Pré-calcul Exemples

${(5 p + 1)}^{4}$

Étape 1

Utilisez le théorème de l’expansion binomiale pour déterminer chaque terme. Le théorème du binôme stipule que ${(a + b)}^{n} = \sum_{k = 0}^{n} n C k \cdot (a^{n - k} b^{k})$ .

$\sum_{k = 0}^{4} \frac{4!}{(4 - k)! k!} \cdot {(5 p)}^{4 - k} \cdot {(1)}^{k}$

Étape 2

Développez la somme.

$\frac{4!}{(4 - 0)! 0!} \cdot {(5 p)}^{4 - 0} \cdot {(1)}^{0} + \frac{4!}{(4 - 1)! 1!} \cdot {(5 p)}^{4 - 1} \cdot {(1)}^{1} + \frac{4!}{(4 - 2)! 2!} \cdot {(5 p)}^{4 - 2} \cdot {(1)}^{2} + \frac{4!}{(4 - 3)! 3!} \cdot {(5 p)}^{4 - 3} \cdot {(1)}^{3} + \frac{4!}{(4 - 4)! 4!} \cdot {(5 p)}^{4 - 4} \cdot {(1)}^{4}$

Étape 3

Simplifiez les exposants pour chaque terme du développement.

$1 \cdot {(5 p)}^{4} \cdot {(1)}^{0} + 4 \cdot {(5 p)}^{3} \cdot {(1)}^{1} + 6 \cdot {(5 p)}^{2} \cdot {(1)}^{2} + 4 \cdot {(5 p)}^{1} \cdot {(1)}^{3} + 1 \cdot {(5 p)}^{0} \cdot {(1)}^{4}$

Étape 4

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.1

Multipliez $1$ par ${(1)}^{0}$ en additionnant les exposants.

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Étape 4.1.1

Déplacez ${(1)}^{0}$ .

${(1)}^{0} \cdot 1 \cdot {(5 p)}^{4} + 4 \cdot {(5 p)}^{3} \cdot {(1)}^{1} + 6 \cdot {(5 p)}^{2} \cdot {(1)}^{2} + 4 \cdot {(5 p)}^{1} \cdot {(1)}^{3} + 1 \cdot {(5 p)}^{0} \cdot {(1)}^{4}$

Étape 4.1.2

Multipliez ${(1)}^{0}$ par $1$ .

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Étape 4.1.2.1

Élevez $1$ à la puissance $1$ .

${(1)}^{0} \cdot 1^{1} \cdot {(5 p)}^{4} + 4 \cdot {(5 p)}^{3} \cdot {(1)}^{1} + 6 \cdot {(5 p)}^{2} \cdot {(1)}^{2} + 4 \cdot {(5 p)}^{1} \cdot {(1)}^{3} + 1 \cdot {(5 p)}^{0} \cdot {(1)}^{4}$

Étape 4.1.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$1^{0 + 1} \cdot {(5 p)}^{4} + 4 \cdot {(5 p)}^{3} \cdot {(1)}^{1} + 6 \cdot {(5 p)}^{2} \cdot {(1)}^{2} + 4 \cdot {(5 p)}^{1} \cdot {(1)}^{3} + 1 \cdot {(5 p)}^{0} \cdot {(1)}^{4}$

Étape 4.1.3

Additionnez $0$ et $1$ .

$1^{1} \cdot {(5 p)}^{4} + 4 \cdot {(5 p)}^{3} \cdot {(1)}^{1} + 6 \cdot {(5 p)}^{2} \cdot {(1)}^{2} + 4 \cdot {(5 p)}^{1} \cdot {(1)}^{3} + 1 \cdot {(5 p)}^{0} \cdot {(1)}^{4}$

Étape 4.2

Simplifiez $1^{1} \cdot {(5 p)}^{4}$ .

${(5 p)}^{4} + 4 \cdot {(5 p)}^{3} \cdot {(1)}^{1} + 6 \cdot {(5 p)}^{2} \cdot {(1)}^{2} + 4 \cdot {(5 p)}^{1} \cdot {(1)}^{3} + 1 \cdot {(5 p)}^{0} \cdot {(1)}^{4}$

Étape 4.3

Appliquez la règle de produit à $5 p$ .

$5^{4} p^{4} + 4 \cdot {(5 p)}^{3} \cdot {(1)}^{1} + 6 \cdot {(5 p)}^{2} \cdot {(1)}^{2} + 4 \cdot {(5 p)}^{1} \cdot {(1)}^{3} + 1 \cdot {(5 p)}^{0} \cdot {(1)}^{4}$

Étape 4.4

Élevez $5$ à la puissance $4$ .

$625 p^{4} + 4 \cdot {(5 p)}^{3} \cdot {(1)}^{1} + 6 \cdot {(5 p)}^{2} \cdot {(1)}^{2} + 4 \cdot {(5 p)}^{1} \cdot {(1)}^{3} + 1 \cdot {(5 p)}^{0} \cdot {(1)}^{4}$

Étape 4.5

Appliquez la règle de produit à $5 p$ .

$625 p^{4} + 4 \cdot (5^{3} p^{3}) \cdot {(1)}^{1} + 6 \cdot {(5 p)}^{2} \cdot {(1)}^{2} + 4 \cdot {(5 p)}^{1} \cdot {(1)}^{3} + 1 \cdot {(5 p)}^{0} \cdot {(1)}^{4}$

Étape 4.6

Élevez $5$ à la puissance $3$ .

$625 p^{4} + 4 \cdot (125 p^{3}) \cdot {(1)}^{1} + 6 \cdot {(5 p)}^{2} \cdot {(1)}^{2} + 4 \cdot {(5 p)}^{1} \cdot {(1)}^{3} + 1 \cdot {(5 p)}^{0} \cdot {(1)}^{4}$

Étape 4.7

Multipliez $125$ par $4$ .

$625 p^{4} + 500 p^{3} \cdot {(1)}^{1} + 6 \cdot {(5 p)}^{2} \cdot {(1)}^{2} + 4 \cdot {(5 p)}^{1} \cdot {(1)}^{3} + 1 \cdot {(5 p)}^{0} \cdot {(1)}^{4}$

Étape 4.8

Évaluez l’exposant.

$625 p^{4} + 500 p^{3} \cdot 1 + 6 \cdot {(5 p)}^{2} \cdot {(1)}^{2} + 4 \cdot {(5 p)}^{1} \cdot {(1)}^{3} + 1 \cdot {(5 p)}^{0} \cdot {(1)}^{4}$

Étape 4.9

Multipliez $500$ par $1$ .

$625 p^{4} + 500 p^{3} + 6 \cdot {(5 p)}^{2} \cdot {(1)}^{2} + 4 \cdot {(5 p)}^{1} \cdot {(1)}^{3} + 1 \cdot {(5 p)}^{0} \cdot {(1)}^{4}$

Étape 4.10

Appliquez la règle de produit à $5 p$ .

$625 p^{4} + 500 p^{3} + 6 \cdot (5^{2} p^{2}) \cdot {(1)}^{2} + 4 \cdot {(5 p)}^{1} \cdot {(1)}^{3} + 1 \cdot {(5 p)}^{0} \cdot {(1)}^{4}$

Étape 4.11

Élevez $5$ à la puissance $2$ .

$625 p^{4} + 500 p^{3} + 6 \cdot (25 p^{2}) \cdot {(1)}^{2} + 4 \cdot {(5 p)}^{1} \cdot {(1)}^{3} + 1 \cdot {(5 p)}^{0} \cdot {(1)}^{4}$

Étape 4.12

Multipliez $25$ par $6$ .

$625 p^{4} + 500 p^{3} + 150 p^{2} \cdot {(1)}^{2} + 4 \cdot {(5 p)}^{1} \cdot {(1)}^{3} + 1 \cdot {(5 p)}^{0} \cdot {(1)}^{4}$

Étape 4.13

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$625 p^{4} + 500 p^{3} + 150 p^{2} \cdot 1 + 4 \cdot {(5 p)}^{1} \cdot {(1)}^{3} + 1 \cdot {(5 p)}^{0} \cdot {(1)}^{4}$

Étape 4.14

Multipliez $150$ par $1$ .

$625 p^{4} + 500 p^{3} + 150 p^{2} + 4 \cdot {(5 p)}^{1} \cdot {(1)}^{3} + 1 \cdot {(5 p)}^{0} \cdot {(1)}^{4}$

Étape 4.15

Simplifiez

$625 p^{4} + 500 p^{3} + 150 p^{2} + 4 \cdot (5 p) \cdot {(1)}^{3} + 1 \cdot {(5 p)}^{0} \cdot {(1)}^{4}$

Étape 4.16

Multipliez $5$ par $4$ .

$625 p^{4} + 500 p^{3} + 150 p^{2} + 20 p \cdot {(1)}^{3} + 1 \cdot {(5 p)}^{0} \cdot {(1)}^{4}$

Étape 4.17

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$625 p^{4} + 500 p^{3} + 150 p^{2} + 20 p \cdot 1 + 1 \cdot {(5 p)}^{0} \cdot {(1)}^{4}$

Étape 4.18

Multipliez $20$ par $1$ .

$625 p^{4} + 500 p^{3} + 150 p^{2} + 20 p + 1 \cdot {(5 p)}^{0} \cdot {(1)}^{4}$

Étape 4.19

Multipliez $1$ par ${(1)}^{4}$ en additionnant les exposants.

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Étape 4.19.1

Déplacez ${(1)}^{4}$ .

$625 p^{4} + 500 p^{3} + 150 p^{2} + 20 p + {(1)}^{4} \cdot 1 \cdot {(5 p)}^{0}$

Étape 4.19.2

Multipliez ${(1)}^{4}$ par $1$ .

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Étape 4.19.2.1

Élevez $1$ à la puissance $1$ .

$625 p^{4} + 500 p^{3} + 150 p^{2} + 20 p + {(1)}^{4} \cdot 1^{1} \cdot {(5 p)}^{0}$

Étape 4.19.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$625 p^{4} + 500 p^{3} + 150 p^{2} + 20 p + 1^{4 + 1} \cdot {(5 p)}^{0}$

Étape 4.19.3

Additionnez $4$ et $1$ .

$625 p^{4} + 500 p^{3} + 150 p^{2} + 20 p + 1^{5} \cdot {(5 p)}^{0}$

Étape 4.20

Simplifiez $1^{5} \cdot {(5 p)}^{0}$ .

$625 p^{4} + 500 p^{3} + 150 p^{2} + 20 p + 1^{5}$

Étape 4.21

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$625 p^{4} + 500 p^{3} + 150 p^{2} + 20 p + 1$