Pré-calcul Exemples

$\frac{x}{(x^{2} + 9) (x + 1)}$

Étape 1

Décomposez la fraction et multipliez par le dénominateur commun.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1

Pour chaque facteur dans le dénominateur, créez une nouvelle fraction en utilisant le facteur comme dénominateur et une valeur inconnue comme numérateur. Comme le facteur est du deuxième degré, les termes $2$ sont requis dans le numérateur. Le nombre de termes requis dans le numérateur est toujours égal au degré du facteur dans le dénominateur.

$\frac{A x + B}{x^{2} + 9}$

Étape 1.2

Pour chaque facteur dans le dénominateur, créez une nouvelle fraction en utilisant le facteur comme dénominateur et une valeur inconnue comme numérateur. Comme le facteur dans le dénominateur est linéaire, placez une variable unique à sa place $C$ .

$\frac{A x + B}{x^{2} + 9} + \frac{C}{x + 1}$

Étape 1.3

Multipliez chaque fraction dans l’équation par le dénominateur de l’expression d’origine. Dans ce cas, le dénominateur est $(x^{2} + 9) (x + 1)$ .

$\frac{x (x^{2} + 9) (x + 1)}{(x^{2} + 9) (x + 1)} = \frac{(A x + B) (x^{2} + 9) (x + 1)}{x^{2} + 9} + \frac{(C) (x^{2} + 9) (x + 1)}{x + 1}$

Étape 1.4

Annulez le facteur commun de $x^{2} + 9$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.4.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{x (x^{2} + 9) (x + 1)}{(x^{2} + 9) (x + 1)} = \frac{(A x + B) (x^{2} + 9) (x + 1)}{x^{2} + 9} + \frac{(C) (x^{2} + 9) (x + 1)}{x + 1}$

Étape 1.4.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{x (x + 1)}{x + 1} = \frac{(A x + B) (x^{2} + 9) (x + 1)}{x^{2} + 9} + \frac{(C) (x^{2} + 9) (x + 1)}{x + 1}$

Étape 1.5

Annulez le facteur commun de $x + 1$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.5.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{x (x + 1)}{x + 1} = \frac{(A x + B) (x^{2} + 9) (x + 1)}{x^{2} + 9} + \frac{(C) (x^{2} + 9) (x + 1)}{x + 1}$

Étape 1.5.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{(A x + B) (x^{2} + 9) (x + 1)}{x^{2} + 9} + \frac{(C) (x^{2} + 9) (x + 1)}{x + 1}$

Étape 1.6

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.6.1

Annulez le facteur commun de $x^{2} + 9$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.6.1.1

Annulez le facteur commun.

$x = \frac{(A x + B) (x^{2} + 9) (x + 1)}{x^{2} + 9} + \frac{(C) (x^{2} + 9) (x + 1)}{x + 1}$

Étape 1.6.1.2

Divisez $(A x + B) (x + 1)$ par $1$ .

$x = (A x + B) (x + 1) + \frac{(C) (x^{2} + 9) (x + 1)}{x + 1}$

Étape 1.6.2

Développez $(A x + B) (x + 1)$ à l’aide de la méthode FOIL.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.6.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$x = A x (x + 1) + B (x + 1) + \frac{(C) (x^{2} + 9) (x + 1)}{x + 1}$

Étape 1.6.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$x = A x \cdot x + A x \cdot 1 + B (x + 1) + \frac{(C) (x^{2} + 9) (x + 1)}{x + 1}$

Étape 1.6.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$x = A x \cdot x + A x \cdot 1 + B x + B \cdot 1 + \frac{(C) (x^{2} + 9) (x + 1)}{x + 1}$

Étape 1.6.3

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.6.3.1

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.6.3.1.1

Déplacez $x$ .

$x = A (x \cdot x) + A x \cdot 1 + B x + B \cdot 1 + \frac{(C) (x^{2} + 9) (x + 1)}{x + 1}$

Étape 1.6.3.1.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$x = A x^{2} + A x \cdot 1 + B x + B \cdot 1 + \frac{(C) (x^{2} + 9) (x + 1)}{x + 1}$

Étape 1.6.3.2

Multipliez $A$ par $1$ .

$x = A x^{2} + A x + B x + B \cdot 1 + \frac{(C) (x^{2} + 9) (x + 1)}{x + 1}$

Étape 1.6.3.3

Multipliez $B$ par $1$ .

$x = A x^{2} + A x + B x + B + \frac{(C) (x^{2} + 9) (x + 1)}{x + 1}$

Étape 1.6.4

Annulez le facteur commun de $x + 1$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.6.4.1

Annulez le facteur commun.

$x = A x^{2} + A x + B x + B + \frac{(C) (x^{2} + 9) (x + 1)}{x + 1}$

Étape 1.6.4.2

Divisez $(C) (x^{2} + 9)$ par $1$ .

$x = A x^{2} + A x + B x + B + (C) (x^{2} + 9)$

Étape 1.6.5

Appliquez la propriété distributive.

$x = A x^{2} + A x + B x + B + C x^{2} + C \cdot 9$

Étape 1.6.6

Déplacez $9$ à gauche de $C$ .

$x = A x^{2} + A x + B x + B + C x^{2} + 9 C$

Étape 1.7

Simplifiez l’expression.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.7.1

Remettez dans l’ordre $B$ et $x$ .

$x = A x^{2} + A x + B x + B + C x^{2} + 9 C$

Étape 1.7.2

Déplacez $B$ .

$x = A x^{2} + A x + B x + C x^{2} + B + 9 C$

Étape 1.7.3

Déplacez $B x$ .

$x = A x^{2} + A x + C x^{2} + B x + B + 9 C$

Étape 1.7.4

Déplacez $A x$ .

$x = A x^{2} + C x^{2} + A x + B x + B + 9 C$

Étape 2

Créez des équations pour les variables de fractions partielles et utilisez-les pour définir un système d’équations.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1

Créez une équation pour les variables de fractions partielles en faisant correspondre les coefficients de $x^{2}$ de chaque côté de l’équation. Pour que l’équation soit égale, les coefficients équivalents de chaque côté de l’équation doivent être égaux.

$0 = A + C$

Étape 2.2

Créez une équation pour les variables de fractions partielles en faisant correspondre les coefficients de $x$ de chaque côté de l’équation. Pour que l’équation soit égale, les coefficients équivalents de chaque côté de l’équation doivent être égaux.

$1 = A + B$

Étape 2.3

Créez une équation pour les variables de fractions partielles en faisant correspondre les coefficients des termes qui ne contiennent pas $x$ . Pour que l’équation soit égale, les coefficients équivalents de chaque côté de l’équation doivent être égaux.

$0 = B + 9 C$

Étape 2.4

Définissez le système d’équations pour déterminer les coefficients des fractions partielles.

$0 = A + C$

$1 = A + B$

$0 = B + 9 C$

$0 = A + C$

$1 = A + B$

$0 = B + 9 C$

Étape 3

Résolvez le système d’équations.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1

Résolvez $A$ dans $0 = A + C$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1.1

Réécrivez l’équation comme $A + C = 0$ .

$A + C = 0$

$1 = A + B$

$0 = B + 9 C$

Étape 3.1.2

Soustrayez $C$ des deux côtés de l’équation.

$A = - C$

$1 = A + B$

$0 = B + 9 C$

$A = - C$

$1 = A + B$

$0 = B + 9 C$

Étape 3.2

Remplacez toutes les occurrences de $A$ par $- C$ dans chaque équation.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.2.1

Remplacez toutes les occurrences de $A$ dans $1 = A + B$ par $- C$ .

$1 = (- C) + B$

$A = - C$

$0 = B + 9 C$

Étape 3.2.2

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.2.2.1

Supprimez les parenthèses.

$1 = - C + B$

$A = - C$

$0 = B + 9 C$

$1 = - C + B$

$A = - C$

$0 = B + 9 C$

$1 = - C + B$

$A = - C$

$0 = B + 9 C$

Étape 3.3

Résolvez $B$ dans $1 = - C + B$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.3.1

Réécrivez l’équation comme $- C + B = 1$ .

$- C + B = 1$

$A = - C$

$0 = B + 9 C$

Étape 3.3.2

Ajoutez $C$ aux deux côtés de l’équation.

$B = 1 + C$

$A = - C$

$0 = B + 9 C$

$B = 1 + C$

$A = - C$

$0 = B + 9 C$

Étape 3.4

Remplacez toutes les occurrences de $B$ par $1 + C$ dans chaque équation.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.4.1

Remplacez toutes les occurrences de $B$ dans $0 = B + 9 C$ par $1 + C$ .

$0 = (1 + C) + 9 C$

$B = 1 + C$

$A = - C$

Étape 3.4.2

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.4.2.1

Additionnez $C$ et $9 C$ .

$0 = 1 + 10 C$

$B = 1 + C$

$A = - C$

$0 = 1 + 10 C$

$B = 1 + C$

$A = - C$

$0 = 1 + 10 C$

$B = 1 + C$

$A = - C$

Étape 3.5

Résolvez $C$ dans $0 = 1 + 10 C$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.5.1

Réécrivez l’équation comme $1 + 10 C = 0$ .

$1 + 10 C = 0$

$B = 1 + C$

$A = - C$

Étape 3.5.2

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$10 C = - 1$

$B = 1 + C$

$A = - C$

Étape 3.5.3

Divisez chaque terme dans $10 C = - 1$ par $10$ et simplifiez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.5.3.1

Divisez chaque terme dans $10 C = - 1$ par $10$ .

$\frac{10 C}{10} = \frac{- 1}{10}$

$B = 1 + C$

$A = - C$

Étape 3.5.3.2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.5.3.2.1

Annulez le facteur commun de $10$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.5.3.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{10 C}{10} = \frac{- 1}{10}$

$B = 1 + C$

$A = - C$

Étape 3.5.3.2.1.2

Divisez $C$ par $1$ .

$C = \frac{- 1}{10}$

$B = 1 + C$

$A = - C$

$C = \frac{- 1}{10}$

$B = 1 + C$

$A = - C$

$C = \frac{- 1}{10}$

$B = 1 + C$

$A = - C$

Étape 3.5.3.3

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.5.3.3.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$C = - \frac{1}{10}$

$B = 1 + C$

$A = - C$

$C = - \frac{1}{10}$

$B = 1 + C$

$A = - C$

$C = - \frac{1}{10}$

$B = 1 + C$

$A = - C$

$C = - \frac{1}{10}$

$B = 1 + C$

$A = - C$

Étape 3.6

Remplacez toutes les occurrences de $C$ par $- \frac{1}{10}$ dans chaque équation.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.6.1

Remplacez toutes les occurrences de $C$ dans $B = 1 + C$ par $- \frac{1}{10}$ .

$B = 1 - \frac{1}{10}$

$C = - \frac{1}{10}$

$A = - C$

Étape 3.6.2

Simplifiez $B = 1 - \frac{1}{10}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.6.2.1

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.6.2.1.1

Supprimez les parenthèses.

$B = 1 - \frac{1}{10}$

$C = - \frac{1}{10}$

$A = - C$

$B = 1 - \frac{1}{10}$

$C = - \frac{1}{10}$

$A = - C$

Étape 3.6.2.2

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.6.2.2.1

Simplifiez $1 - \frac{1}{10}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.6.2.2.1.1

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$B = \frac{10}{10} - \frac{1}{10}$

$C = - \frac{1}{10}$

$A = - C$

Étape 3.6.2.2.1.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$B = \frac{10 - 1}{10}$

$C = - \frac{1}{10}$

$A = - C$

Étape 3.6.2.2.1.3

Soustrayez $1$ de $10$ .

$B = \frac{9}{10}$

$C = - \frac{1}{10}$

$A = - C$

$B = \frac{9}{10}$

$C = - \frac{1}{10}$

$A = - C$

$B = \frac{9}{10}$

$C = - \frac{1}{10}$

$A = - C$

$B = \frac{9}{10}$

$C = - \frac{1}{10}$

$A = - C$

Étape 3.6.3

Remplacez toutes les occurrences de $C$ dans $A = - C$ par $- \frac{1}{10}$ .

$A = - (- \frac{1}{10})$

$B = \frac{9}{10}$

$C = - \frac{1}{10}$

Étape 3.6.4

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.6.4.1

Multipliez $- (- \frac{1}{10})$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.6.4.1.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$A = 1 (\frac{1}{10})$

$B = \frac{9}{10}$

$C = - \frac{1}{10}$

Étape 3.6.4.1.2

Multipliez $\frac{1}{10}$ par $1$ .

$A = \frac{1}{10}$

$B = \frac{9}{10}$

$C = - \frac{1}{10}$

$A = \frac{1}{10}$

$B = \frac{9}{10}$

$C = - \frac{1}{10}$

$A = \frac{1}{10}$

$B = \frac{9}{10}$

$C = - \frac{1}{10}$

$A = \frac{1}{10}$

$B = \frac{9}{10}$

$C = - \frac{1}{10}$

Étape 3.7

Indiquez toutes les solutions.

$A = \frac{1}{10}, B = \frac{9}{10}, C = - \frac{1}{10}$

Étape 4

Remplacez chacun des coefficients de fractions partielles dans $\frac{A x + B}{x^{2} + 9} + \frac{C}{x + 1}$ par les valeurs trouvées pour $A$ , $B$ et $C$ .

$\frac{\frac{1}{10 x} + \frac{9}{10}}{x^{2} + 9} + \frac{- \frac{1}{10}}{x + 1}$

Étape 5

Associez $\frac{1}{10}$ et $x$ .

$\frac{\frac{x}{10} + \frac{9}{10}}{x^{2} + 9} + \frac{- \frac{1}{10}}{x + 1}$