Pré-calcul Exemples

 $\begin{matrix} Side & Angle \\ \begin{matrix} b = \\ c = & 10 \\ a = \end{matrix} & \begin{matrix} A = \\ B = & 65 ° \\ C = & 45 ° \end{matrix} \end{matrix}$

Étape 1

La loi des sinus repose sur la proportionnalité des côtés et des angles dans les triangles. Cette loi indique que pour les angles d’un triangle non rectangle, chaque angle du triangle a le même rapport de la mesure de l’angle sur la valeur du sinus.

$\frac{\sin (A)}{a} = \frac{\sin (B)}{b} = \frac{\sin (C)}{c}$

Étape 2

Remplacez les valeurs connues dans la loi du sinus pour déterminer $b$ .

$\frac{\sin (65 °)}{b} = \frac{\sin (45 °)}{10}$

Étape 3

Résolvez l’équation pour $b$ .

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Étape 3.1

Factorisez chaque terme.

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Étape 3.1.1

Évaluez $\sin (65 °)$ .

$\frac{0.90630778}{b} = \frac{\sin (45 °)}{10}$

Étape 3.1.2

La valeur exacte de $\sin (45 °)$ est $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{0.90630778}{b} = \frac{\frac{\sqrt{2}}{2}}{10}$

Étape 3.1.3

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$\frac{0.90630778}{b} = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{10}$

Étape 3.1.4

Multipliez $\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{10}$ .

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Étape 3.1.4.1

Multipliez $\frac{\sqrt{2}}{2}$ par $\frac{1}{10}$ .

$\frac{0.90630778}{b} = \frac{\sqrt{2}}{2 \cdot 10}$

Étape 3.1.4.2

Multipliez $2$ par $10$ .

$\frac{0.90630778}{b} = \frac{\sqrt{2}}{20}$

Étape 3.2

Déterminez le plus petit dénominateur commun des termes dans l’équation.

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Étape 3.2.1

Déterminer le plus petit dénominateur commun d’une liste d’expressions équivaut à déterminer le plus petit multiple commun des dénominateurs de ces valeurs.

$b, 20$

Étape 3.2.2

Comme $b, 20$ contient des nombres et des variables, deux étapes sont nécessaires pour déterminer le plus petit multiple commun. Déterminez le plus petit multiple commun pour la partie numérique $1, 20$ puis déterminez le plus petit multiple commun pour la partie variable $b^{1}$ .

Étape 3.2.3

Le plus petit multiple commun est le plus petit nombre positif dans lequel tous les nombres peuvent être divisés parfaitement.

1. Indiquez les facteurs premiers de chaque nombre.

2. Multipliez chaque facteur le plus grand nombre de fois qu’il apparaît dans un nombre.

Étape 3.2.4

Le nombre $1$ n’est pas un nombre premier car il ne comporte qu’un facteur positif, qui est lui-même.

Pas premier

Étape 3.2.5

Les facteurs premiers pour $20$ sont $2 \cdot 2 \cdot 5$ .

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Étape 3.2.5.1

$20$ a des facteurs de $2$ et $10$ .

$2 \cdot 10$

Étape 3.2.5.2

$10$ a des facteurs de $2$ et $5$ .

$2 \cdot 2 \cdot 5$

Étape 3.2.6

Multipliez $2 \cdot 2 \cdot 5$ .

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Étape 3.2.6.1

Multipliez $2$ par $2$ .

$4 \cdot 5$

Étape 3.2.6.2

Multipliez $4$ par $5$ .

$20$

Étape 3.2.7

Le facteur pour $b^{1}$ est $b$ lui-même.

$b^{1} = b$

$b$ se produit $1$ fois.

Étape 3.2.8

Le plus petit multiple commun de $b^{1}$ est le résultat de la multiplication de tous les facteurs premiers le plus grand nombre de fois qu’ils apparaissent dans un terme ou l’autre.

$b$

Étape 3.2.9

Le plus petit multiple commun pour $b, 20$ est la partie numérique $20$ multipliée par la partie variable.

$20 b$

Étape 3.3

Multiplier chaque terme dans $\frac{0.90630778}{b} = \frac{\sqrt{2}}{20}$ par $20 b$ afin d’éliminer les fractions.

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Étape 3.3.1

Multipliez chaque terme dans $\frac{0.90630778}{b} = \frac{\sqrt{2}}{20}$ par $20 b$ .

$\frac{0.90630778}{b} (20 b) = \frac{\sqrt{2}}{20} (20 b)$

Étape 3.3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.3.2.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$20 \frac{0.90630778}{b} b = \frac{\sqrt{2}}{20} (20 b)$

Étape 3.3.2.2

Multipliez $20 \frac{0.90630778}{b}$ .

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Étape 3.3.2.2.1

Associez $20$ et $\frac{0.90630778}{b}$ .

$\frac{20 \cdot 0.90630778}{b} b = \frac{\sqrt{2}}{20} (20 b)$

Étape 3.3.2.2.2

Multipliez $20$ par $0.90630778$ .

$\frac{18.12615574}{b} b = \frac{\sqrt{2}}{20} (20 b)$

Étape 3.3.2.3

Annulez le facteur commun de $b$ .

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Étape 3.3.2.3.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{18.12615574}{b} b = \frac{\sqrt{2}}{20} (20 b)$

Étape 3.3.2.3.2

Réécrivez l’expression.

$18.12615574 = \frac{\sqrt{2}}{20} (20 b)$

Étape 3.3.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.3.3.1

Annulez le facteur commun de $20$ .

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Étape 3.3.3.1.1

Factorisez $20$ à partir de $20 b$ .

$18.12615574 = \frac{\sqrt{2}}{20} (20 (b))$

Étape 3.3.3.1.2

Annulez le facteur commun.

$18.12615574 = \frac{\sqrt{2}}{20} (20 b)$

Étape 3.3.3.1.3

Réécrivez l’expression.

$18.12615574 = \sqrt{2} b$

Étape 3.4

Résolvez l’équation.

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Étape 3.4.1

Réécrivez l’équation comme $\sqrt{2} b = 18.12615574$ .

$\sqrt{2} b = 18.12615574$

Étape 3.4.2

Divisez chaque terme dans $\sqrt{2} b = 18.12615574$ par $\sqrt{2}$ et simplifiez.

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Étape 3.4.2.1

Divisez chaque terme dans $\sqrt{2} b = 18.12615574$ par $\sqrt{2}$ .

$\frac{\sqrt{2} b}{\sqrt{2}} = \frac{18.12615574}{\sqrt{2}}$

Étape 3.4.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.4.2.2.1

Annulez le facteur commun de $\sqrt{2}$ .

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Étape 3.4.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{\sqrt{2} b}{\sqrt{2}} = \frac{18.12615574}{\sqrt{2}}$

Étape 3.4.2.2.1.2

Divisez $b$ par $1$ .

$b = \frac{18.12615574}{\sqrt{2}}$

Étape 3.4.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.4.2.3.1

Multipliez $\frac{18.12615574}{\sqrt{2}}$ par $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$b = \frac{18.12615574}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$

Étape 3.4.2.3.2

Associez et simplifiez le dénominateur.

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Étape 3.4.2.3.2.1

Multipliez $\frac{18.12615574}{\sqrt{2}}$ par $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$b = \frac{18.12615574 \sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

Étape 3.4.2.3.2.2

Élevez $\sqrt{2}$ à la puissance $1$ .

$b = \frac{18.12615574 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}}$

Étape 3.4.2.3.2.3

Élevez $\sqrt{2}$ à la puissance $1$ .

$b = \frac{18.12615574 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}}$

Étape 3.4.2.3.2.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$b = \frac{18.12615574 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

Étape 3.4.2.3.2.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$b = \frac{18.12615574 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}}$

Étape 3.4.2.3.2.6

Réécrivez ${\sqrt{2}}^{2}$ comme $2$ .

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Étape 3.4.2.3.2.6.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{2}$ comme $2^{\frac{1}{2}}$ .

$b = \frac{18.12615574 \sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Étape 3.4.2.3.2.6.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$b = \frac{18.12615574 \sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Étape 3.4.2.3.2.6.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$b = \frac{18.12615574 \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Étape 3.4.2.3.2.6.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 3.4.2.3.2.6.4.1

Annulez le facteur commun.

$b = \frac{18.12615574 \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Étape 3.4.2.3.2.6.4.2

Réécrivez l’expression.

$b = \frac{18.12615574 \sqrt{2}}{2^{1}}$

Étape 3.4.2.3.2.6.5

Évaluez l’exposant.

$b = \frac{18.12615574 \sqrt{2}}{2}$

Étape 3.4.2.3.3

Multipliez $18.12615574$ par $\sqrt{2}$ .

$b = \frac{25.63425528}{2}$

Étape 3.4.2.3.4

Divisez $25.63425528$ par $2$ .

$b = 12.81712764$

Étape 4

La somme de tous les angles dans un triangle est $180$ degrés.

$A + 45 ° + 65 ° = 180$

Étape 5

Résolvez l’équation pour $A$ .

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Étape 5.1

Additionnez $45 °$ et $65 °$ .

$A + 110 = 180$

Étape 5.2

Déplacez tous les termes ne contenant pas $A$ du côté droit de l’équation.

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Étape 5.2.1

Soustrayez $110$ des deux côtés de l’équation.

$A = 180 - 110$

Étape 5.2.2

Soustrayez $110$ de $180$ .

$A = 70$

Étape 6

$\frac{\sin (A)}{a} = \frac{\sin (B)}{b} = \frac{\sin (C)}{c}$

Étape 7

Remplacez les valeurs connues dans la loi du sinus pour déterminer $a$ .

$\frac{\sin (70)}{a} = \frac{\sin (65 °)}{12.81712764}$

Étape 8

Résolvez l’équation pour $a$ .

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Étape 8.1

Factorisez chaque terme.

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Étape 8.1.1

Évaluez $\sin (70)$ .

$\frac{0.93969262}{a} = \frac{\sin (65 °)}{12.81712764}$

Étape 8.1.2

Évaluez $\sin (65 °)$ .

$\frac{0.93969262}{a} = \frac{0.90630778}{12.81712764}$

Étape 8.1.3

Divisez $0.90630778$ par $12.81712764$ .

$\frac{0.93969262}{a} = 0.07071067$

Étape 8.2

Déterminez le plus petit dénominateur commun des termes dans l’équation.

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Étape 8.2.1

Déterminer le plus petit dénominateur commun d’une liste d’expressions équivaut à déterminer le plus petit multiple commun des dénominateurs de ces valeurs.

$a, 1$

Étape 8.2.2

Le plus petit multiple commun de toute expression est l’expression.

$a$

Étape 8.3

Multiplier chaque terme dans $\frac{0.93969262}{a} = 0.07071067$ par $a$ afin d’éliminer les fractions.

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Étape 8.3.1

Multipliez chaque terme dans $\frac{0.93969262}{a} = 0.07071067$ par $a$ .

$\frac{0.93969262}{a} a = 0.07071067 a$

Étape 8.3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 8.3.2.1

Annulez le facteur commun de $a$ .

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Étape 8.3.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{0.93969262}{a} a = 0.07071067 a$

Étape 8.3.2.1.2

Réécrivez l’expression.

$0.93969262 = 0.07071067 a$

Étape 8.4

Résolvez l’équation.

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Étape 8.4.1

Réécrivez l’équation comme $0.07071067 a = 0.93969262$ .

$0.07071067 a = 0.93969262$

Étape 8.4.2

Divisez chaque terme dans $0.07071067 a = 0.93969262$ par $0.07071067$ et simplifiez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.4.2.1

Divisez chaque terme dans $0.07071067 a = 0.93969262$ par $0.07071067$ .

$\frac{0.07071067 a}{0.07071067} = \frac{0.93969262}{0.07071067}$

Étape 8.4.2.2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.4.2.2.1

Annulez le facteur commun de $0.07071067$ .

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Étape 8.4.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{0.07071067 a}{0.07071067} = \frac{0.93969262}{0.07071067}$

Étape 8.4.2.2.1.2

Divisez $a$ par $1$ .

$a = \frac{0.93969262}{0.07071067}$

Étape 8.4.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 8.4.2.3.1

Divisez $0.93969262$ par $0.07071067$ .

$a = 13.28926048$

Étape 9

Ce sont les résultats pour tous les angles et côtés du triangle donné.

$A = 70$

$B = 65 °$

$C = 45 °$

$a = 13.28926048$

$b = 12.81712764$

$c = 10$