Pré-calcul Exemples

$- 2 x^{2} - 1$

Étape 1

Interchangez les variables.

$x = - 2 y^{2} - 1$

Étape 2

Résolvez $y$ .

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Étape 2.1

Réécrivez l’équation comme $- 2 y^{2} - 1 = x$ .

$- 2 y^{2} - 1 = x$

Étape 2.2

Ajoutez $1$ aux deux côtés de l’équation.

$- 2 y^{2} = x + 1$

Étape 2.3

Divisez chaque terme dans $- 2 y^{2} = x + 1$ par $- 2$ et simplifiez.

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Étape 2.3.1

Divisez chaque terme dans $- 2 y^{2} = x + 1$ par $- 2$ .

$\frac{- 2 y^{2}}{- 2} = \frac{x}{- 2} + \frac{1}{- 2}$

Étape 2.3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.3.2.1

Annulez le facteur commun de $- 2$ .

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Étape 2.3.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{- 2 y^{2}}{- 2} = \frac{x}{- 2} + \frac{1}{- 2}$

Étape 2.3.2.1.2

Divisez $y^{2}$ par $1$ .

$y^{2} = \frac{x}{- 2} + \frac{1}{- 2}$

Étape 2.3.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.3.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.3.3.1.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$y^{2} = - \frac{x}{2} + \frac{1}{- 2}$

Étape 2.3.3.1.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$y^{2} = - \frac{x}{2} - \frac{1}{2}$

Étape 2.4

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$y = \pm \sqrt{- \frac{x}{2} - \frac{1}{2}}$

Étape 2.5

Simplifiez $\pm \sqrt{- \frac{x}{2} - \frac{1}{2}}$ .

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Étape 2.5.1

Factorisez $- 1$ à partir de $- \frac{x}{2} - \frac{1}{2}$ .

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Étape 2.5.1.1

Factorisez $- 1$ à partir de $- \frac{x}{2}$ .

$y = \pm \sqrt{- (\frac{x}{2}) - \frac{1}{2}}$

Étape 2.5.1.2

Factorisez $- 1$ à partir de $- \frac{1}{2}$ .

$y = \pm \sqrt{- (\frac{x}{2}) - (\frac{1}{2})}$

Étape 2.5.1.3

Factorisez $- 1$ à partir de $- (\frac{x}{2}) - (\frac{1}{2})$ .

$y = \pm \sqrt{- (\frac{x}{2} + \frac{1}{2})}$

Étape 2.5.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$y = \pm \sqrt{- \frac{x + 1}{2}}$

Étape 2.6

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 2.6.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$y = \sqrt{- \frac{x + 1}{2}}$

Étape 2.6.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$y = - \sqrt{- \frac{x + 1}{2}}$

Étape 2.6.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$y = \sqrt{- \frac{x + 1}{2}}$

$y = - \sqrt{- \frac{x + 1}{2}}$

$y = \sqrt{- \frac{x + 1}{2}}$

$y = - \sqrt{- \frac{x + 1}{2}}$

$y = \sqrt{- \frac{x + 1}{2}}$

$y = - \sqrt{- \frac{x + 1}{2}}$

Étape 3

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \sqrt{- \frac{x + 1}{2}}, - \sqrt{- \frac{x + 1}{2}}$

Étape 4

Vérifiez si $f^{- 1} (x) = \sqrt{- \frac{x + 1}{2}}, - \sqrt{- \frac{x + 1}{2}}$ est l’inverse de $f (x) = - 2 x^{2} - 1$ .

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Étape 4.1

Le domaine de l’inverse est la plage de la fonction initiale et inversement. Déterminez le domaine et la plage de $f (x) = - 2 x^{2} - 1$ et $f^{- 1} (x) = \sqrt{- \frac{x + 1}{2}}, - \sqrt{- \frac{x + 1}{2}}$ puis comparez-les.

Étape 4.2

Déterminez la plage de $f (x) = - 2 x^{2} - 1$ .

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Étape 4.2.1

La plage est l’ensemble de toutes les valeurs $y$ valides. Utilisez le graphe pour déterminer la plage.

Notation d’intervalle :

$(- \infty, - 1]$

Étape 4.3

Déterminez le domaine de $\sqrt{- \frac{x + 1}{2}}$ .

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Étape 4.3.1

Définissez le radicande dans $\sqrt{- \frac{x + 1}{2}}$ supérieur ou égal à $0$ pour déterminer où l’expression est définie.

$- \frac{x + 1}{2} \geq 0$

Étape 4.3.2

Résolvez $x$ .

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Étape 4.3.2.1

Divisez chaque terme dans $- \frac{x + 1}{2} \geq 0$ par $- 1$ et simplifiez.

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Étape 4.3.2.1.1

Divisez chaque terme dans $- \frac{x + 1}{2} \geq 0$ par $- 1$ . Lorsque vous multipliez ou divisez les deux côtés d’une inégalité par une valeur négative, inversez le sens du signe d’inégalité.

$\frac{- \frac{x + 1}{2}}{- 1} \leq \frac{0}{- 1}$

Étape 4.3.2.1.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 4.3.2.1.2.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$\frac{\frac{x + 1}{2}}{1} \leq \frac{0}{- 1}$

Étape 4.3.2.1.2.2

Divisez $\frac{x + 1}{2}$ par $1$ .

$\frac{x + 1}{2} \leq \frac{0}{- 1}$

Étape 4.3.2.1.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 4.3.2.1.3.1

Divisez $0$ par $- 1$ .

$\frac{x + 1}{2} \leq 0$

Étape 4.3.2.2

Multipliez les deux côtés par $2$ .

$\frac{x + 1}{2} \cdot 2 \leq 0 \cdot 2$

Étape 4.3.2.3

Simplifiez

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Étape 4.3.2.3.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 4.3.2.3.1.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 4.3.2.3.1.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{x + 1}{2} \cdot 2 \leq 0 \cdot 2$

Étape 4.3.2.3.1.1.2

Réécrivez l’expression.

$x + 1 \leq 0 \cdot 2$

Étape 4.3.2.3.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 4.3.2.3.2.1

Multipliez $0$ par $2$ .

$x + 1 \leq 0$

Étape 4.3.2.4

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’inégalité.

$x \leq - 1$

Étape 4.3.3

Le domaine est l’ensemble des valeurs de $x$ qui rendent l’expression définie.

$(- \infty, - 1]$

Étape 4.4

Déterminez le domaine de $f (x) = - 2 x^{2} - 1$ .

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Étape 4.4.1

Le domaine de l’expression est l’ensemble des nombres réels excepté là où l’expression est indéfinie. Dans ce cas, aucun nombre réel ne rend l’expression indéfinie.

$(- \infty, \infty)$

Étape 4.5

Comme le domaine de $f^{- 1} (x) = \sqrt{- \frac{x + 1}{2}}, - \sqrt{- \frac{x + 1}{2}}$ se trouve sur la plage de $f (x) = - 2 x^{2} - 1$ et comme la plage de $f^{- 1} (x) = \sqrt{- \frac{x + 1}{2}}, - \sqrt{- \frac{x + 1}{2}}$ est le domaine de $f (x) = - 2 x^{2} - 1$ , $f^{- 1} (x) = \sqrt{- \frac{x + 1}{2}}, - \sqrt{- \frac{x + 1}{2}}$ est l’inverse de $f (x) = - 2 x^{2} - 1$ .

$f^{- 1} (x) = \sqrt{- \frac{x + 1}{2}}, - \sqrt{- \frac{x + 1}{2}}$

Étape 5