Pré-calcul Exemples

${(x + 5)}^{2} = 24 (y + 1)$

Étape 1

Réécrivez l’équation en forme de sommet.

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Étape 1.1

Isolez $y$ du côté gauche de l’équation.

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Étape 1.1.1

Réécrivez l’équation comme $24 (y + 1) = {(x + 5)}^{2}$ .

$24 (y + 1) = {(x + 5)}^{2}$

Étape 1.1.2

Divisez chaque terme dans $24 (y + 1) = {(x + 5)}^{2}$ par $24$ et simplifiez.

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Étape 1.1.2.1

Divisez chaque terme dans $24 (y + 1) = {(x + 5)}^{2}$ par $24$ .

$\frac{24 (y + 1)}{24} = \frac{{(x + 5)}^{2}}{24}$

Étape 1.1.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 1.1.2.2.1

Annulez le facteur commun de $24$ .

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Étape 1.1.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{24 (y + 1)}{24} = \frac{{(x + 5)}^{2}}{24}$

Étape 1.1.2.2.1.2

Divisez $y + 1$ par $1$ .

$y + 1 = \frac{{(x + 5)}^{2}}{24}$

Étape 1.1.3

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$y = \frac{{(x + 5)}^{2}}{24} - 1$

Étape 1.1.4

Remettez les termes dans l’ordre.

$y = \frac{1}{24} \cdot {(x + 5)}^{2} - 1$

Étape 1.2

Complétez le carré pour $\frac{1}{24} \cdot {(x + 5)}^{2} - 1$ .

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Étape 1.2.1

Simplifiez l’expression.

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Étape 1.2.1.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.2.1.1.1

Réécrivez ${(x + 5)}^{2}$ comme $(x + 5) (x + 5)$ .

$\frac{1}{24} \cdot ((x + 5) (x + 5)) - 1$

Étape 1.2.1.1.2

Développez $(x + 5) (x + 5)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 1.2.1.1.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{1}{24} \cdot (x (x + 5) + 5 (x + 5)) - 1$

Étape 1.2.1.1.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{1}{24} \cdot (x \cdot x + x \cdot 5 + 5 (x + 5)) - 1$

Étape 1.2.1.1.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{1}{24} \cdot (x \cdot x + x \cdot 5 + 5 x + 5 \cdot 5) - 1$

Étape 1.2.1.1.3

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 1.2.1.1.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.2.1.1.3.1.1

Multipliez $x$ par $x$ .

$\frac{1}{24} \cdot (x^{2} + x \cdot 5 + 5 x + 5 \cdot 5) - 1$

Étape 1.2.1.1.3.1.2

Déplacez $5$ à gauche de $x$ .

$\frac{1}{24} \cdot (x^{2} + 5 \cdot x + 5 x + 5 \cdot 5) - 1$

Étape 1.2.1.1.3.1.3

Multipliez $5$ par $5$ .

$\frac{1}{24} \cdot (x^{2} + 5 x + 5 x + 25) - 1$

Étape 1.2.1.1.3.2

Additionnez $5 x$ et $5 x$ .

$\frac{1}{24} \cdot (x^{2} + 10 x + 25) - 1$

Étape 1.2.1.1.4

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{1}{24} x^{2} + \frac{1}{24} (10 x) + \frac{1}{24} \cdot 25 - 1$

Étape 1.2.1.1.5

Simplifiez

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Étape 1.2.1.1.5.1

Associez $\frac{1}{24}$ et $x^{2}$ .

$\frac{x^{2}}{24} + \frac{1}{24} (10 x) + \frac{1}{24} \cdot 25 - 1$

Étape 1.2.1.1.5.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 1.2.1.1.5.2.1

Factorisez $2$ à partir de $24$ .

$\frac{x^{2}}{24} + \frac{1}{2 (12)} (10 x) + \frac{1}{24} \cdot 25 - 1$

Étape 1.2.1.1.5.2.2

Factorisez $2$ à partir de $10 x$ .

$\frac{x^{2}}{24} + \frac{1}{2 (12)} (2 (5 x)) + \frac{1}{24} \cdot 25 - 1$

Étape 1.2.1.1.5.2.3

Annulez le facteur commun.

$\frac{x^{2}}{24} + \frac{1}{2 \cdot 12} (2 (5 x)) + \frac{1}{24} \cdot 25 - 1$

Étape 1.2.1.1.5.2.4

Réécrivez l’expression.

$\frac{x^{2}}{24} + \frac{1}{12} (5 x) + \frac{1}{24} \cdot 25 - 1$

Étape 1.2.1.1.5.3

Associez $5$ et $\frac{1}{12}$ .

$\frac{x^{2}}{24} + \frac{5}{12} x + \frac{1}{24} \cdot 25 - 1$

Étape 1.2.1.1.5.4

Associez $\frac{5}{12}$ et $x$ .

$\frac{x^{2}}{24} + \frac{5 x}{12} + \frac{1}{24} \cdot 25 - 1$

Étape 1.2.1.1.5.5

Associez $\frac{1}{24}$ et $25$ .

$\frac{x^{2}}{24} + \frac{5 x}{12} + \frac{25}{24} - 1$

Étape 1.2.1.2

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{24}{24}$ .

$\frac{x^{2}}{24} + \frac{5 x}{12} + \frac{25}{24} - 1 \cdot \frac{24}{24}$

Étape 1.2.1.3

Associez $- 1$ et $\frac{24}{24}$ .

$\frac{x^{2}}{24} + \frac{5 x}{12} + \frac{25}{24} + \frac{- 1 \cdot 24}{24}$

Étape 1.2.1.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{x^{2}}{24} + \frac{5 x}{12} + \frac{25 - 1 \cdot 24}{24}$

Étape 1.2.1.5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.2.1.5.1

Multipliez $- 1$ par $24$ .

$\frac{x^{2}}{24} + \frac{5 x}{12} + \frac{25 - 24}{24}$

Étape 1.2.1.5.2

Soustrayez $24$ de $25$ .

$\frac{x^{2}}{24} + \frac{5 x}{12} + \frac{1}{24}$

Étape 1.2.2

Utilisez la forme $a x^{2} + b x + c$ pour déterminer les valeurs de $a$ , $b$ et $c$ .

$a = \frac{1}{24}$

$b = \frac{5}{12}$

$c = \frac{1}{24}$

Étape 1.2.3

Étudiez la forme du sommet d’une parabole.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Étape 1.2.4

Déterminez la valeur de $d$ en utilisant la formule $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Étape 1.2.4.1

Remplacez les valeurs de $a$ et $b$ dans la formule $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{\frac{5}{12}}{2 (\frac{1}{24})}$

Étape 1.2.4.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 1.2.4.2.1

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$d = \frac{5}{12} \cdot \frac{1}{2 (\frac{1}{24})}$

Étape 1.2.4.2.2

Associez $2$ et $\frac{1}{24}$ .

$d = \frac{5}{12} \cdot \frac{1}{\frac{2}{24}}$

Étape 1.2.4.2.3

Annulez le facteur commun à $2$ et $24$ .

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Étape 1.2.4.2.3.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$d = \frac{5}{12} \cdot \frac{1}{\frac{2 (1)}{24}}$

Étape 1.2.4.2.3.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 1.2.4.2.3.2.1

Factorisez $2$ à partir de $24$ .

$d = \frac{5}{12} \cdot \frac{1}{\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 12}}$

Étape 1.2.4.2.3.2.2

Annulez le facteur commun.

$d = \frac{5}{12} \cdot \frac{1}{\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 12}}$

Étape 1.2.4.2.3.2.3

Réécrivez l’expression.

$d = \frac{5}{12} \cdot \frac{1}{\frac{1}{12}}$

Étape 1.2.4.2.4

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$d = \frac{5}{12} (1 \cdot 12)$

Étape 1.2.4.2.5

Annulez le facteur commun de $12$ .

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Étape 1.2.4.2.5.1

Factorisez $12$ à partir de $1 \cdot 12$ .

$d = \frac{5}{12} (12 \cdot 1)$

Étape 1.2.4.2.5.2

Annulez le facteur commun.

$d = \frac{5}{12} (12 \cdot 1)$

Étape 1.2.4.2.5.3

Réécrivez l’expression.

$d = 5$

Étape 1.2.5

Déterminez la valeur de $e$ en utilisant la formule $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Étape 1.2.5.1

Remplacez les valeurs de $c$ , $b$ et $a$ dans la formule $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = \frac{1}{24} - \frac{{(\frac{5}{12})}^{2}}{4 (\frac{1}{24})}$

Étape 1.2.5.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 1.2.5.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.2.5.2.1.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.2.5.2.1.1.1

Appliquez la règle de produit à $\frac{5}{12}$ .

$e = \frac{1}{24} - \frac{\frac{5^{2}}{12^{2}}}{4 (\frac{1}{24})}$

Étape 1.2.5.2.1.1.2

Élevez $5$ à la puissance $2$ .

$e = \frac{1}{24} - \frac{\frac{25}{12^{2}}}{4 (\frac{1}{24})}$

Étape 1.2.5.2.1.1.3

Élevez $12$ à la puissance $2$ .

$e = \frac{1}{24} - \frac{\frac{25}{144}}{4 (\frac{1}{24})}$

Étape 1.2.5.2.1.2

Associez $4$ et $\frac{1}{24}$ .

$e = \frac{1}{24} - \frac{\frac{25}{144}}{\frac{4}{24}}$

Étape 1.2.5.2.1.3

Annulez le facteur commun à $4$ et $24$ .

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Étape 1.2.5.2.1.3.1

Factorisez $4$ à partir de $4$ .

$e = \frac{1}{24} - \frac{\frac{25}{144}}{\frac{4 (1)}{24}}$

Étape 1.2.5.2.1.3.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 1.2.5.2.1.3.2.1

Factorisez $4$ à partir de $24$ .

$e = \frac{1}{24} - \frac{\frac{25}{144}}{\frac{4 \cdot 1}{4 \cdot 6}}$

Étape 1.2.5.2.1.3.2.2

Annulez le facteur commun.

$e = \frac{1}{24} - \frac{\frac{25}{144}}{\frac{4 \cdot 1}{4 \cdot 6}}$

Étape 1.2.5.2.1.3.2.3

Réécrivez l’expression.

$e = \frac{1}{24} - \frac{\frac{25}{144}}{\frac{1}{6}}$

Étape 1.2.5.2.1.4

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$e = \frac{1}{24} - (\frac{25}{144} \cdot 6)$

Étape 1.2.5.2.1.5

Annulez le facteur commun de $6$ .

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Étape 1.2.5.2.1.5.1

Factorisez $6$ à partir de $144$ .

$e = \frac{1}{24} - (\frac{25}{6 (24)} \cdot 6)$

Étape 1.2.5.2.1.5.2

Annulez le facteur commun.

$e = \frac{1}{24} - (\frac{25}{6 \cdot 24} \cdot 6)$

Étape 1.2.5.2.1.5.3

Réécrivez l’expression.

$e = \frac{1}{24} - \frac{25}{24}$

Étape 1.2.5.2.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$e = \frac{1 - 25}{24}$

Étape 1.2.5.2.3

Soustrayez $25$ de $1$ .

$e = \frac{- 24}{24}$

Étape 1.2.5.2.4

Divisez $- 24$ par $24$ .

$e = - 1$

Étape 1.2.6

Remplacez les valeurs de $a$ , $d$ et $e$ dans la forme du sommet $\frac{1}{24} {(x + 5)}^{2} - 1$ .

$\frac{1}{24} {(x + 5)}^{2} - 1$

Étape 1.3

Définissez $y$ égal au nouveau côté droit.

$y = \frac{1}{24} \cdot {(x + 5)}^{2} - 1$

Étape 2

Utilisez la forme du sommet, $y = a {(x - h)}^{2} + k$ , pour déterminer les valeurs de $a$ , $h$ et $k$ .

$a = \frac{1}{24}$

$h = - 5$

$k = - 1$

Étape 3

Comme la valeur de $a$ est positive, la parabole ouvre vers le haut.

ouvre vers le haut

Étape 4

Déterminez le sommet $(h, k)$ .

$(- 5, - 1)$

Étape 5

Déterminez $p$ , la distance du sommet au foyer.

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Étape 5.1

Déterminez la distance du sommet à un foyer de la parabole en utilisant la formule suivante.

$\frac{1}{4 a}$

Étape 5.2

Remplacez la valeur de $a$ dans la fonction.

$\frac{1}{4 \cdot \frac{1}{24}}$

Étape 5.3

Simplifiez

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Étape 5.3.1

Associez $4$ et $\frac{1}{24}$ .

$\frac{1}{\frac{4}{24}}$

Étape 5.3.2

Annulez le facteur commun à $4$ et $24$ .

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Étape 5.3.2.1

Factorisez $4$ à partir de $4$ .

$\frac{1}{\frac{4 (1)}{24}}$

Étape 5.3.2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 5.3.2.2.1

Factorisez $4$ à partir de $24$ .

$\frac{1}{\frac{4 \cdot 1}{4 \cdot 6}}$

Étape 5.3.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{\frac{4 \cdot 1}{4 \cdot 6}}$

Étape 5.3.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{\frac{1}{6}}$

Étape 5.3.3

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$1 \cdot 6$

Étape 5.3.4

Multipliez $6$ par $1$ .

$6$

Étape 6

Déterminez le foyer.

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Étape 6.1

Le foyer d’une parabole peut être trouvé en ajoutant $p$ à la coordonnée y $k$ si la parabole ouvre vers le haut ou vers le bas.

$(h, k + p)$

Étape 6.2

Remplacez les valeurs connues de $h$ , $p$ et $k$ dans la formule et simplifiez.

$(- 5, 5)$

Étape 7

Déterminez l’axe de symétrie en trouvant la droite qui passe par le sommet et le foyer.

$x = - 5$

Étape 8

Déterminez la directrice.

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Étape 8.1

La directrice d’une parabole est la droite horizontale déterminée en soustrayant $p$ de la coordonnée y $k$ du sommet si la parabole ouvre vers le haut ou vers le bas.

$y = k - p$

Étape 8.2

Remplacez les valeurs connues de $p$ et $k$ dans la formule et simplifiez.

$y = - 7$

Étape 9

Utilisez les propriétés de la parabole pour analyser la parabole et la représenter sous forme graphique.

Direction : ouvre vers le haut

Sommet : $(- 5, - 1)$

Foyer : $(- 5, 5)$

Axe de symétrie : $x = - 5$

Directrice : $y = - 7$

Étape 10