Pré-calcul Exemples

$4 x^{2} + 4 y^{2} + 40 x - 32 y = 5$

Étape 1

Divisez les deux côtés de l’équation par $4$ .

$x^{2} + y^{2} + 10 x - 8 y = \frac{5}{4}$

Étape 2

Complétez le carré pour $x^{2} + 10 x$ .

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Étape 2.1

Utilisez la forme $a x^{2} + b x + c$ pour déterminer les valeurs de $a$ , $b$ et $c$ .

$a = 1$

$b = 10$

$c = 0$

Étape 2.2

Étudiez la forme du sommet d’une parabole.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Étape 2.3

Déterminez la valeur de $d$ en utilisant la formule $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Étape 2.3.1

Remplacez les valeurs de $a$ et $b$ dans la formule $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{10}{2 \cdot 1}$

Étape 2.3.2

Annulez le facteur commun à $10$ et $2$ .

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Étape 2.3.2.1

Factorisez $2$ à partir de $10$ .

$d = \frac{2 \cdot 5}{2 \cdot 1}$

Étape 2.3.2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 2.3.2.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2 \cdot 1$ .

$d = \frac{2 \cdot 5}{2 (1)}$

Étape 2.3.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$d = \frac{2 \cdot 5}{2 \cdot 1}$

Étape 2.3.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$d = \frac{5}{1}$

Étape 2.3.2.2.4

Divisez $5$ par $1$ .

$d = 5$

Étape 2.4

Déterminez la valeur de $e$ en utilisant la formule $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Étape 2.4.1

Remplacez les valeurs de $c$ , $b$ et $a$ dans la formule $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{10^{2}}{4 \cdot 1}$

Étape 2.4.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.4.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.4.2.1.1

Élevez $10$ à la puissance $2$ .

$e = 0 - \frac{100}{4 \cdot 1}$

Étape 2.4.2.1.2

Multipliez $4$ par $1$ .

$e = 0 - \frac{100}{4}$

Étape 2.4.2.1.3

Divisez $100$ par $4$ .

$e = 0 - 1 \cdot 25$

Étape 2.4.2.1.4

Multipliez $- 1$ par $25$ .

$e = 0 - 25$

Étape 2.4.2.2

Soustrayez $25$ de $0$ .

$e = - 25$

Étape 2.5

Remplacez les valeurs de $a$ , $d$ et $e$ dans la forme du sommet ${(x + 5)}^{2} - 25$ .

${(x + 5)}^{2} - 25$

Étape 3

Remplacez $x^{2} + 10 x$ par ${(x + 5)}^{2} - 25$ dans l’équation $x^{2} + y^{2} + 10 x - 8 y = \frac{5}{4}$ .

${(x + 5)}^{2} - 25 + y^{2} - 8 y = \frac{5}{4}$

Étape 4

Déplacez $- 25$ du côté droit de l’équation en ajoutant $25$ des deux côtés.

${(x + 5)}^{2} + y^{2} - 8 y = \frac{5}{4} + 25$

Étape 5

Complétez le carré pour $y^{2} - 8 y$ .

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Étape 5.1

Utilisez la forme $a x^{2} + b x + c$ pour déterminer les valeurs de $a$ , $b$ et $c$ .

$a = 1$

$b = - 8$

$c = 0$

Étape 5.2

Étudiez la forme du sommet d’une parabole.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Étape 5.3

Déterminez la valeur de $d$ en utilisant la formule $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Étape 5.3.1

Remplacez les valeurs de $a$ et $b$ dans la formule $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{- 8}{2 \cdot 1}$

Étape 5.3.2

Annulez le facteur commun à $- 8$ et $2$ .

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Étape 5.3.2.1

Factorisez $2$ à partir de $- 8$ .

$d = \frac{2 \cdot - 4}{2 \cdot 1}$

Étape 5.3.2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 5.3.2.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2 \cdot 1$ .

$d = \frac{2 \cdot - 4}{2 (1)}$

Étape 5.3.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$d = \frac{2 \cdot - 4}{2 \cdot 1}$

Étape 5.3.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$d = \frac{- 4}{1}$

Étape 5.3.2.2.4

Divisez $- 4$ par $1$ .

$d = - 4$

Étape 5.4

Déterminez la valeur de $e$ en utilisant la formule $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Étape 5.4.1

Remplacez les valeurs de $c$ , $b$ et $a$ dans la formule $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{{(- 8)}^{2}}{4 \cdot 1}$

Étape 5.4.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.4.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.4.2.1.1

Élevez $- 8$ à la puissance $2$ .

$e = 0 - \frac{64}{4 \cdot 1}$

Étape 5.4.2.1.2

Multipliez $4$ par $1$ .

$e = 0 - \frac{64}{4}$

Étape 5.4.2.1.3

Divisez $64$ par $4$ .

$e = 0 - 1 \cdot 16$

Étape 5.4.2.1.4

Multipliez $- 1$ par $16$ .

$e = 0 - 16$

Étape 5.4.2.2

Soustrayez $16$ de $0$ .

$e = - 16$

Étape 5.5

Remplacez les valeurs de $a$ , $d$ et $e$ dans la forme du sommet ${(y - 4)}^{2} - 16$ .

${(y - 4)}^{2} - 16$

Étape 6

Remplacez $y^{2} - 8 y$ par ${(y - 4)}^{2} - 16$ dans l’équation $x^{2} + y^{2} + 10 x - 8 y = \frac{5}{4}$ .

${(x + 5)}^{2} + {(y - 4)}^{2} - 16 = \frac{5}{4} + 25$

Étape 7

Déplacez $- 16$ du côté droit de l’équation en ajoutant $16$ des deux côtés.

${(x + 5)}^{2} + {(y - 4)}^{2} = \frac{5}{4} + 25 + 16$

Étape 8

Simplifiez $\frac{5}{4} + 25 + 16$ .

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Étape 8.1

Déterminez le dénominateur commun.

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Étape 8.1.1

Écrivez $25$ comme une fraction avec le dénominateur $1$ .

${(x + 5)}^{2} + {(y - 4)}^{2} = \frac{5}{4} + \frac{25}{1} + 16$

Étape 8.1.2

Multipliez $\frac{25}{1}$ par $\frac{4}{4}$ .

${(x + 5)}^{2} + {(y - 4)}^{2} = \frac{5}{4} + \frac{25}{1} \cdot \frac{4}{4} + 16$

Étape 8.1.3

Multipliez $\frac{25}{1}$ par $\frac{4}{4}$ .

${(x + 5)}^{2} + {(y - 4)}^{2} = \frac{5}{4} + \frac{25 \cdot 4}{4} + 16$

Étape 8.1.4

Écrivez $16$ comme une fraction avec le dénominateur $1$ .

${(x + 5)}^{2} + {(y - 4)}^{2} = \frac{5}{4} + \frac{25 \cdot 4}{4} + \frac{16}{1}$

Étape 8.1.5

Multipliez $\frac{16}{1}$ par $\frac{4}{4}$ .

${(x + 5)}^{2} + {(y - 4)}^{2} = \frac{5}{4} + \frac{25 \cdot 4}{4} + \frac{16}{1} \cdot \frac{4}{4}$

Étape 8.1.6

Multipliez $\frac{16}{1}$ par $\frac{4}{4}$ .

${(x + 5)}^{2} + {(y - 4)}^{2} = \frac{5}{4} + \frac{25 \cdot 4}{4} + \frac{16 \cdot 4}{4}$

Étape 8.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

${(x + 5)}^{2} + {(y - 4)}^{2} = \frac{5 + 25 \cdot 4 + 16 \cdot 4}{4}$

Étape 8.3

Simplifiez chaque terme.

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Étape 8.3.1

Multipliez $25$ par $4$ .

${(x + 5)}^{2} + {(y - 4)}^{2} = \frac{5 + 100 + 16 \cdot 4}{4}$

Étape 8.3.2

Multipliez $16$ par $4$ .

${(x + 5)}^{2} + {(y - 4)}^{2} = \frac{5 + 100 + 64}{4}$

Étape 8.4

Simplifiez en ajoutant des nombres.

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Étape 8.4.1

Additionnez $5$ et $100$ .

${(x + 5)}^{2} + {(y - 4)}^{2} = \frac{105 + 64}{4}$

Étape 8.4.2

Additionnez $105$ et $64$ .

${(x + 5)}^{2} + {(y - 4)}^{2} = \frac{169}{4}$