Pré-calcul Exemples

$\frac{{(y + 5)}^{2}}{9} - \frac{{(x - 4)}^{2}}{25} = 1$

Étape 1

Simplifiez chaque terme de l’équation afin de définir le côté droit égal à $1$ . La forme normalisée d’une ellipse ou hyperbole nécessite que le côté droit de l’équation soit $1$ .

$\frac{{(y + 5)}^{2}}{9} - \frac{{(x - 4)}^{2}}{25} = 1$

Étape 2

C’est la forme d’une hyperbole. Utilisez cette forme pour déterminer les valeurs utilisées pour déterminer les sommets et les asymptotes de l’hyperbole.

$\frac{{(y - k)}^{2}}{a^{2}} - \frac{{(x - h)}^{2}}{b^{2}} = 1$

Étape 3

Faites correspondre les valeurs dans cette hyperbole avec celles de la forme normalisée. La variable $h$ représente le décalage x par rapport à l’origine, $k$ représente le décalage y par rapport à l’origine, $a$ .

$a = 3$

$b = 5$

$k = - 5$

$h = 4$

Étape 4

Le centre d’une hyperbole suit la forme de $(h, k)$ . Remplacez les valeurs de $h$ et $k$ .

$(4, - 5)$

Étape 5

Déterminez $c$ , la distance du centre à un foyer.

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Étape 5.1

Déterminez la distance du centre à un foyer de l’hyperbole en utilisant la formule suivante.

$\sqrt{a^{2} + b^{2}}$

Étape 5.2

Remplacez les valeurs de $a$ et $b$ dans la formule.

$\sqrt{{(3)}^{2} + {(5)}^{2}}$

Étape 5.3

Simplifiez

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Étape 5.3.1

Élevez $3$ à la puissance $2$ .

$\sqrt{9 + {(5)}^{2}}$

Étape 5.3.2

Élevez $5$ à la puissance $2$ .

$\sqrt{9 + 25}$

Étape 5.3.3

Additionnez $9$ et $25$ .

$\sqrt{34}$

Étape 6

Déterminez les sommets.

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Étape 6.1

Le premier sommet d’une hyperbole peut être déterminé en ajoutant $a$ à $k$ .

$(h, k + a)$

Étape 6.2

Remplacez les valeurs connues de $h$ , $a$ et $k$ dans la formule et simplifiez.

$(4, - 2)$

Étape 6.3

Le deuxième sommet d’une hyperbole peut être déterminé en soustrayant $a$ à $k$ .

$(h, k - a)$

Étape 6.4

Remplacez les valeurs connues de $h$ , $a$ et $k$ dans la formule et simplifiez.

$(4, - 8)$

Étape 6.5

Les sommets d’une hyperbole suivent la forme de $(h, k \pm a)$ . Les hyperboles ont deux sommets.

$(4, - 2), (4, - 8)$

Étape 7

Déterminez les foyers.

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Étape 7.1

Le premier foyer d’une hyperbole peut être déterminé en ajoutant $c$ à $k$ .

$(h, k + c)$

Étape 7.2

Remplacez les valeurs connues de $h$ , $c$ et $k$ dans la formule et simplifiez.

$(4, - 5 + \sqrt{34})$

Étape 7.3

Le deuxième foyer d’une hyperbole peut être déterminé en soustrayant $c$ à $k$ .

$(h, k - c)$

Étape 7.4

Remplacez les valeurs connues de $h$ , $c$ et $k$ dans la formule et simplifiez.

$(4, - 5 - \sqrt{34})$

Étape 7.5

Les foyers d’une hyperbole suivent la forme de $(h, k \pm \sqrt{a^{2} + b^{2}})$ . Les hyperboles ont deux foyers.

$(4, - 5 + \sqrt{34}), (4, - 5 - \sqrt{34})$

Étape 8

Déterminez l’excentricité.

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Étape 8.1

Déterminez l’excentricité en utilisant la formule suivante.

$\frac{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}{a}$

Étape 8.2

Remplacez les valeurs de $a$ et $b$ dans la formule.

$\frac{\sqrt{{(3)}^{2} + {(5)}^{2}}}{3}$

Étape 8.3

Simplifiez le numérateur.

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Étape 8.3.1

Élevez $3$ à la puissance $2$ .

$\frac{\sqrt{9 + 5^{2}}}{3}$

Étape 8.3.2

Élevez $5$ à la puissance $2$ .

$\frac{\sqrt{9 + 25}}{3}$

Étape 8.3.3

Additionnez $9$ et $25$ .

$\frac{\sqrt{34}}{3}$

Étape 9

Déterminez le paramètre focal.

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Étape 9.1

Déterminez la distance du paramètre focal l’hyperbole en utilisant la formule suivante.

$\frac{b^{2}}{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}$

Étape 9.2

Remplacez les valeurs de $b$ et $\sqrt{a^{2} + b^{2}}$ dans la formule.

$\frac{5^{2}}{\sqrt{34}}$

Étape 9.3

Simplifiez

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Étape 9.3.1

Élevez $5$ à la puissance $2$ .

$\frac{25}{\sqrt{34}}$

Étape 9.3.2

Multipliez $\frac{25}{\sqrt{34}}$ par $\frac{\sqrt{34}}{\sqrt{34}}$ .

$\frac{25}{\sqrt{34}} \cdot \frac{\sqrt{34}}{\sqrt{34}}$

Étape 9.3.3

Associez et simplifiez le dénominateur.

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Étape 9.3.3.1

Multipliez $\frac{25}{\sqrt{34}}$ par $\frac{\sqrt{34}}{\sqrt{34}}$ .

$\frac{25 \sqrt{34}}{\sqrt{34} \sqrt{34}}$

Étape 9.3.3.2

Élevez $\sqrt{34}$ à la puissance $1$ .

$\frac{25 \sqrt{34}}{{\sqrt{34}}^{1} \sqrt{34}}$

Étape 9.3.3.3

Élevez $\sqrt{34}$ à la puissance $1$ .

$\frac{25 \sqrt{34}}{{\sqrt{34}}^{1} {\sqrt{34}}^{1}}$

Étape 9.3.3.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{25 \sqrt{34}}{{\sqrt{34}}^{1 + 1}}$

Étape 9.3.3.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{25 \sqrt{34}}{{\sqrt{34}}^{2}}$

Étape 9.3.3.6

Réécrivez ${\sqrt{34}}^{2}$ comme $34$ .

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Étape 9.3.3.6.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{34}$ comme $34^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{25 \sqrt{34}}{{(34^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Étape 9.3.3.6.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{25 \sqrt{34}}{34^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Étape 9.3.3.6.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$\frac{25 \sqrt{34}}{34^{\frac{2}{2}}}$

Étape 9.3.3.6.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 9.3.3.6.4.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{25 \sqrt{34}}{34^{\frac{2}{2}}}$

Étape 9.3.3.6.4.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{25 \sqrt{34}}{34^{1}}$

Étape 9.3.3.6.5

Évaluez l’exposant.

$\frac{25 \sqrt{34}}{34}$

Étape 10

Les asymptotes suivent la forme $y = \pm \frac{a (x - h)}{b} + k$ car cette hyperbole ouvre vers le haut et vers le bas.

$y = \pm \frac{3}{5} \cdot (x - (4)) - 5$

Étape 11

Simplifiez pour déterminer la première asymptote.

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Étape 11.1

Supprimez les parenthèses.

$y = \frac{3}{5} \cdot (x - (4)) - 5$

Étape 11.2

Simplifiez $\frac{3}{5} \cdot (x - (4)) - 5$ .

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Étape 11.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 11.2.1.1

Multipliez $- 1$ par $4$ .

$y = \frac{3}{5} \cdot (x - 4) - 5$

Étape 11.2.1.2

Appliquez la propriété distributive.

$y = \frac{3}{5} x + \frac{3}{5} \cdot - 4 - 5$

Étape 11.2.1.3

Associez $\frac{3}{5}$ et $x$ .

$y = \frac{3 x}{5} + \frac{3}{5} \cdot - 4 - 5$

Étape 11.2.1.4

Multipliez $\frac{3}{5} \cdot - 4$ .

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Étape 11.2.1.4.1

Associez $\frac{3}{5}$ et $- 4$ .

$y = \frac{3 x}{5} + \frac{3 \cdot - 4}{5} - 5$

Étape 11.2.1.4.2

Multipliez $3$ par $- 4$ .

$y = \frac{3 x}{5} + \frac{- 12}{5} - 5$

Étape 11.2.1.5

Placez le signe moins devant la fraction.

$y = \frac{3 x}{5} - \frac{12}{5} - 5$

Étape 11.2.2

Pour écrire $- 5$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{5}{5}$ .

$y = \frac{3 x}{5} - \frac{12}{5} - 5 \cdot \frac{5}{5}$

Étape 11.2.3

Associez $- 5$ et $\frac{5}{5}$ .

$y = \frac{3 x}{5} - \frac{12}{5} + \frac{- 5 \cdot 5}{5}$

Étape 11.2.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$y = \frac{3 x}{5} + \frac{- 12 - 5 \cdot 5}{5}$

Étape 11.2.5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 11.2.5.1

Multipliez $- 5$ par $5$ .

$y = \frac{3 x}{5} + \frac{- 12 - 25}{5}$

Étape 11.2.5.2

Soustrayez $25$ de $- 12$ .

$y = \frac{3 x}{5} + \frac{- 37}{5}$

Étape 11.2.6

Placez le signe moins devant la fraction.

$y = \frac{3 x}{5} - \frac{37}{5}$

Étape 12

Simplifiez pour déterminer la deuxième asymptote.

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Étape 12.1

Supprimez les parenthèses.

$y = - \frac{3}{5} \cdot (x - (4)) - 5$

Étape 12.2

Simplifiez $- \frac{3}{5} \cdot (x - (4)) - 5$ .

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Étape 12.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 12.2.1.1

Multipliez $- 1$ par $4$ .

$y = - \frac{3}{5} \cdot (x - 4) - 5$

Étape 12.2.1.2

Appliquez la propriété distributive.

$y = - \frac{3}{5} x - \frac{3}{5} \cdot - 4 - 5$

Étape 12.2.1.3

Associez $x$ et $\frac{3}{5}$ .

$y = - \frac{x \cdot 3}{5} - \frac{3}{5} \cdot - 4 - 5$

Étape 12.2.1.4

Multipliez $- \frac{3}{5} \cdot - 4$ .

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Étape 12.2.1.4.1

Multipliez $- 4$ par $- 1$ .

$y = - \frac{x \cdot 3}{5} + 4 (\frac{3}{5}) - 5$

Étape 12.2.1.4.2

Associez $4$ et $\frac{3}{5}$ .

$y = - \frac{x \cdot 3}{5} + \frac{4 \cdot 3}{5} - 5$

Étape 12.2.1.4.3

Multipliez $4$ par $3$ .

$y = - \frac{x \cdot 3}{5} + \frac{12}{5} - 5$

Étape 12.2.1.5

Déplacez $3$ à gauche de $x$ .

$y = - \frac{3 x}{5} + \frac{12}{5} - 5$

Étape 12.2.2

Pour écrire $- 5$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{5}{5}$ .

$y = - \frac{3 x}{5} + \frac{12}{5} - 5 \cdot \frac{5}{5}$

Étape 12.2.3

Associez $- 5$ et $\frac{5}{5}$ .

$y = - \frac{3 x}{5} + \frac{12}{5} + \frac{- 5 \cdot 5}{5}$

Étape 12.2.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$y = - \frac{3 x}{5} + \frac{12 - 5 \cdot 5}{5}$

Étape 12.2.5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 12.2.5.1

Multipliez $- 5$ par $5$ .

$y = - \frac{3 x}{5} + \frac{12 - 25}{5}$

Étape 12.2.5.2

Soustrayez $25$ de $12$ .

$y = - \frac{3 x}{5} + \frac{- 13}{5}$

Étape 12.2.6

Placez le signe moins devant la fraction.

$y = - \frac{3 x}{5} - \frac{13}{5}$

Étape 13

Cette hyperbole a deux asymptotes.

$y = \frac{3 x}{5} - \frac{37}{5}, y = - \frac{3 x}{5} - \frac{13}{5}$

Étape 14

Ces valeurs représentent les valeurs importantes pour représenter graphiquement et analyser une hyperbole.

Centre : $(4, - 5)$

Sommets : $(4, - 2), (4, - 8)$

Foyers : $(4, - 5 + \sqrt{34}), (4, - 5 - \sqrt{34})$

Excentricité : $\frac{\sqrt{34}}{3}$

Paramètre focal : $\frac{25 \sqrt{34}}{34}$

Asymptotes : $y = \frac{3 x}{5} - \frac{37}{5}$ , $y = - \frac{3 x}{5} - \frac{13}{5}$

Étape 15