Pré-calcul Exemples

$4 x^{4} - 28 x^{3} + 47 x^{2} + 7 x - 12$

Étape 1

Définissez $4 x^{4} - 28 x^{3} + 47 x^{2} + 7 x - 12$ égal à $0$ .

$4 x^{4} - 28 x^{3} + 47 x^{2} + 7 x - 12 = 0$

Étape 2

Résolvez $x$ .

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Étape 2.1

Factorisez le côté gauche de l’équation.

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Étape 2.1.1

Regroupez les termes.

$- 28 x^{3} + 7 x + 4 x^{4} + 47 x^{2} - 12 = 0$

Étape 2.1.2

Factorisez $- 7 x$ à partir de $- 28 x^{3} + 7 x$ .

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Étape 2.1.2.1

Factorisez $- 7 x$ à partir de $- 28 x^{3}$ .

$- 7 x (4 x^{2}) + 7 x + 4 x^{4} + 47 x^{2} - 12 = 0$

Étape 2.1.2.2

Factorisez $- 7 x$ à partir de $7 x$ .

$- 7 x (4 x^{2}) - 7 x \cdot - 1 + 4 x^{4} + 47 x^{2} - 12 = 0$

Étape 2.1.2.3

Factorisez $- 7 x$ à partir de $- 7 x (4 x^{2}) - 7 x (- 1)$ .

$- 7 x (4 x^{2} - 1) + 4 x^{4} + 47 x^{2} - 12 = 0$

Étape 2.1.3

Réécrivez $4 x^{2}$ comme ${(2 x)}^{2}$ .

$- 7 x ({(2 x)}^{2} - 1) + 4 x^{4} + 47 x^{2} - 12 = 0$

Étape 2.1.4

Réécrivez $1$ comme $1^{2}$ .

$- 7 x ({(2 x)}^{2} - 1^{2}) + 4 x^{4} + 47 x^{2} - 12 = 0$

Étape 2.1.5

Factorisez.

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Étape 2.1.5.1

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = 2 x$ et $b = 1$ .

$- 7 x ((2 x + 1) (2 x - 1)) + 4 x^{4} + 47 x^{2} - 12 = 0$

Étape 2.1.5.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$- 7 x (2 x + 1) (2 x - 1) + 4 x^{4} + 47 x^{2} - 12 = 0$

Étape 2.1.6

Réécrivez $x^{4}$ comme ${(x^{2})}^{2}$ .

$- 7 x (2 x + 1) (2 x - 1) + 4 {(x^{2})}^{2} + 47 x^{2} - 12 = 0$

Étape 2.1.7

Laissez $u = x^{2}$ . Remplacez toutes les occurrences de $x^{2}$ par $u$ .

$- 7 x (2 x + 1) (2 x - 1) + 4 u^{2} + 47 u - 12 = 0$

Étape 2.1.8

Factorisez par regroupement.

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Étape 2.1.8.1

Pour un polynôme de la forme $a x^{2} + b x + c$ , réécrivez le point milieu comme la somme de deux termes dont le produit est $a \cdot c = 4 \cdot - 12 = - 48$ et dont la somme est $b = 47$ .

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Étape 2.1.8.1.1

Factorisez $47$ à partir de $47 u$ .

$- 7 x (2 x + 1) (2 x - 1) + 4 u^{2} + 47 (u) - 12 = 0$

Étape 2.1.8.1.2

Réécrivez $47$ comme $- 1$ plus $48$

$- 7 x (2 x + 1) (2 x - 1) + 4 u^{2} + (- 1 + 48) u - 12 = 0$

Étape 2.1.8.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$- 7 x (2 x + 1) (2 x - 1) + 4 u^{2} - 1 u + 48 u - 12 = 0$

Étape 2.1.8.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

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Étape 2.1.8.2.1

Regroupez les deux premiers termes et les deux derniers termes.

$- 7 x (2 x + 1) (2 x - 1) + 4 u^{2} - 1 u + 48 u - 12 = 0$

Étape 2.1.8.2.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

$- 7 x (2 x + 1) (2 x - 1) + u (4 u - 1) + 12 (4 u - 1) = 0$

Étape 2.1.8.3

Factorisez le polynôme en factorisant le plus grand facteur commun, $4 u - 1$ .

$- 7 x (2 x + 1) (2 x - 1) + (4 u - 1) (u + 12) = 0$

Étape 2.1.9

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x^{2}$ .

$- 7 x (2 x + 1) (2 x - 1) + (4 x^{2} - 1) (x^{2} + 12) = 0$

Étape 2.1.10

Réécrivez $4 x^{2}$ comme ${(2 x)}^{2}$ .

$- 7 x (2 x + 1) (2 x - 1) + ({(2 x)}^{2} - 1) (x^{2} + 12) = 0$

Étape 2.1.11

Réécrivez $1$ comme $1^{2}$ .

$- 7 x (2 x + 1) (2 x - 1) + ({(2 x)}^{2} - 1^{2}) (x^{2} + 12) = 0$

Étape 2.1.12

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = 2 x$ et $b = 1$ .

$- 7 x (2 x + 1) (2 x - 1) + (2 x + 1) (2 x - 1) (x^{2} + 12) = 0$

Étape 2.1.13

Factorisez $(2 x + 1) (2 x - 1)$ à partir de $- 7 x (2 x + 1) (2 x - 1) + (2 x + 1) (2 x - 1) (x^{2} + 12)$ .

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Étape 2.1.13.1

Factorisez $(2 x + 1) (2 x - 1)$ à partir de $- 7 x (2 x + 1) (2 x - 1)$ .

$(2 x + 1) (2 x - 1) (- 7 x) + (2 x + 1) (2 x - 1) (x^{2} + 12) = 0$

Étape 2.1.13.2

Factorisez $(2 x + 1) (2 x - 1)$ à partir de $(2 x + 1) (2 x - 1) (- 7 x) + (2 x + 1) (2 x - 1) (x^{2} + 12)$ .

$(2 x + 1) (2 x - 1) (- 7 x + x^{2} + 12) = 0$

Étape 2.1.14

Laissez $u = x$ . Remplacez toutes les occurrences de $x$ par $u$ .

$(2 x + 1) (2 x - 1) (- 7 u + u^{2} + 12) = 0$

Étape 2.1.15

Factorisez $- 7 u + u^{2} + 12$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 2.1.15.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $12$ et dont la somme est $- 7$ .

$- 4, - 3$

Étape 2.1.15.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$(2 x + 1) (2 x - 1) ((u - 4) (u - 3)) = 0$

Étape 2.1.16

Factorisez.

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Étape 2.1.16.1

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x$ .

$(2 x + 1) (2 x - 1) ((x - 4) (x - 3)) = 0$

Étape 2.1.16.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$(2 x + 1) (2 x - 1) (x - 4) (x - 3) = 0$

Étape 2.2

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$2 x + 1 = 0$

$2 x - 1 = 0$

$x - 4 = 0$

$x - 3 = 0$

Étape 2.3

Définissez $2 x + 1$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 2.3.1

Définissez $2 x + 1$ égal à $0$ .

$2 x + 1 = 0$

Étape 2.3.2

Résolvez $2 x + 1 = 0$ pour $x$ .

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Étape 2.3.2.1

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$2 x = - 1$

Étape 2.3.2.2

Divisez chaque terme dans $2 x = - 1$ par $2$ et simplifiez.

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Étape 2.3.2.2.1

Divisez chaque terme dans $2 x = - 1$ par $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 1}{2}$

Étape 2.3.2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.3.2.2.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 2.3.2.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 1}{2}$

Étape 2.3.2.2.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{- 1}{2}$

Étape 2.3.2.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.3.2.2.3.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$x = - \frac{1}{2}$

Étape 2.4

Définissez $2 x - 1$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 2.4.1

Définissez $2 x - 1$ égal à $0$ .

$2 x - 1 = 0$

Étape 2.4.2

Résolvez $2 x - 1 = 0$ pour $x$ .

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Étape 2.4.2.1

Ajoutez $1$ aux deux côtés de l’équation.

$2 x = 1$

Étape 2.4.2.2

Divisez chaque terme dans $2 x = 1$ par $2$ et simplifiez.

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Étape 2.4.2.2.1

Divisez chaque terme dans $2 x = 1$ par $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{1}{2}$

Étape 2.4.2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.4.2.2.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 2.4.2.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 x}{2} = \frac{1}{2}$

Étape 2.4.2.2.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{1}{2}$

Étape 2.5

Définissez $x - 4$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 2.5.1

Définissez $x - 4$ égal à $0$ .

$x - 4 = 0$

Étape 2.5.2

Ajoutez $4$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 4$

Étape 2.6

Définissez $x - 3$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 2.6.1

Définissez $x - 3$ égal à $0$ .

$x - 3 = 0$

Étape 2.6.2

Ajoutez $3$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 3$

Étape 2.7

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $(2 x + 1) (2 x - 1) (x - 4) (x - 3) = 0$ vraie.

$x = - \frac{1}{2}, \frac{1}{2}, 4, 3$

Étape 3