Pré-calcul Exemples

$\cos (2 t) = - \frac{1}{2}$

Étape 1

Prenez le cosinus inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $t$ de l’intérieur du cosinus.

$2 t = \arccos (- \frac{1}{2})$

Étape 2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.1

La valeur exacte de $\arccos (- \frac{1}{2})$ est $\frac{2 π}{3}$ .

$2 t = \frac{2 π}{3}$

Étape 3

Divisez chaque terme dans $2 t = \frac{2 π}{3}$ par $2$ et simplifiez.

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Étape 3.1

Divisez chaque terme dans $2 t = \frac{2 π}{3}$ par $2$ .

$\frac{2 t}{2} = \frac{\frac{2 π}{3}}{2}$

Étape 3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 3.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 t}{2} = \frac{\frac{2 π}{3}}{2}$

Étape 3.2.1.2

Divisez $t$ par $1$ .

$t = \frac{\frac{2 π}{3}}{2}$

Étape 3.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.3.1

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$t = \frac{2 π}{3} \cdot \frac{1}{2}$

Étape 3.3.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 3.3.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2 π$ .

$t = \frac{2 (π)}{3} \cdot \frac{1}{2}$

Étape 3.3.2.2

Annulez le facteur commun.

$t = \frac{2 π}{3} \cdot \frac{1}{2}$

Étape 3.3.2.3

Réécrivez l’expression.

$t = \frac{π}{3}$

Étape 4

La fonction cosinus est négative dans les deuxième et troisième quadrants. Pour déterminer la deuxième solution, soustrayez l’angle de référence de $2 π$ pour déterminer la solution dans le troisième quadrant.

$2 t = 2 π - \frac{2 π}{3}$

Étape 5

Résolvez $t$ .

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Étape 5.1

Simplifiez

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Étape 5.1.1

Pour écrire $2 π$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$2 t = 2 π \cdot \frac{3}{3} - \frac{2 π}{3}$

Étape 5.1.2

Associez $2 π$ et $\frac{3}{3}$ .

$2 t = \frac{2 π \cdot 3}{3} - \frac{2 π}{3}$

Étape 5.1.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$2 t = \frac{2 π \cdot 3 - 2 π}{3}$

Étape 5.1.4

Multipliez $3$ par $2$ .

$2 t = \frac{6 π - 2 π}{3}$

Étape 5.1.5

Soustrayez $2 π$ de $6 π$ .

$2 t = \frac{4 π}{3}$

Étape 5.2

Divisez chaque terme dans $2 t = \frac{4 π}{3}$ par $2$ et simplifiez.

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Étape 5.2.1

Divisez chaque terme dans $2 t = \frac{4 π}{3}$ par $2$ .

$\frac{2 t}{2} = \frac{\frac{4 π}{3}}{2}$

Étape 5.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.2.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 5.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 t}{2} = \frac{\frac{4 π}{3}}{2}$

Étape 5.2.2.1.2

Divisez $t$ par $1$ .

$t = \frac{\frac{4 π}{3}}{2}$

Étape 5.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.2.3.1

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$t = \frac{4 π}{3} \cdot \frac{1}{2}$

Étape 5.2.3.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 5.2.3.2.1

Factorisez $2$ à partir de $4 π$ .

$t = \frac{2 (2 π)}{3} \cdot \frac{1}{2}$

Étape 5.2.3.2.2

Annulez le facteur commun.

$t = \frac{2 (2 π)}{3} \cdot \frac{1}{2}$

Étape 5.2.3.2.3

Réécrivez l’expression.

$t = \frac{2 π}{3}$

Étape 6

Déterminez la période de $\cos (2 t)$ .

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Étape 6.1

La période de la fonction peut être calculée en utilisant $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Étape 6.2

Remplacez $b$ par $2$ dans la formule pour la période.

$\frac{2 π}{| 2 |}$

Étape 6.3

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $2$ est $2$ .

$\frac{2 π}{2}$

Étape 6.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 6.4.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 π}{2}$

Étape 6.4.2

Divisez $π$ par $1$ .

$π$

Étape 7

La période de la fonction $\cos (2 t)$ est $π$ si bien que les valeurs se répètent tous les $π$ radians dans les deux sens.

$t = \frac{π}{3} + π n, \frac{2 π}{3} + π n$ , pour tout entier $n$