Pré-calcul Exemples

$\frac{a x + b}{x^{2} - 16} = \frac{A}{x - 4} + \frac{B}{x + 4}$

Étape 1

Multipliez les deux côtés par $x^{2} - 16$ .

$\frac{a x + b}{x^{2} - 16} (x^{2} - 16) = (\frac{A}{x - 4} + \frac{B}{x + 4}) (x^{2} - 16)$

Étape 2

Simplifiez

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Étape 2.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.1.1

Annulez le facteur commun de $x^{2} - 16$ .

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Étape 2.1.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{a x + b}{x^{2} - 16} (x^{2} - 16) = (\frac{A}{x - 4} + \frac{B}{x + 4}) (x^{2} - 16)$

Étape 2.1.1.2

Réécrivez l’expression.

$a x + b = (\frac{A}{x - 4} + \frac{B}{x + 4}) (x^{2} - 16)$

Étape 2.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.2.1

Simplifiez $(\frac{A}{x - 4} + \frac{B}{x + 4}) (x^{2} - 16)$ .

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Étape 2.2.1.1

Pour écrire $\frac{A}{x - 4}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{x + 4}{x + 4}$ .

$a x + b = (\frac{A}{x - 4} \cdot \frac{x + 4}{x + 4} + \frac{B}{x + 4}) (x^{2} - 16)$

Étape 2.2.1.2

Pour écrire $\frac{B}{x + 4}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{x - 4}{x - 4}$ .

$a x + b = (\frac{A}{x - 4} \cdot \frac{x + 4}{x + 4} + \frac{B}{x + 4} \cdot \frac{x - 4}{x - 4}) (x^{2} - 16)$

Étape 2.2.1.3

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $(x - 4) (x + 4)$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 2.2.1.3.1

Multipliez $\frac{A}{x - 4}$ par $\frac{x + 4}{x + 4}$ .

$a x + b = (\frac{A (x + 4)}{(x - 4) (x + 4)} + \frac{B}{x + 4} \cdot \frac{x - 4}{x - 4}) (x^{2} - 16)$

Étape 2.2.1.3.2

Multipliez $\frac{B}{x + 4}$ par $\frac{x - 4}{x - 4}$ .

$a x + b = (\frac{A (x + 4)}{(x - 4) (x + 4)} + \frac{B (x - 4)}{(x + 4) (x - 4)}) (x^{2} - 16)$

Étape 2.2.1.3.3

Réorganisez les facteurs de $(x - 4) (x + 4)$ .

$a x + b = (\frac{A (x + 4)}{(x + 4) (x - 4)} + \frac{B (x - 4)}{(x + 4) (x - 4)}) (x^{2} - 16)$

Étape 2.2.1.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$a x + b = \frac{A (x + 4) + B (x - 4)}{(x + 4) (x - 4)} (x^{2} - 16)$

Étape 2.2.1.5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.2.1.5.1

Appliquez la propriété distributive.

$a x + b = \frac{A x + A \cdot 4 + B (x - 4)}{(x + 4) (x - 4)} (x^{2} - 16)$

Étape 2.2.1.5.2

Déplacez $4$ à gauche de $A$ .

$a x + b = \frac{A x + 4 \cdot A + B (x - 4)}{(x + 4) (x - 4)} (x^{2} - 16)$

Étape 2.2.1.5.3

Appliquez la propriété distributive.

$a x + b = \frac{A x + 4 A + B x + B \cdot - 4}{(x + 4) (x - 4)} (x^{2} - 16)$

Étape 2.2.1.5.4

Déplacez $- 4$ à gauche de $B$ .

$a x + b = \frac{A x + 4 A + B x - 4 B}{(x + 4) (x - 4)} (x^{2} - 16)$

Étape 2.2.1.6

Multipliez $\frac{A x + 4 A + B x - 4 B}{(x + 4) (x - 4)}$ par $x^{2} - 16$ .

$a x + b = \frac{(A x + 4 A + B x - 4 B) (x^{2} - 16)}{(x + 4) (x - 4)}$

Étape 2.2.1.7

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.2.1.7.1

Réécrivez $16$ comme $4^{2}$ .

$a x + b = \frac{(A x + 4 A + B x - 4 B) (x^{2} - 4^{2})}{(x + 4) (x - 4)}$

Étape 2.2.1.7.2

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = x$ et $b = 4$ .

$a x + b = \frac{(A x + 4 A + B x - 4 B) (x + 4) (x - 4)}{(x + 4) (x - 4)}$

Étape 2.2.1.8

Réduisez l’expression en annulant les facteurs communs.

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Étape 2.2.1.8.1

Annulez le facteur commun de $x + 4$ .

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Étape 2.2.1.8.1.1

Annulez le facteur commun.

$a x + b = \frac{(A x + 4 A + B x - 4 B) (x + 4) (x - 4)}{(x + 4) (x - 4)}$

Étape 2.2.1.8.1.2

Réécrivez l’expression.

$a x + b = \frac{(A x + 4 A + B x - 4 B) (x - 4)}{x - 4}$

Étape 2.2.1.8.2

Annulez le facteur commun de $x - 4$ .

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Étape 2.2.1.8.2.1

Annulez le facteur commun.

$a x + b = \frac{(A x + 4 A + B x - 4 B) (x - 4)}{x - 4}$

Étape 2.2.1.8.2.2

Divisez $A x + 4 A + B x - 4 B$ par $1$ .

$a x + b = A x + 4 A + B x - 4 B$

Étape 2.2.1.8.3

Simplifiez l’expression.

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Étape 2.2.1.8.3.1

Remettez dans l’ordre $A$ et $x$ .

$a x + b = x A + 4 A + B x - 4 B$

Étape 2.2.1.8.3.2

Remettez dans l’ordre $B$ et $x$ .

$a x + b = x A + 4 A + x B - 4 B$

Étape 2.2.1.8.3.3

Déplacez $4 A$ .

$a x + b = x A + x B + 4 A - 4 B$

Étape 3

Résolvez $a$ .

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Étape 3.1

Soustrayez $b$ des deux côtés de l’équation.

$a x = x A + x B + 4 A - 4 B - b$

Étape 3.2

Divisez chaque terme dans $a x = x A + x B + 4 A - 4 B - b$ par $x$ et simplifiez.

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Étape 3.2.1

Divisez chaque terme dans $a x = x A + x B + 4 A - 4 B - b$ par $x$ .

$\frac{a x}{x} = \frac{x A}{x} + \frac{x B}{x} + \frac{4 A}{x} + \frac{- 4 B}{x} + \frac{- b}{x}$

Étape 3.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.2.2.1

Annulez le facteur commun de $x$ .

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Étape 3.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{a x}{x} = \frac{x A}{x} + \frac{x B}{x} + \frac{4 A}{x} + \frac{- 4 B}{x} + \frac{- b}{x}$

Étape 3.2.2.1.2

Divisez $a$ par $1$ .

$a = \frac{x A}{x} + \frac{x B}{x} + \frac{4 A}{x} + \frac{- 4 B}{x} + \frac{- b}{x}$

Étape 3.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.2.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.2.3.1.1

Annulez le facteur commun de $x$ .

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Étape 3.2.3.1.1.1

Annulez le facteur commun.

$a = \frac{x A}{x} + \frac{x B}{x} + \frac{4 A}{x} + \frac{- 4 B}{x} + \frac{- b}{x}$

Étape 3.2.3.1.1.2

Divisez $A$ par $1$ .

$a = A + \frac{x B}{x} + \frac{4 A}{x} + \frac{- 4 B}{x} + \frac{- b}{x}$

Étape 3.2.3.1.2

Annulez le facteur commun de $x$ .

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Étape 3.2.3.1.2.1

Annulez le facteur commun.

$a = A + \frac{x B}{x} + \frac{4 A}{x} + \frac{- 4 B}{x} + \frac{- b}{x}$

Étape 3.2.3.1.2.2

Divisez $B$ par $1$ .

$a = A + B + \frac{4 A}{x} + \frac{- 4 B}{x} + \frac{- b}{x}$

Étape 3.2.3.1.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$a = A + B + \frac{4 A}{x} - \frac{4 B}{x} + \frac{- b}{x}$

Étape 3.2.3.1.4

Placez le signe moins devant la fraction.

$a = A + B + \frac{4 A}{x} - \frac{4 B}{x} - \frac{b}{x}$