Pré-calcul Exemples

$y = {(5 x^{2} + 3)}^{4}$

Étape 1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{4}$ et $g (x) = 5 x^{2} + 3$ .

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Étape 1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $5 x^{2} + 3$ .

$\frac{d}{d u} [u^{4}] \frac{d}{d x} [5 x^{2} + 3]$

Étape 1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = 4$ .

$4 u^{3} \frac{d}{d x} [5 x^{2} + 3]$

Étape 1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $5 x^{2} + 3$ .

$4 {(5 x^{2} + 3)}^{3} \frac{d}{d x} [5 x^{2} + 3]$

Étape 2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $5 x^{2} + 3$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$4 {(5 x^{2} + 3)}^{3} (\frac{d}{d x} [5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [3])$

Étape 3

Évaluez $\frac{d}{d x} [5 x^{2}]$ .

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Étape 3.1

Comme $5$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $5 x^{2}$ par rapport à $x$ est $5 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$4 {(5 x^{2} + 3)}^{3} (5 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [3])$

Étape 3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$4 {(5 x^{2} + 3)}^{3} (5 (2 x) + \frac{d}{d x} [3])$

Étape 3.3

Multipliez $2$ par $5$ .

$4 {(5 x^{2} + 3)}^{3} (10 x + \frac{d}{d x} [3])$

Étape 4

Différenciez en utilisant la règle de la constante.

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Étape 4.1

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3$ par rapport à $x$ est $0$ .

$4 {(5 x^{2} + 3)}^{3} (10 x + 0)$

Étape 4.2

Additionnez $10 x$ et $0$ .

$4 {(5 x^{2} + 3)}^{3} (10 x)$

Étape 5

Simplifiez

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Étape 5.1

Multipliez $10$ par $4$ .

$40 {(5 x^{2} + 3)}^{3} x$

Étape 5.2

Réorganisez les facteurs de $40 {(5 x^{2} + 3)}^{3} x$ .

$40 x {(5 x^{2} + 3)}^{3}$