Pré-calcul Exemples

$s (t) = \frac{- 7 t}{(t - 4) (t - 8)}$

Étape 1

Placez le signe moins devant la fraction.

$s t = - \frac{7 t}{(t - 4) (t - 8)}$

Étape 2

Déterminez le plus petit dénominateur commun des termes dans l’équation.

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Étape 2.1

Déterminer le plus petit dénominateur commun d’une liste d’expressions équivaut à déterminer le plus petit multiple commun des dénominateurs de ces valeurs.

$1, (t - 4) (t - 8)$

Étape 2.2

Le plus petit multiple commun de toute expression est l’expression.

$(t - 4) (t - 8)$

Étape 3

Multiplier chaque terme dans $s t = - \frac{7 t}{(t - 4) (t - 8)}$ par $(t - 4) (t - 8)$ afin d’éliminer les fractions.

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Étape 3.1

Multipliez chaque terme dans $s t = - \frac{7 t}{(t - 4) (t - 8)}$ par $(t - 4) (t - 8)$ .

$s t ((t - 4) (t - 8)) = - \frac{7 t}{(t - 4) (t - 8)} ((t - 4) (t - 8))$

Étape 3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.2.1

Développez $(t - 4) (t - 8)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 3.2.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$s t (t (t - 8) - 4 (t - 8)) = - \frac{7 t}{(t - 4) (t - 8)} ((t - 4) (t - 8))$

Étape 3.2.1.2

Appliquez la propriété distributive.

$s t (t \cdot t + t \cdot - 8 - 4 (t - 8)) = - \frac{7 t}{(t - 4) (t - 8)} ((t - 4) (t - 8))$

Étape 3.2.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$s t (t \cdot t + t \cdot - 8 - 4 t - 4 \cdot - 8) = - \frac{7 t}{(t - 4) (t - 8)} ((t - 4) (t - 8))$

Étape 3.2.2

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 3.2.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.2.2.1.1

Multipliez $t$ par $t$ .

$s t (t^{2} + t \cdot - 8 - 4 t - 4 \cdot - 8) = - \frac{7 t}{(t - 4) (t - 8)} ((t - 4) (t - 8))$

Étape 3.2.2.1.2

Déplacez $- 8$ à gauche de $t$ .

$s t (t^{2} - 8 \cdot t - 4 t - 4 \cdot - 8) = - \frac{7 t}{(t - 4) (t - 8)} ((t - 4) (t - 8))$

Étape 3.2.2.1.3

Multipliez $- 4$ par $- 8$ .

$s t (t^{2} - 8 t - 4 t + 32) = - \frac{7 t}{(t - 4) (t - 8)} ((t - 4) (t - 8))$

Étape 3.2.2.2

Soustrayez $4 t$ de $- 8 t$ .

$s t (t^{2} - 12 t + 32) = - \frac{7 t}{(t - 4) (t - 8)} ((t - 4) (t - 8))$

Étape 3.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$s t \cdot t^{2} + s t (- 12 t) + s t \cdot 32 = - \frac{7 t}{(t - 4) (t - 8)} ((t - 4) (t - 8))$

Étape 3.2.4

Simplifiez

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Étape 3.2.4.1

Multipliez $t$ par $t^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 3.2.4.1.1

Déplacez $t^{2}$ .

$s (t^{2} t) + s t (- 12 t) + s t \cdot 32 = - \frac{7 t}{(t - 4) (t - 8)} ((t - 4) (t - 8))$

Étape 3.2.4.1.2

Multipliez $t^{2}$ par $t$ .

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Étape 3.2.4.1.2.1

Élevez $t$ à la puissance $1$ .

$s (t^{2} t^{1}) + s t (- 12 t) + s t \cdot 32 = - \frac{7 t}{(t - 4) (t - 8)} ((t - 4) (t - 8))$

Étape 3.2.4.1.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$s t^{2 + 1} + s t (- 12 t) + s t \cdot 32 = - \frac{7 t}{(t - 4) (t - 8)} ((t - 4) (t - 8))$

Étape 3.2.4.1.3

Additionnez $2$ et $1$ .

$s t^{3} + s t (- 12 t) + s t \cdot 32 = - \frac{7 t}{(t - 4) (t - 8)} ((t - 4) (t - 8))$

Étape 3.2.4.2

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$s t^{3} - 12 s t \cdot t + s t \cdot 32 = - \frac{7 t}{(t - 4) (t - 8)} ((t - 4) (t - 8))$

Étape 3.2.4.3

Déplacez $32$ à gauche de $s t$ .

$s t^{3} - 12 s t \cdot t + 32 \cdot (s t) = - \frac{7 t}{(t - 4) (t - 8)} ((t - 4) (t - 8))$

Étape 3.2.5

Multipliez $t$ par $t$ en additionnant les exposants.

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Étape 3.2.5.1

Déplacez $t$ .

$s t^{3} - 12 s (t \cdot t) + 32 \cdot (s t) = - \frac{7 t}{(t - 4) (t - 8)} ((t - 4) (t - 8))$

Étape 3.2.5.2

Multipliez $t$ par $t$ .

$s t^{3} - 12 s t^{2} + 32 \cdot (s t) = - \frac{7 t}{(t - 4) (t - 8)} ((t - 4) (t - 8))$

$s t^{3} - 12 s t^{2} + 32 s t = - \frac{7 t}{(t - 4) (t - 8)} ((t - 4) (t - 8))$

Étape 3.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.3.1

Annulez le facteur commun de $(t - 4) (t - 8)$ .

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Étape 3.3.1.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{7 t}{(t - 4) (t - 8)}$ dans le numérateur.

$s t^{3} - 12 s t^{2} + 32 s t = \frac{- 7 t}{(t - 4) (t - 8)} ((t - 4) (t - 8))$

Étape 3.3.1.2

Annulez le facteur commun.

$s t^{3} - 12 s t^{2} + 32 s t = \frac{- 7 t}{(t - 4) (t - 8)} ((t - 4) (t - 8))$

Étape 3.3.1.3

Réécrivez l’expression.

$s t^{3} - 12 s t^{2} + 32 s t = - 7 t$

Étape 4

Résolvez l’équation.

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Étape 4.1

Ajoutez $7 t$ aux deux côtés de l’équation.

$s t^{3} - 12 s t^{2} + 32 s t + 7 t = 0$

Étape 4.2

Factorisez $t$ à partir de $s t^{3} - 12 s t^{2} + 32 s t + 7 t$ .

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Étape 4.2.1

Factorisez $t$ à partir de $s t^{3}$ .

$t (s t^{2}) - 12 s t^{2} + 32 s t + 7 t = 0$

Étape 4.2.2

Factorisez $t$ à partir de $- 12 s t^{2}$ .

$t (s t^{2}) + t (- 12 s t) + 32 s t + 7 t = 0$

Étape 4.2.3

Factorisez $t$ à partir de $32 s t$ .

$t (s t^{2}) + t (- 12 s t) + t (32 s) + 7 t = 0$

Étape 4.2.4

Factorisez $t$ à partir de $7 t$ .

$t (s t^{2}) + t (- 12 s t) + t (32 s) + t \cdot 7 = 0$

Étape 4.2.5

Factorisez $t$ à partir de $t (s t^{2}) + t (- 12 s t)$ .

$t (s t^{2} - 12 s t) + t (32 s) + t \cdot 7 = 0$

Étape 4.2.6

Factorisez $t$ à partir de $t (s t^{2} - 12 s t) + t (32 s)$ .

$t (s t^{2} - 12 s t + 32 s) + t \cdot 7 = 0$

Étape 4.2.7

Factorisez $t$ à partir de $t (s t^{2} - 12 s t + 32 s) + t \cdot 7$ .

$t (s t^{2} - 12 s t + 32 s + 7) = 0$

Étape 4.3

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$t = 0$

$s t^{2} - 12 s t + 32 s + 7 = 0$

Étape 4.4

Définissez $t$ égal à $0$ .

$t = 0$

Étape 4.5

Définissez $s t^{2} - 12 s t + 32 s + 7$ égal à $0$ et résolvez $t$ .

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Étape 4.5.1

Définissez $s t^{2} - 12 s t + 32 s + 7$ égal à $0$ .

$s t^{2} - 12 s t + 32 s + 7 = 0$

Étape 4.5.2

Résolvez $s t^{2} - 12 s t + 32 s + 7 = 0$ pour $t$ .

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Étape 4.5.2.1

Utilisez la formule quadratique pour déterminer les solutions.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Étape 4.5.2.2

Remplacez les valeurs $a = s$ , $b = - 12 s$ et $c = 32 s + 7$ dans la formule quadratique et résolvez pour $t$ .

$\frac{12 s \pm \sqrt{{(- 12 s)}^{2} - 4 \cdot (s \cdot (32 s + 7))}}{2 s}$

Étape 4.5.2.3

Simplifiez

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Étape 4.5.2.3.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.5.2.3.1.1

Ajoutez des parenthèses.

$t = \frac{12 s \pm \sqrt{{(- 12 s)}^{2} - 4 \cdot (s \cdot (32 s + 7))}}{2 s}$

Étape 4.5.2.3.1.2

Laissez $u = s \cdot (32 s + 7)$ . Remplacez toutes les occurrences de $s \cdot (32 s + 7)$ par $u$ .

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Étape 4.5.2.3.1.2.1

Appliquez la règle de produit à $- 12 s$ .

$t = \frac{12 s \pm \sqrt{{(- 12)}^{2} s^{2} - 4 \cdot u}}{2 s}$

Étape 4.5.2.3.1.2.2

Élevez $- 12$ à la puissance $2$ .

$t = \frac{12 s \pm \sqrt{144 s^{2} - 4 u}}{2 s}$

Étape 4.5.2.3.1.3

Factorisez $4$ à partir de $144 s^{2} - 4 u$ .

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Étape 4.5.2.3.1.3.1

Factorisez $4$ à partir de $144 s^{2}$ .

$t = \frac{12 s \pm \sqrt{4 (36 s^{2}) - 4 u}}{2 s}$

Étape 4.5.2.3.1.3.2

Factorisez $4$ à partir de $- 4 u$ .

$t = \frac{12 s \pm \sqrt{4 (36 s^{2}) + 4 (- u)}}{2 s}$

Étape 4.5.2.3.1.3.3

Factorisez $4$ à partir de $4 (36 s^{2}) + 4 (- u)$ .

$t = \frac{12 s \pm \sqrt{4 (36 s^{2} - u)}}{2 s}$

Étape 4.5.2.3.1.4

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $s \cdot (32 s + 7)$ .

$t = \frac{12 s \pm \sqrt{4 (36 s^{2} - (s \cdot (32 s + 7)))}}{2 s}$

Étape 4.5.2.3.1.5

Simplifiez

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Étape 4.5.2.3.1.5.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.5.2.3.1.5.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$t = \frac{12 s \pm \sqrt{4 (36 s^{2} - (s (32 s) + s \cdot 7))}}{2 s}$

Étape 4.5.2.3.1.5.1.2

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$t = \frac{12 s \pm \sqrt{4 (36 s^{2} - (32 s \cdot s + s \cdot 7))}}{2 s}$

Étape 4.5.2.3.1.5.1.3

Déplacez $7$ à gauche de $s$ .

$t = \frac{12 s \pm \sqrt{4 (36 s^{2} - (32 s \cdot s + 7 \cdot s))}}{2 s}$

Étape 4.5.2.3.1.5.1.4

Multipliez $s$ par $s$ en additionnant les exposants.

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Étape 4.5.2.3.1.5.1.4.1

Déplacez $s$ .

$t = \frac{12 s \pm \sqrt{4 (36 s^{2} - (32 (s \cdot s) + 7 \cdot s))}}{2 s}$

Étape 4.5.2.3.1.5.1.4.2

Multipliez $s$ par $s$ .

$t = \frac{12 s \pm \sqrt{4 (36 s^{2} - (32 s^{2} + 7 \cdot s))}}{2 s}$

$t = \frac{12 s \pm \sqrt{4 (36 s^{2} - (32 s^{2} + 7 s))}}{2 s}$

Étape 4.5.2.3.1.5.1.5

Appliquez la propriété distributive.

$t = \frac{12 s \pm \sqrt{4 (36 s^{2} - (32 s^{2}) - (7 s))}}{2 s}$

Étape 4.5.2.3.1.5.1.6

Multipliez $32$ par $- 1$ .

$t = \frac{12 s \pm \sqrt{4 (36 s^{2} - 32 s^{2} - (7 s))}}{2 s}$

Étape 4.5.2.3.1.5.1.7

Multipliez $7$ par $- 1$ .

$t = \frac{12 s \pm \sqrt{4 (36 s^{2} - 32 s^{2} - 7 s)}}{2 s}$

Étape 4.5.2.3.1.5.2

Soustrayez $32 s^{2}$ de $36 s^{2}$ .

$t = \frac{12 s \pm \sqrt{4 (4 s^{2} - 7 s)}}{2 s}$

Étape 4.5.2.3.1.6

Factorisez $s$ à partir de $4 s^{2} - 7 s$ .

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Étape 4.5.2.3.1.6.1

Factorisez $s$ à partir de $4 s^{2}$ .

$t = \frac{12 s \pm \sqrt{4 (s (4 s) - 7 s)}}{2 s}$

Étape 4.5.2.3.1.6.2

Factorisez $s$ à partir de $- 7 s$ .

$t = \frac{12 s \pm \sqrt{4 (s (4 s) + s \cdot - 7)}}{2 s}$

Étape 4.5.2.3.1.6.3

Factorisez $s$ à partir de $s (4 s) + s \cdot - 7$ .

$t = \frac{12 s \pm \sqrt{4 (s (4 s - 7))}}{2 s}$

$t = \frac{12 s \pm \sqrt{4 s (4 s - 7)}}{2 s}$

Étape 4.5.2.3.1.7

Réécrivez $4 s (4 s - 7)$ comme $2^{2} (s (2^{2} s - 7))$ .

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Étape 4.5.2.3.1.7.1

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$t = \frac{12 s \pm \sqrt{2^{2} s (4 s - 7)}}{2 s}$

Étape 4.5.2.3.1.7.2

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$t = \frac{12 s \pm \sqrt{2^{2} s (2^{2} s - 7)}}{2 s}$

Étape 4.5.2.3.1.7.3

Ajoutez des parenthèses.

$t = \frac{12 s \pm \sqrt{2^{2} (s (2^{2} s - 7))}}{2 s}$

Étape 4.5.2.3.1.8

Extrayez les termes de sous le radical.

$t = \frac{12 s \pm 2 \sqrt{s (2^{2} s - 7)}}{2 s}$

Étape 4.5.2.3.1.9

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$t = \frac{12 s \pm 2 \sqrt{s (4 s - 7)}}{2 s}$

Étape 4.5.2.3.2

Simplifiez $\frac{12 s \pm 2 \sqrt{s (4 s - 7)}}{2 s}$ .

$t = \frac{6 s \pm \sqrt{s (4 s - 7)}}{s}$

Étape 4.5.2.4

La réponse finale est la combinaison des deux solutions.

$t = \frac{6 s + \sqrt{s (4 s - 7)}}{s}$

$t = \frac{6 s - \sqrt{s (4 s - 7)}}{s}$

$t = \frac{6 s + \sqrt{s (4 s - 7)}}{s}$

$t = \frac{6 s - \sqrt{s (4 s - 7)}}{s}$

$t = \frac{6 s + \sqrt{s (4 s - 7)}}{s}$

$t = \frac{6 s - \sqrt{s (4 s - 7)}}{s}$

Étape 4.6

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $t (s t^{2} - 12 s t + 32 s + 7) = 0$ vraie.

$t = 0$

$t = \frac{6 s + \sqrt{s (4 s - 7)}}{s}$

$t = \frac{6 s - \sqrt{s (4 s - 7)}}{s}$

$t = 0$

$t = \frac{6 s + \sqrt{s (4 s - 7)}}{s}$

$t = \frac{6 s - \sqrt{s (4 s - 7)}}{s}$