Pré-calcul Exemples

$49 x^{2} - 25 y^{2} + 294 x + 200 y = 1184$

Étape 1

Complétez le carré pour $49 x^{2} + 294 x$ .

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Étape 1.1

Utilisez la forme $a x^{2} + b x + c$ pour déterminer les valeurs de $a$ , $b$ et $c$ .

$a = 49$

$b = 294$

$c = 0$

Étape 1.2

Étudiez la forme du sommet d’une parabole.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Étape 1.3

Déterminez la valeur de $d$ en utilisant la formule $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Étape 1.3.1

Remplacez les valeurs de $a$ et $b$ dans la formule $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{294}{2 \cdot 49}$

Étape 1.3.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 1.3.2.1

Annulez le facteur commun à $294$ et $2$ .

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Étape 1.3.2.1.1

Factorisez $2$ à partir de $294$ .

$d = \frac{2 \cdot 147}{2 \cdot 49}$

Étape 1.3.2.1.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 1.3.2.1.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2 \cdot 49$ .

$d = \frac{2 \cdot 147}{2 (49)}$

Étape 1.3.2.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$d = \frac{2 \cdot 147}{2 \cdot 49}$

Étape 1.3.2.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$d = \frac{147}{49}$

Étape 1.3.2.2

Annulez le facteur commun à $147$ et $49$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.3.2.2.1

Factorisez $49$ à partir de $147$ .

$d = \frac{49 \cdot 3}{49}$

Étape 1.3.2.2.2

Annulez les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.3.2.2.2.1

Factorisez $49$ à partir de $49$ .

$d = \frac{49 \cdot 3}{49 (1)}$

Étape 1.3.2.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$d = \frac{49 \cdot 3}{49 \cdot 1}$

Étape 1.3.2.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$d = \frac{3}{1}$

Étape 1.3.2.2.2.4

Divisez $3$ par $1$ .

$d = 3$

Étape 1.4

Déterminez la valeur de $e$ en utilisant la formule $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Étape 1.4.1

Remplacez les valeurs de $c$ , $b$ et $a$ dans la formule $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{294^{2}}{4 \cdot 49}$

Étape 1.4.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 1.4.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.4.2.1.1

Élevez $294$ à la puissance $2$ .

$e = 0 - \frac{86436}{4 \cdot 49}$

Étape 1.4.2.1.2

Multipliez $4$ par $49$ .

$e = 0 - \frac{86436}{196}$

Étape 1.4.2.1.3

Divisez $86436$ par $196$ .

$e = 0 - 1 \cdot 441$

Étape 1.4.2.1.4

Multipliez $- 1$ par $441$ .

$e = 0 - 441$

Étape 1.4.2.2

Soustrayez $441$ de $0$ .

$e = - 441$

Étape 1.5

Remplacez les valeurs de $a$ , $d$ et $e$ dans la forme du sommet $49 {(x + 3)}^{2} - 441$ .

$49 {(x + 3)}^{2} - 441$

Étape 2

Remplacez $49 x^{2} + 294 x$ par $49 {(x + 3)}^{2} - 441$ dans l’équation $49 x^{2} - 25 y^{2} + 294 x + 200 y = 1184$ .

$49 {(x + 3)}^{2} - 441 - 25 y^{2} + 200 y = 1184$

Étape 3

Déplacez $- 441$ du côté droit de l’équation en ajoutant $441$ des deux côtés.

$49 {(x + 3)}^{2} - 25 y^{2} + 200 y = 1184 + 441$

Étape 4

Complétez le carré pour $- 25 y^{2} + 200 y$ .

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Étape 4.1

Utilisez la forme $a x^{2} + b x + c$ pour déterminer les valeurs de $a$ , $b$ et $c$ .

$a = - 25$

$b = 200$

$c = 0$

Étape 4.2

Étudiez la forme du sommet d’une parabole.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Étape 4.3

Déterminez la valeur de $d$ en utilisant la formule $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Étape 4.3.1

Remplacez les valeurs de $a$ et $b$ dans la formule $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{200}{2 \cdot - 25}$

Étape 4.3.2

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.3.2.1

Annulez le facteur commun à $200$ et $2$ .

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Étape 4.3.2.1.1

Factorisez $2$ à partir de $200$ .

$d = \frac{2 \cdot 100}{2 \cdot - 25}$

Étape 4.3.2.1.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 4.3.2.1.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2 \cdot - 25$ .

$d = \frac{2 \cdot 100}{2 (- 25)}$

Étape 4.3.2.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$d = \frac{2 \cdot 100}{2 \cdot - 25}$

Étape 4.3.2.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$d = \frac{100}{- 25}$

Étape 4.3.2.2

Annulez le facteur commun à $100$ et $- 25$ .

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Étape 4.3.2.2.1

Factorisez $25$ à partir de $100$ .

$d = \frac{25 (4)}{- 25}$

Étape 4.3.2.2.2

Déplacez le moins un du dénominateur de $\frac{4}{- 1}$ .

$d = - 1 \cdot 4$

Étape 4.3.2.3

Multipliez $- 1$ par $4$ .

$d = - 4$

Étape 4.4

Déterminez la valeur de $e$ en utilisant la formule $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Étape 4.4.1

Remplacez les valeurs de $c$ , $b$ et $a$ dans la formule $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{200^{2}}{4 \cdot - 25}$

Étape 4.4.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 4.4.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.4.2.1.1

Élevez $200$ à la puissance $2$ .

$e = 0 - \frac{40000}{4 \cdot - 25}$

Étape 4.4.2.1.2

Multipliez $4$ par $- 25$ .

$e = 0 - \frac{40000}{- 100}$

Étape 4.4.2.1.3

Divisez $40000$ par $- 100$ .

$e = 0 - - 400$

Étape 4.4.2.1.4

Multipliez $- 1$ par $- 400$ .

$e = 0 + 400$

Étape 4.4.2.2

Additionnez $0$ et $400$ .

$e = 400$

Étape 4.5

Remplacez les valeurs de $a$ , $d$ et $e$ dans la forme du sommet $- 25 {(y - 4)}^{2} + 400$ .

$- 25 {(y - 4)}^{2} + 400$

Étape 5

Remplacez $- 25 y^{2} + 200 y$ par $- 25 {(y - 4)}^{2} + 400$ dans l’équation $49 x^{2} - 25 y^{2} + 294 x + 200 y = 1184$ .

$49 {(x + 3)}^{2} - 25 {(y - 4)}^{2} + 400 = 1184 + 441$

Étape 6

Déplacez $400$ du côté droit de l’équation en ajoutant $400$ des deux côtés.

$49 {(x + 3)}^{2} - 25 {(y - 4)}^{2} = 1184 + 441 - 400$

Étape 7

Simplifiez $1184 + 441 - 400$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.1

Additionnez $1184$ et $441$ .

$49 {(x + 3)}^{2} - 25 {(y - 4)}^{2} = 1625 - 400$

Étape 7.2

Soustrayez $400$ de $1625$ .

$49 {(x + 3)}^{2} - 25 {(y - 4)}^{2} = 1225$

Étape 8

Divisez chaque terme par $1225$ pour rendre le côté droit égal à un.

$\frac{49 {(x + 3)}^{2}}{1225} - \frac{25 {(y - 4)}^{2}}{1225} = \frac{1225}{1225}$

Étape 9

Simplifiez chaque terme de l’équation afin de définir le côté droit égal à $1$ . La forme normalisée d’une ellipse ou hyperbole nécessite que le côté droit de l’équation soit $1$ .

$\frac{{(x + 3)}^{2}}{25} - \frac{{(y - 4)}^{2}}{49} = 1$