Pré-calcul Exemples

$x^{2} + 4 x$

Étape 1

Interchangez les variables.

$x = y^{2} + 4 y$

Étape 2

Résolvez $y$ .

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Étape 2.1

Réécrivez l’équation comme $y^{2} + 4 y = x$ .

$y^{2} + 4 y = x$

Étape 2.2

Soustrayez $x$ des deux côtés de l’équation.

$y^{2} + 4 y - x = 0$

Étape 2.3

Utilisez la formule quadratique pour déterminer les solutions.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Étape 2.4

Remplacez les valeurs $a = 1$ , $b = 4$ et $c = - x$ dans la formule quadratique et résolvez pour $y$ .

$\frac{- 4 \pm \sqrt{4^{2} - 4 \cdot (1 \cdot (- x))}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.5

Simplifiez

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Étape 2.5.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.5.1.1

Élevez $4$ à la puissance $2$ .

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 1 \cdot (- 1 x)}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.5.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 1 \cdot - 1$ .

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Étape 2.5.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot (- 1 x)}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.5.1.2.2

Multipliez $- 4$ par $- 1$ .

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 + 4 x}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.5.1.3

Factorisez $4$ à partir de $16 + 4 x$ .

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Étape 2.5.1.3.1

Factorisez $4$ à partir de $16$ .

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{4 \cdot 4 + 4 x}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.5.1.3.2

Factorisez $4$ à partir de $4 \cdot 4 + 4 x$ .

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{4 (4 + x)}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.5.1.4

Réécrivez $4 (4 + x)$ comme $2^{2} (2^{2} + x)$ .

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Étape 2.5.1.4.1

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{2^{2} (4 + x)}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.5.1.4.2

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{2^{2} (2^{2} + x)}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.5.1.5

Extrayez les termes de sous le radical.

$y = \frac{- 4 \pm 2 \sqrt{2^{2} + x}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.5.1.6

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$y = \frac{- 4 \pm 2 \sqrt{4 + x}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.5.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$y = \frac{- 4 \pm 2 \sqrt{4 + x}}{2}$

Étape 2.5.3

Simplifiez $\frac{- 4 \pm 2 \sqrt{4 + x}}{2}$ .

$y = - 2 \pm \sqrt{4 + x}$

Étape 2.6

Simplifiez l’expression pour résoudre la partie $+$ du $\pm$ .

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Étape 2.6.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.6.1.1

Élevez $4$ à la puissance $2$ .

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 1 \cdot (- 1 x)}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.6.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 1 \cdot - 1$ .

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Étape 2.6.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot (- 1 x)}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.6.1.2.2

Multipliez $- 4$ par $- 1$ .

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 + 4 x}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.6.1.3

Factorisez $4$ à partir de $16 + 4 x$ .

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Étape 2.6.1.3.1

Factorisez $4$ à partir de $16$ .

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{4 \cdot 4 + 4 x}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.6.1.3.2

Factorisez $4$ à partir de $4 \cdot 4 + 4 x$ .

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{4 (4 + x)}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.6.1.4

Réécrivez $4 (4 + x)$ comme $2^{2} (2^{2} + x)$ .

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Étape 2.6.1.4.1

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{2^{2} (4 + x)}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.6.1.4.2

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{2^{2} (2^{2} + x)}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.6.1.5

Extrayez les termes de sous le radical.

$y = \frac{- 4 \pm 2 \sqrt{2^{2} + x}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.6.1.6

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$y = \frac{- 4 \pm 2 \sqrt{4 + x}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.6.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$y = \frac{- 4 \pm 2 \sqrt{4 + x}}{2}$

Étape 2.6.3

Simplifiez $\frac{- 4 \pm 2 \sqrt{4 + x}}{2}$ .

$y = - 2 \pm \sqrt{4 + x}$

Étape 2.6.4

Remplacez le $\pm$ par $+$ .

$y = - 2 + \sqrt{4 + x}$

Étape 2.7

Simplifiez l’expression pour résoudre la partie $-$ du $\pm$ .

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Étape 2.7.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.7.1.1

Élevez $4$ à la puissance $2$ .

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 1 \cdot (- 1 x)}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.7.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 1 \cdot - 1$ .

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Étape 2.7.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot (- 1 x)}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.7.1.2.2

Multipliez $- 4$ par $- 1$ .

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 + 4 x}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.7.1.3

Factorisez $4$ à partir de $16 + 4 x$ .

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Étape 2.7.1.3.1

Factorisez $4$ à partir de $16$ .

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{4 \cdot 4 + 4 x}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.7.1.3.2

Factorisez $4$ à partir de $4 \cdot 4 + 4 x$ .

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{4 (4 + x)}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.7.1.4

Réécrivez $4 (4 + x)$ comme $2^{2} (2^{2} + x)$ .

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Étape 2.7.1.4.1

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{2^{2} (4 + x)}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.7.1.4.2

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{2^{2} (2^{2} + x)}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.7.1.5

Extrayez les termes de sous le radical.

$y = \frac{- 4 \pm 2 \sqrt{2^{2} + x}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.7.1.6

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$y = \frac{- 4 \pm 2 \sqrt{4 + x}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.7.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$y = \frac{- 4 \pm 2 \sqrt{4 + x}}{2}$

Étape 2.7.3

Simplifiez $\frac{- 4 \pm 2 \sqrt{4 + x}}{2}$ .

$y = - 2 \pm \sqrt{4 + x}$

Étape 2.7.4

Remplacez le $\pm$ par $-$ .

$y = - 2 - \sqrt{4 + x}$

Étape 2.8

La réponse finale est la combinaison des deux solutions.

$y = - 2 + \sqrt{4 + x}$

$y = - 2 - \sqrt{4 + x}$

$y = - 2 + \sqrt{4 + x}$

$y = - 2 - \sqrt{4 + x}$

Étape 3

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = - 2 + \sqrt{4 + x}, - 2 - \sqrt{4 + x}$

Étape 4

Vérifiez si $f^{- 1} (x) = - 2 + \sqrt{4 + x}, - 2 - \sqrt{4 + x}$ est l’inverse de $f (x) = x^{2} + 4 x$ .

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Étape 4.1

Le domaine de l’inverse est la plage de la fonction initiale et inversement. Déterminez le domaine et la plage de $f (x) = x^{2} + 4 x$ et $f^{- 1} (x) = - 2 + \sqrt{4 + x}, - 2 - \sqrt{4 + x}$ puis comparez-les.

Étape 4.2

Déterminez la plage de $f (x) = x^{2} + 4 x$ .

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Étape 4.2.1

La plage est l’ensemble de toutes les valeurs $y$ valides. Utilisez le graphe pour déterminer la plage.

Notation d’intervalle :

$[- 4, \infty)$

Étape 4.3

Déterminez le domaine de $- 2 + \sqrt{4 + x}$ .

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Étape 4.3.1

Définissez le radicande dans $\sqrt{4 + x}$ supérieur ou égal à $0$ pour déterminer où l’expression est définie.

$4 + x \geq 0$

Étape 4.3.2

Soustrayez $4$ des deux côtés de l’inégalité.

$x \geq - 4$

Étape 4.3.3

Le domaine est l’ensemble des valeurs de $x$ qui rendent l’expression définie.

$[- 4, \infty)$

Étape 4.4

Déterminez le domaine de $f (x) = x^{2} + 4 x$ .

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Étape 4.4.1

Le domaine de l’expression est l’ensemble des nombres réels excepté là où l’expression est indéfinie. Dans ce cas, aucun nombre réel ne rend l’expression indéfinie.

$(- \infty, \infty)$

Étape 4.5

Comme le domaine de $f^{- 1} (x) = - 2 + \sqrt{4 + x}, - 2 - \sqrt{4 + x}$ se trouve sur la plage de $f (x) = x^{2} + 4 x$ et comme la plage de $f^{- 1} (x) = - 2 + \sqrt{4 + x}, - 2 - \sqrt{4 + x}$ est le domaine de $f (x) = x^{2} + 4 x$ , $f^{- 1} (x) = - 2 + \sqrt{4 + x}, - 2 - \sqrt{4 + x}$ est l’inverse de $f (x) = x^{2} + 4 x$ .

$f^{- 1} (x) = - 2 + \sqrt{4 + x}, - 2 - \sqrt{4 + x}$

Étape 5