Pré-calcul Exemples

$3 x^{2} - 4 y^{2} - 6 x - 16 y + 11 = 0$

Étape 1

Soustrayez $11$ des deux côtés de l’équation.

$3 x^{2} - 4 y^{2} - 6 x - 16 y = - 11$

Étape 2

Complétez le carré pour $3 x^{2} - 6 x$ .

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Étape 2.1

Utilisez la forme $a x^{2} + b x + c$ pour déterminer les valeurs de $a$ , $b$ et $c$ .

$a = 3$

$b = - 6$

$c = 0$

Étape 2.2

Étudiez la forme du sommet d’une parabole.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Étape 2.3

Déterminez la valeur de $d$ en utilisant la formule $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Étape 2.3.1

Remplacez les valeurs de $a$ et $b$ dans la formule $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{- 6}{2 \cdot 3}$

Étape 2.3.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.3.2.1

Annulez le facteur commun à $- 6$ et $2$ .

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Étape 2.3.2.1.1

Factorisez $2$ à partir de $- 6$ .

$d = \frac{2 \cdot - 3}{2 \cdot 3}$

Étape 2.3.2.1.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 2.3.2.1.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2 \cdot 3$ .

$d = \frac{2 \cdot - 3}{2 (3)}$

Étape 2.3.2.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$d = \frac{2 \cdot - 3}{2 \cdot 3}$

Étape 2.3.2.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$d = \frac{- 3}{3}$

Étape 2.3.2.2

Annulez le facteur commun à $- 3$ et $3$ .

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Étape 2.3.2.2.1

Factorisez $3$ à partir de $- 3$ .

$d = \frac{3 \cdot - 1}{3}$

Étape 2.3.2.2.2

Annulez les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.3.2.2.2.1

Factorisez $3$ à partir de $3$ .

$d = \frac{3 \cdot - 1}{3 (1)}$

Étape 2.3.2.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$d = \frac{3 \cdot - 1}{3 \cdot 1}$

Étape 2.3.2.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$d = \frac{- 1}{1}$

Étape 2.3.2.2.2.4

Divisez $- 1$ par $1$ .

$d = - 1$

Étape 2.4

Déterminez la valeur de $e$ en utilisant la formule $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Étape 2.4.1

Remplacez les valeurs de $c$ , $b$ et $a$ dans la formule $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{{(- 6)}^{2}}{4 \cdot 3}$

Étape 2.4.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.4.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.4.2.1.1

Élevez $- 6$ à la puissance $2$ .

$e = 0 - \frac{36}{4 \cdot 3}$

Étape 2.4.2.1.2

Multipliez $4$ par $3$ .

$e = 0 - \frac{36}{12}$

Étape 2.4.2.1.3

Divisez $36$ par $12$ .

$e = 0 - 1 \cdot 3$

Étape 2.4.2.1.4

Multipliez $- 1$ par $3$ .

$e = 0 - 3$

Étape 2.4.2.2

Soustrayez $3$ de $0$ .

$e = - 3$

Étape 2.5

Remplacez les valeurs de $a$ , $d$ et $e$ dans la forme du sommet $3 {(x - 1)}^{2} - 3$ .

$3 {(x - 1)}^{2} - 3$

Étape 3

Remplacez $3 x^{2} - 6 x$ par $3 {(x - 1)}^{2} - 3$ dans l’équation $3 x^{2} - 4 y^{2} - 6 x - 16 y = - 11$ .

$3 {(x - 1)}^{2} - 3 - 4 y^{2} - 16 y = - 11$

Étape 4

Déplacez $- 3$ du côté droit de l’équation en ajoutant $3$ des deux côtés.

$3 {(x - 1)}^{2} - 4 y^{2} - 16 y = - 11 + 3$

Étape 5

Complétez le carré pour $- 4 y^{2} - 16 y$ .

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Étape 5.1

Utilisez la forme $a x^{2} + b x + c$ pour déterminer les valeurs de $a$ , $b$ et $c$ .

$a = - 4$

$b = - 16$

$c = 0$

Étape 5.2

Étudiez la forme du sommet d’une parabole.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Étape 5.3

Déterminez la valeur de $d$ en utilisant la formule $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Étape 5.3.1

Remplacez les valeurs de $a$ et $b$ dans la formule $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{- 16}{2 \cdot - 4}$

Étape 5.3.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.3.2.1

Annulez le facteur commun à $- 16$ et $2$ .

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Étape 5.3.2.1.1

Factorisez $2$ à partir de $- 16$ .

$d = \frac{2 \cdot - 8}{2 \cdot - 4}$

Étape 5.3.2.1.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 5.3.2.1.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2 \cdot - 4$ .

$d = \frac{2 \cdot - 8}{2 (- 4)}$

Étape 5.3.2.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$d = \frac{2 \cdot - 8}{2 \cdot - 4}$

Étape 5.3.2.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$d = \frac{- 8}{- 4}$

Étape 5.3.2.2

Annulez le facteur commun à $- 8$ et $- 4$ .

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Étape 5.3.2.2.1

Factorisez $- 4$ à partir de $- 8$ .

$d = \frac{- 4 (2)}{- 4}$

Étape 5.3.2.2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 5.3.2.2.2.1

Factorisez $- 4$ à partir de $- 4$ .

$d = \frac{- 4 \cdot 2}{- 4 \cdot 1}$

Étape 5.3.2.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$d = \frac{- 4 \cdot 2}{- 4 \cdot 1}$

Étape 5.3.2.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$d = \frac{2}{1}$

Étape 5.3.2.2.2.4

Divisez $2$ par $1$ .

$d = 2$

Étape 5.4

Déterminez la valeur de $e$ en utilisant la formule $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Étape 5.4.1

Remplacez les valeurs de $c$ , $b$ et $a$ dans la formule $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{{(- 16)}^{2}}{4 \cdot - 4}$

Étape 5.4.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.4.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.4.2.1.1

Élevez $- 16$ à la puissance $2$ .

$e = 0 - \frac{256}{4 \cdot - 4}$

Étape 5.4.2.1.2

Multipliez $4$ par $- 4$ .

$e = 0 - \frac{256}{- 16}$

Étape 5.4.2.1.3

Divisez $256$ par $- 16$ .

$e = 0 - - 16$

Étape 5.4.2.1.4

Multipliez $- 1$ par $- 16$ .

$e = 0 + 16$

Étape 5.4.2.2

Additionnez $0$ et $16$ .

$e = 16$

Étape 5.5

Remplacez les valeurs de $a$ , $d$ et $e$ dans la forme du sommet $- 4 {(y + 2)}^{2} + 16$ .

$- 4 {(y + 2)}^{2} + 16$

Étape 6

Remplacez $- 4 y^{2} - 16 y$ par $- 4 {(y + 2)}^{2} + 16$ dans l’équation $3 x^{2} - 4 y^{2} - 6 x - 16 y = - 11$ .

$3 {(x - 1)}^{2} - 4 {(y + 2)}^{2} + 16 = - 11 + 3$

Étape 7

Déplacez $16$ du côté droit de l’équation en ajoutant $16$ des deux côtés.

$3 {(x - 1)}^{2} - 4 {(y + 2)}^{2} = - 11 + 3 - 16$

Étape 8

Simplifiez $- 11 + 3 - 16$ .

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Étape 8.1

Additionnez $- 11$ et $3$ .

$3 {(x - 1)}^{2} - 4 {(y + 2)}^{2} = - 8 - 16$

Étape 8.2

Soustrayez $16$ de $- 8$ .

$3 {(x - 1)}^{2} - 4 {(y + 2)}^{2} = - 24$

Étape 9

Inversez le signe de chaque terme de l’équation afin que le terme du côté droit soit positif.

$- 3 {(x - 1)}^{2} + 4 {(y + 2)}^{2} = 24$

Étape 10

Divisez chaque terme par $24$ pour rendre le côté droit égal à un.

$- \frac{3 {(x - 1)}^{2}}{24} + \frac{4 {(y + 2)}^{2}}{24} = \frac{24}{24}$

Étape 11

Simplifiez chaque terme de l’équation afin de définir le côté droit égal à $1$ . La forme normalisée d’une ellipse ou hyperbole nécessite que le côté droit de l’équation soit $1$ .

$\frac{{(y + 2)}^{2}}{6} - \frac{{(x - 1)}^{2}}{8} = 1$