Pré-calcul Exemples

$\sin^{4} (3 x)$

Étape 1

Appliquez l’identité d’angle triple du sinus.

${(- 4 \sin^{3} (x) + 3 \sin (x))}^{4}$

Étape 2

Utilisez le théorème du binôme.

${(- 4 \sin^{3} (x))}^{4} + 4 {(- 4 \sin^{3} (x))}^{3} (3 \sin (x)) + 6 {(- 4 \sin^{3} (x))}^{2} {(3 \sin (x))}^{2} + 4 (- 4 \sin^{3} (x)) {(3 \sin (x))}^{3} + {(3 \sin (x))}^{4}$

Étape 3

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.1

Appliquez la règle de produit à $- 4 \sin^{3} (x)$ .

${(- 4)}^{4} {(\sin^{3} (x))}^{4} + 4 {(- 4 \sin^{3} (x))}^{3} (3 \sin (x)) + 6 {(- 4 \sin^{3} (x))}^{2} {(3 \sin (x))}^{2} + 4 (- 4 \sin^{3} (x)) {(3 \sin (x))}^{3} + {(3 \sin (x))}^{4}$

Étape 3.2

Élevez $- 4$ à la puissance $4$ .

$256 {(\sin^{3} (x))}^{4} + 4 {(- 4 \sin^{3} (x))}^{3} (3 \sin (x)) + 6 {(- 4 \sin^{3} (x))}^{2} {(3 \sin (x))}^{2} + 4 (- 4 \sin^{3} (x)) {(3 \sin (x))}^{3} + {(3 \sin (x))}^{4}$

Étape 3.3

Multipliez les exposants dans ${(\sin^{3} (x))}^{4}$ .

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Étape 3.3.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$256 {\sin (x)}^{3 \cdot 4} + 4 {(- 4 \sin^{3} (x))}^{3} (3 \sin (x)) + 6 {(- 4 \sin^{3} (x))}^{2} {(3 \sin (x))}^{2} + 4 (- 4 \sin^{3} (x)) {(3 \sin (x))}^{3} + {(3 \sin (x))}^{4}$

Étape 3.3.2

Multipliez $3$ par $4$ .

$256 \sin^{12} (x) + 4 {(- 4 \sin^{3} (x))}^{3} (3 \sin (x)) + 6 {(- 4 \sin^{3} (x))}^{2} {(3 \sin (x))}^{2} + 4 (- 4 \sin^{3} (x)) {(3 \sin (x))}^{3} + {(3 \sin (x))}^{4}$

Étape 3.4

Appliquez la règle de produit à $- 4 \sin^{3} (x)$ .

$256 \sin^{12} (x) + 4 ({(- 4)}^{3} {(\sin^{3} (x))}^{3}) (3 \sin (x)) + 6 {(- 4 \sin^{3} (x))}^{2} {(3 \sin (x))}^{2} + 4 (- 4 \sin^{3} (x)) {(3 \sin (x))}^{3} + {(3 \sin (x))}^{4}$

Étape 3.5

Élevez $- 4$ à la puissance $3$ .

$256 \sin^{12} (x) + 4 (- 64 {(\sin^{3} (x))}^{3}) (3 \sin (x)) + 6 {(- 4 \sin^{3} (x))}^{2} {(3 \sin (x))}^{2} + 4 (- 4 \sin^{3} (x)) {(3 \sin (x))}^{3} + {(3 \sin (x))}^{4}$

Étape 3.6

Multipliez les exposants dans ${(\sin^{3} (x))}^{3}$ .

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Étape 3.6.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$256 \sin^{12} (x) + 4 (- 64 {\sin (x)}^{3 \cdot 3}) (3 \sin (x)) + 6 {(- 4 \sin^{3} (x))}^{2} {(3 \sin (x))}^{2} + 4 (- 4 \sin^{3} (x)) {(3 \sin (x))}^{3} + {(3 \sin (x))}^{4}$

Étape 3.6.2

Multipliez $3$ par $3$ .

$256 \sin^{12} (x) + 4 (- 64 \sin^{9} (x)) (3 \sin (x)) + 6 {(- 4 \sin^{3} (x))}^{2} {(3 \sin (x))}^{2} + 4 (- 4 \sin^{3} (x)) {(3 \sin (x))}^{3} + {(3 \sin (x))}^{4}$

Étape 3.7

Multipliez $\sin^{9} (x)$ par $\sin (x)$ en additionnant les exposants.

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Étape 3.7.1

Déplacez $\sin (x)$ .

$256 \sin^{12} (x) + 4 (- 64 (\sin (x) \sin^{9} (x))) \cdot 3 + 6 {(- 4 \sin^{3} (x))}^{2} {(3 \sin (x))}^{2} + 4 (- 4 \sin^{3} (x)) {(3 \sin (x))}^{3} + {(3 \sin (x))}^{4}$

Étape 3.7.2

Multipliez $\sin (x)$ par $\sin^{9} (x)$ .

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Étape 3.7.2.1

Élevez $\sin (x)$ à la puissance $1$ .

$256 \sin^{12} (x) + 4 (- 64 (\sin^{1} (x) \sin^{9} (x))) \cdot 3 + 6 {(- 4 \sin^{3} (x))}^{2} {(3 \sin (x))}^{2} + 4 (- 4 \sin^{3} (x)) {(3 \sin (x))}^{3} + {(3 \sin (x))}^{4}$

Étape 3.7.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$256 \sin^{12} (x) + 4 (- 64 {\sin (x)}^{1 + 9}) \cdot 3 + 6 {(- 4 \sin^{3} (x))}^{2} {(3 \sin (x))}^{2} + 4 (- 4 \sin^{3} (x)) {(3 \sin (x))}^{3} + {(3 \sin (x))}^{4}$

Étape 3.7.3

Additionnez $1$ et $9$ .

$256 \sin^{12} (x) + 4 (- 64 \sin^{10} (x)) \cdot 3 + 6 {(- 4 \sin^{3} (x))}^{2} {(3 \sin (x))}^{2} + 4 (- 4 \sin^{3} (x)) {(3 \sin (x))}^{3} + {(3 \sin (x))}^{4}$

Étape 3.8

Multipliez $- 64$ par $4$ .

$256 \sin^{12} (x) - 256 \sin^{10} (x) \cdot 3 + 6 {(- 4 \sin^{3} (x))}^{2} {(3 \sin (x))}^{2} + 4 (- 4 \sin^{3} (x)) {(3 \sin (x))}^{3} + {(3 \sin (x))}^{4}$

Étape 3.9

Multipliez $3$ par $- 256$ .

$256 \sin^{12} (x) - 768 \sin^{10} (x) + 6 {(- 4 \sin^{3} (x))}^{2} {(3 \sin (x))}^{2} + 4 (- 4 \sin^{3} (x)) {(3 \sin (x))}^{3} + {(3 \sin (x))}^{4}$

Étape 3.10

Appliquez la règle de produit à $- 4 \sin^{3} (x)$ .

$256 \sin^{12} (x) - 768 \sin^{10} (x) + 6 ({(- 4)}^{2} {(\sin^{3} (x))}^{2}) {(3 \sin (x))}^{2} + 4 (- 4 \sin^{3} (x)) {(3 \sin (x))}^{3} + {(3 \sin (x))}^{4}$

Étape 3.11

Élevez $- 4$ à la puissance $2$ .

$256 \sin^{12} (x) - 768 \sin^{10} (x) + 6 (16 {(\sin^{3} (x))}^{2}) {(3 \sin (x))}^{2} + 4 (- 4 \sin^{3} (x)) {(3 \sin (x))}^{3} + {(3 \sin (x))}^{4}$

Étape 3.12

Multipliez les exposants dans ${(\sin^{3} (x))}^{2}$ .

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Étape 3.12.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$256 \sin^{12} (x) - 768 \sin^{10} (x) + 6 (16 {\sin (x)}^{3 \cdot 2}) {(3 \sin (x))}^{2} + 4 (- 4 \sin^{3} (x)) {(3 \sin (x))}^{3} + {(3 \sin (x))}^{4}$

Étape 3.12.2

Multipliez $3$ par $2$ .

$256 \sin^{12} (x) - 768 \sin^{10} (x) + 6 (16 \sin^{6} (x)) {(3 \sin (x))}^{2} + 4 (- 4 \sin^{3} (x)) {(3 \sin (x))}^{3} + {(3 \sin (x))}^{4}$

Étape 3.13

Multipliez $16$ par $6$ .

$256 \sin^{12} (x) - 768 \sin^{10} (x) + 96 \sin^{6} (x) {(3 \sin (x))}^{2} + 4 (- 4 \sin^{3} (x)) {(3 \sin (x))}^{3} + {(3 \sin (x))}^{4}$

Étape 3.14

Appliquez la règle de produit à $3 \sin (x)$ .

$256 \sin^{12} (x) - 768 \sin^{10} (x) + 96 \sin^{6} (x) (3^{2} \sin^{2} (x)) + 4 (- 4 \sin^{3} (x)) {(3 \sin (x))}^{3} + {(3 \sin (x))}^{4}$

Étape 3.15

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$256 \sin^{12} (x) - 768 \sin^{10} (x) + 96 \cdot 3^{2} \sin^{6} (x) \sin^{2} (x) + 4 (- 4 \sin^{3} (x)) {(3 \sin (x))}^{3} + {(3 \sin (x))}^{4}$

Étape 3.16

Multipliez $\sin^{6} (x)$ par $\sin^{2} (x)$ en additionnant les exposants.

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Étape 3.16.1

Déplacez $\sin^{2} (x)$ .

$256 \sin^{12} (x) - 768 \sin^{10} (x) + 96 \cdot 3^{2} (\sin^{2} (x) \sin^{6} (x)) + 4 (- 4 \sin^{3} (x)) {(3 \sin (x))}^{3} + {(3 \sin (x))}^{4}$

Étape 3.16.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$256 \sin^{12} (x) - 768 \sin^{10} (x) + 96 \cdot 3^{2} {\sin (x)}^{2 + 6} + 4 (- 4 \sin^{3} (x)) {(3 \sin (x))}^{3} + {(3 \sin (x))}^{4}$

Étape 3.16.3

Additionnez $2$ et $6$ .

$256 \sin^{12} (x) - 768 \sin^{10} (x) + 96 \cdot 3^{2} \sin^{8} (x) + 4 (- 4 \sin^{3} (x)) {(3 \sin (x))}^{3} + {(3 \sin (x))}^{4}$

Étape 3.17

Élevez $3$ à la puissance $2$ .

$256 \sin^{12} (x) - 768 \sin^{10} (x) + 96 \cdot 9 \sin^{8} (x) + 4 (- 4 \sin^{3} (x)) {(3 \sin (x))}^{3} + {(3 \sin (x))}^{4}$

Étape 3.18

Multipliez $96$ par $9$ .

$256 \sin^{12} (x) - 768 \sin^{10} (x) + 864 \sin^{8} (x) + 4 (- 4 \sin^{3} (x)) {(3 \sin (x))}^{3} + {(3 \sin (x))}^{4}$

Étape 3.19

Multipliez $- 4$ par $4$ .

$256 \sin^{12} (x) - 768 \sin^{10} (x) + 864 \sin^{8} (x) - 16 \sin^{3} (x) {(3 \sin (x))}^{3} + {(3 \sin (x))}^{4}$

Étape 3.20

Appliquez la règle de produit à $3 \sin (x)$ .

$256 \sin^{12} (x) - 768 \sin^{10} (x) + 864 \sin^{8} (x) - 16 \sin^{3} (x) (3^{3} \sin^{3} (x)) + {(3 \sin (x))}^{4}$

Étape 3.21

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$256 \sin^{12} (x) - 768 \sin^{10} (x) + 864 \sin^{8} (x) - 16 \cdot 3^{3} \sin^{3} (x) \sin^{3} (x) + {(3 \sin (x))}^{4}$

Étape 3.22

Multipliez $\sin^{3} (x)$ par $\sin^{3} (x)$ en additionnant les exposants.

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Étape 3.22.1

Déplacez $\sin^{3} (x)$ .

$256 \sin^{12} (x) - 768 \sin^{10} (x) + 864 \sin^{8} (x) - 16 \cdot 3^{3} (\sin^{3} (x) \sin^{3} (x)) + {(3 \sin (x))}^{4}$

Étape 3.22.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$256 \sin^{12} (x) - 768 \sin^{10} (x) + 864 \sin^{8} (x) - 16 \cdot 3^{3} {\sin (x)}^{3 + 3} + {(3 \sin (x))}^{4}$

Étape 3.22.3

Additionnez $3$ et $3$ .

$256 \sin^{12} (x) - 768 \sin^{10} (x) + 864 \sin^{8} (x) - 16 \cdot 3^{3} \sin^{6} (x) + {(3 \sin (x))}^{4}$

Étape 3.23

Élevez $3$ à la puissance $3$ .

$256 \sin^{12} (x) - 768 \sin^{10} (x) + 864 \sin^{8} (x) - 16 \cdot 27 \sin^{6} (x) + {(3 \sin (x))}^{4}$

Étape 3.24

Multipliez $- 16$ par $27$ .

$256 \sin^{12} (x) - 768 \sin^{10} (x) + 864 \sin^{8} (x) - 432 \sin^{6} (x) + {(3 \sin (x))}^{4}$

Étape 3.25

Appliquez la règle de produit à $3 \sin (x)$ .

$256 \sin^{12} (x) - 768 \sin^{10} (x) + 864 \sin^{8} (x) - 432 \sin^{6} (x) + 3^{4} \sin^{4} (x)$

Étape 3.26

Élevez $3$ à la puissance $4$ .

$256 \sin^{12} (x) - 768 \sin^{10} (x) + 864 \sin^{8} (x) - 432 \sin^{6} (x) + 81 \sin^{4} (x)$