Pré-calcul Exemples

${(\frac{1}{5})}^{2} + \cos^{2} (t) = 1$

Étape 1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.1

Appliquez la règle de produit à $\frac{1}{5}$ .

$\frac{1^{2}}{5^{2}} + \cos^{2} (t) = 1$

Étape 1.2

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$\frac{1}{5^{2}} + \cos^{2} (t) = 1$

Étape 1.3

Élevez $5$ à la puissance $2$ .

$\frac{1}{25} + \cos^{2} (t) = 1$

Étape 2

Déplacez tous les termes ne contenant pas $\cos (t)$ du côté droit de l’équation.

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Étape 2.1

Soustrayez $\frac{1}{25}$ des deux côtés de l’équation.

$\cos^{2} (t) = 1 - \frac{1}{25}$

Étape 2.2

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$\cos^{2} (t) = \frac{25}{25} - \frac{1}{25}$

Étape 2.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\cos^{2} (t) = \frac{25 - 1}{25}$

Étape 2.4

Soustrayez $1$ de $25$ .

$\cos^{2} (t) = \frac{24}{25}$

Étape 3

Prenez la racine spécifiée des deux côtés de l’équation pour éliminer l’exposant du côté gauche.

$\cos (t) = \pm \sqrt{\frac{24}{25}}$

Étape 4

Simplifiez $\pm \sqrt{\frac{24}{25}}$ .

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Étape 4.1

Réécrivez $\sqrt{\frac{24}{25}}$ comme $\frac{\sqrt{24}}{\sqrt{25}}$ .

$\cos (t) = \pm \frac{\sqrt{24}}{\sqrt{25}}$

Étape 4.2

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.2.1

Réécrivez $24$ comme $2^{2} \cdot 6$ .

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Étape 4.2.1.1

Factorisez $4$ à partir de $24$ .

$\cos (t) = \pm \frac{\sqrt{4 (6)}}{\sqrt{25}}$

Étape 4.2.1.2

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$\cos (t) = \pm \frac{\sqrt{2^{2} \cdot 6}}{\sqrt{25}}$

Étape 4.2.2

Extrayez les termes de sous le radical.

$\cos (t) = \pm \frac{2 \sqrt{6}}{\sqrt{25}}$

Étape 4.3

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 4.3.1

Réécrivez $25$ comme $5^{2}$ .

$\cos (t) = \pm \frac{2 \sqrt{6}}{\sqrt{5^{2}}}$

Étape 4.3.2

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$\cos (t) = \pm \frac{2 \sqrt{6}}{5}$

Étape 5

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 5.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$\cos (t) = \frac{2 \sqrt{6}}{5}$

Étape 5.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$\cos (t) = - \frac{2 \sqrt{6}}{5}$

Étape 5.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$\cos (t) = \frac{2 \sqrt{6}}{5}, - \frac{2 \sqrt{6}}{5}$

Étape 6

Définissez chacune des solutions à résoudre pour $t$ .

$\cos (t) = \frac{2 \sqrt{6}}{5}$

$\cos (t) = - \frac{2 \sqrt{6}}{5}$

Étape 7

Résolvez $t$ dans $\cos (t) = \frac{2 \sqrt{6}}{5}$ .

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Étape 7.1

Prenez le cosinus inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $t$ de l’intérieur du cosinus.

$t = \arccos (\frac{2 \sqrt{6}}{5})$

Étape 7.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 7.2.1

Évaluez $\arccos (\frac{2 \sqrt{6}}{5})$ .

$t = 0.20135792$

Étape 7.3

La fonction cosinus est positive dans les premier et quatrième quadrants. Pour déterminer la deuxième solution, soustrayez l’angle de référence de $2 π$ pour déterminer la solution dans le quatrième quadrant.

$t = 2 (3.14159265) - 0.20135792$

Étape 7.4

Résolvez $t$ .

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Étape 7.4.1

Supprimez les parenthèses.

$t = 2 (3.14159265) - 0.20135792$

Étape 7.4.2

Simplifiez $2 (3.14159265) - 0.20135792$ .

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Étape 7.4.2.1

Multipliez $2$ par $3.14159265$ .

$t = 6.2831853 - 0.20135792$

Étape 7.4.2.2

Soustrayez $0.20135792$ de $6.2831853$ .

$t = 6.08182738$

Étape 7.5

Déterminez la période de $\cos (t)$ .

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Étape 7.5.1

La période de la fonction peut être calculée en utilisant $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Étape 7.5.2

Remplacez $b$ par $1$ dans la formule pour la période.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Étape 7.5.3

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $1$ est $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Étape 7.5.4

Divisez $2 π$ par $1$ .

$2 π$

Étape 7.6

La période de la fonction $\cos (t)$ est $2 π$ si bien que les valeurs se répètent tous les $2 π$ radians dans les deux sens.

$t = 0.20135792 + 2 π n, 6.08182738 + 2 π n$ , pour tout entier $n$

Étape 8

Résolvez $t$ dans $\cos (t) = - \frac{2 \sqrt{6}}{5}$ .

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Étape 8.1

Prenez le cosinus inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $t$ de l’intérieur du cosinus.

$t = \arccos (- \frac{2 \sqrt{6}}{5})$

Étape 8.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 8.2.1

Évaluez $\arccos (- \frac{2 \sqrt{6}}{5})$ .

$t = 2.94023473$

Étape 8.3

La fonction cosinus est négative dans les deuxième et troisième quadrants. Pour déterminer la deuxième solution, soustrayez l’angle de référence de $2 π$ pour déterminer la solution dans le troisième quadrant.

$t = 2 (3.14159265) - 2.94023473$

Étape 8.4

Résolvez $t$ .

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Étape 8.4.1

Supprimez les parenthèses.

$t = 2 (3.14159265) - 2.94023473$

Étape 8.4.2

Simplifiez $2 (3.14159265) - 2.94023473$ .

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Étape 8.4.2.1

Multipliez $2$ par $3.14159265$ .

$t = 6.2831853 - 2.94023473$

Étape 8.4.2.2

Soustrayez $2.94023473$ de $6.2831853$ .

$t = 3.34295057$

Étape 8.5

Déterminez la période de $\cos (t)$ .

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Étape 8.5.1

La période de la fonction peut être calculée en utilisant $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Étape 8.5.2

Remplacez $b$ par $1$ dans la formule pour la période.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Étape 8.5.3

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $1$ est $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Étape 8.5.4

Divisez $2 π$ par $1$ .

$2 π$

Étape 8.6

La période de la fonction $\cos (t)$ est $2 π$ si bien que les valeurs se répètent tous les $2 π$ radians dans les deux sens.

$t = 2.94023473 + 2 π n, 3.34295057 + 2 π n$ , pour tout entier $n$

Étape 9

Indiquez toutes les solutions.

$t = 0.20135792 + 2 π n, 6.08182738 + 2 π n, 2.94023473 + 2 π n, 3.34295057 + 2 π n$ , pour tout entier $n$

Étape 10

Consolidez les solutions.

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Étape 10.1

Consolidez $0.20135792 + 2 π n$ et $3.34295057 + 2 π n$ en $0.20135792 + π n$ .

$t = 0.20135792 + π n, 6.08182738 + 2 π n, 2.94023473 + 2 π n$ , pour tout entier $n$

Étape 10.2

Consolidez $6.08182738 + 2 π n$ et $2.94023473 + 2 π n$ en $2.94023473 + π n$ .

$t = 0.20135792 + π n, 2.94023473 + π n$ , pour tout entier $n$