étape 4.4

Résolvez $B$ dans $2 = 1 + B$ .

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Étape 4.4.1

Réécrivez l’équation comme $1 + B = 2$ .

$1 + B = 2$

$A = 1$

$C = 0$

Étape 4.4.2

Déplacez tous les termes ne contenant pas $B$ du côté droit de l’équation.

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Étape 4.4.2.1

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$B = 2 - 1$

$A = 1$

$C = 0$

Étape 4.4.2.2

Soustrayez $1$ de $2$ .

$B = 1$

$A = 1$

$C = 0$

$B = 1$

$A = 1$

$C = 0$

$B = 1$

$A = 1$

$C = 0$

Étape 4.5

Résolvez le système d’équations.

$B = 1 A = 1 C = 0$

Étape 4.6

Indiquez toutes les solutions.

$B = 1, A = 1, C = 0$

Étape 5

Remplacez chacun des coefficients de fractions partielles dans $x + \frac{A}{x} + \frac{B x + C}{x^{2} + 1}$ par les valeurs trouvées pour $A$ , $B$ et $C$ .

$x + \frac{1}{x} + \frac{1 x + 0}{x^{2} + 1}$

Étape 6

Simplifiez

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Étape 6.1

Supprimez les parenthèses.

$x + \frac{1}{x} + \frac{(1) \cdot x + 0}{x^{2} + 1}$

Étape 6.2

Additionnez $(1) \cdot x$ et $0$ .

$x + \frac{1}{x} + \frac{(1) \cdot x}{x^{2} + 1}$

Étape 6.3

Multipliez $x$ par $1$ .

$x + \frac{1}{x} + \frac{x}{x^{2} + 1}$