Pré-calcul Exemples

$f (x) = x^{4} - 3 x^{3} - 9 x^{2} + 15 x + 20$

Étape 1

Déterminez les abscisses à l’origine.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1

Pour déterminer la ou les abscisses à l’origine, remplacez $y$ par $0$ et résolvez $x$ .

$0 = x^{4} - 3 x^{3} - 9 x^{2} + 15 x + 20$

Étape 1.2

Résolvez l’équation.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.1

Réécrivez l’équation comme $x^{4} - 3 x^{3} - 9 x^{2} + 15 x + 20 = 0$ .

$x^{4} - 3 x^{3} - 9 x^{2} + 15 x + 20 = 0$

Étape 1.2.2

Factorisez le côté gauche de l’équation.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.2.1

Regroupez les termes.

$- 3 x^{3} + 15 x + x^{4} - 9 x^{2} + 20 = 0$

Étape 1.2.2.2

Factorisez $- 3 x$ à partir de $- 3 x^{3} + 15 x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.2.2.1

Factorisez $- 3 x$ à partir de $- 3 x^{3}$ .

$- 3 x \cdot x^{2} + 15 x + x^{4} - 9 x^{2} + 20 = 0$

Étape 1.2.2.2.2

Factorisez $- 3 x$ à partir de $15 x$ .

$- 3 x \cdot x^{2} - 3 x \cdot - 5 + x^{4} - 9 x^{2} + 20 = 0$

Étape 1.2.2.2.3

Factorisez $- 3 x$ à partir de $- 3 x (x^{2}) - 3 x (- 5)$ .

$- 3 x (x^{2} - 5) + x^{4} - 9 x^{2} + 20 = 0$

Étape 1.2.2.3

Réécrivez $x^{4}$ comme ${(x^{2})}^{2}$ .

$- 3 x (x^{2} - 5) + {(x^{2})}^{2} - 9 x^{2} + 20 = 0$

Étape 1.2.2.4

Laissez $u = x^{2}$ . Remplacez toutes les occurrences de $x^{2}$ par $u$ .

$- 3 x (x^{2} - 5) + u^{2} - 9 u + 20 = 0$

Étape 1.2.2.5

Factorisez $u^{2} - 9 u + 20$ à l’aide de la méthode AC.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.2.5.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $20$ et dont la somme est $- 9$ .

$- 5, - 4$

Étape 1.2.2.5.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$- 3 x (x^{2} - 5) + (u - 5) (u - 4) = 0$

Étape 1.2.2.6

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x^{2}$ .

$- 3 x (x^{2} - 5) + (x^{2} - 5) (x^{2} - 4) = 0$

Étape 1.2.2.7

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$- 3 x (x^{2} - 5) + (x^{2} - 5) (x^{2} - 2^{2}) = 0$

Étape 1.2.2.8

Factorisez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.2.8.1

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = x$ et $b = 2$ .

$- 3 x (x^{2} - 5) + (x^{2} - 5) ((x + 2) (x - 2)) = 0$

Étape 1.2.2.8.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$- 3 x (x^{2} - 5) + (x^{2} - 5) (x + 2) (x - 2) = 0$

Étape 1.2.2.9

Factorisez $x^{2} - 5$ à partir de $- 3 x (x^{2} - 5) + (x^{2} - 5) (x + 2) (x - 2)$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.2.9.1

Factorisez $x^{2} - 5$ à partir de $- 3 x (x^{2} - 5)$ .

$(x^{2} - 5) (- 3 x) + (x^{2} - 5) (x + 2) (x - 2) = 0$

Étape 1.2.2.9.2

Factorisez $x^{2} - 5$ à partir de $(x^{2} - 5) (x + 2) (x - 2)$ .

$(x^{2} - 5) (- 3 x) + (x^{2} - 5) ((x + 2) (x - 2)) = 0$

Étape 1.2.2.9.3

Factorisez $x^{2} - 5$ à partir de $(x^{2} - 5) (- 3 x) + (x^{2} - 5) ((x + 2) (x - 2))$ .

$(x^{2} - 5) (- 3 x + (x + 2) (x - 2)) = 0$

Étape 1.2.2.10

Développez $(x + 2) (x - 2)$ à l’aide de la méthode FOIL.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.2.10.1

Appliquez la propriété distributive.

$(x^{2} - 5) (- 3 x + x (x - 2) + 2 (x - 2)) = 0$

Étape 1.2.2.10.2

Appliquez la propriété distributive.

$(x^{2} - 5) (- 3 x + x \cdot x + x \cdot - 2 + 2 (x - 2)) = 0$

Étape 1.2.2.10.3

Appliquez la propriété distributive.

$(x^{2} - 5) (- 3 x + x \cdot x + x \cdot - 2 + 2 x + 2 \cdot - 2) = 0$

Étape 1.2.2.11

Associez les termes opposés dans $x \cdot x + x \cdot - 2 + 2 x + 2 \cdot - 2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.2.11.1

Réorganisez les facteurs dans les termes $x \cdot - 2$ et $2 x$ .

$(x^{2} - 5) (- 3 x + x \cdot x - 2 x + 2 x + 2 \cdot - 2) = 0$

Étape 1.2.2.11.2

Additionnez $- 2 x$ et $2 x$ .

$(x^{2} - 5) (- 3 x + x \cdot x + 0 + 2 \cdot - 2) = 0$

Étape 1.2.2.11.3

Additionnez $x \cdot x$ et $0$ .

$(x^{2} - 5) (- 3 x + x \cdot x + 2 \cdot - 2) = 0$

Étape 1.2.2.12

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.2.12.1

Multipliez $x$ par $x$ .

$(x^{2} - 5) (- 3 x + x^{2} + 2 \cdot - 2) = 0$

Étape 1.2.2.12.2

Multipliez $2$ par $- 2$ .

$(x^{2} - 5) (- 3 x + x^{2} - 4) = 0$

Étape 1.2.2.13

Remettez les termes dans l’ordre.

$(x^{2} - 5) (x^{2} - 3 x - 4) = 0$

Étape 1.2.2.14

Factorisez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.2.14.1

Factorisez $x^{2} - 3 x - 4$ à l’aide de la méthode AC.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.2.14.1.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $- 4$ et dont la somme est $- 3$ .

$- 4, 1$

Étape 1.2.2.14.1.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$(x^{2} - 5) ((x - 4) (x + 1)) = 0$

Étape 1.2.2.14.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$(x^{2} - 5) (x - 4) (x + 1) = 0$

Étape 1.2.3

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x^{2} - 5 = 0$

$x - 4 = 0$

$x + 1 = 0$

Étape 1.2.4

Définissez $x^{2} - 5$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.4.1

Définissez $x^{2} - 5$ égal à $0$ .

$x^{2} - 5 = 0$

Étape 1.2.4.2

Résolvez $x^{2} - 5 = 0$ pour $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.4.2.1

Ajoutez $5$ aux deux côtés de l’équation.

$x^{2} = 5$

Étape 1.2.4.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{5}$

Étape 1.2.4.2.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.4.2.3.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$x = \sqrt{5}$

Étape 1.2.4.2.3.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$x = - \sqrt{5}$

Étape 1.2.4.2.3.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$x = \sqrt{5}, - \sqrt{5}$

Étape 1.2.5

Définissez $x - 4$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.5.1

Définissez $x - 4$ égal à $0$ .

$x - 4 = 0$

Étape 1.2.5.2

Ajoutez $4$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 4$

Étape 1.2.6

Définissez $x + 1$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.6.1

Définissez $x + 1$ égal à $0$ .

$x + 1 = 0$

Étape 1.2.6.2

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$x = - 1$

Étape 1.2.7

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $(x^{2} - 5) (x - 4) (x + 1) = 0$ vraie.

$x = \sqrt{5}, - \sqrt{5}, 4, - 1$

Étape 1.3

abscisse(s) à l’origine en forme de point.

abscisse(s) à l’origine : $(\sqrt{5}, 0), (- \sqrt{5}, 0), (4, 0), (- 1, 0)$

Étape 2

Déterminez les ordonnées à l’origine.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1

Pour trouver la ou les ordonnées à l’origine, remplacez $x$ par $0$ et résolvez $y$ .

$y = {(0)}^{4} - 3 {(0)}^{3} - 9 {(0)}^{2} + 15 (0) + 20$

Étape 2.2

Résolvez l’équation.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.2.1

Supprimez les parenthèses.

$y = 0^{4} - 3 {(0)}^{3} - 9 {(0)}^{2} + 15 (0) + 20$

Étape 2.2.2

Supprimez les parenthèses.

$y = 0^{4} - 3 \cdot 0^{3} - 9 {(0)}^{2} + 15 (0) + 20$

Étape 2.2.3

Supprimez les parenthèses.

$y = 0^{4} - 3 \cdot 0^{3} - 9 \cdot 0^{2} + 15 (0) + 20$

Étape 2.2.4

Supprimez les parenthèses.

$y = {(0)}^{4} - 3 {(0)}^{3} - 9 {(0)}^{2} + 15 (0) + 20$

Étape 2.2.5

Simplifiez ${(0)}^{4} - 3 {(0)}^{3} - 9 {(0)}^{2} + 15 (0) + 20$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.2.5.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.2.5.1.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$y = 0 - 3 {(0)}^{3} - 9 {(0)}^{2} + 15 (0) + 20$

Étape 2.2.5.1.2

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$y = 0 - 3 \cdot 0 - 9 {(0)}^{2} + 15 (0) + 20$

Étape 2.2.5.1.3

Multipliez $- 3$ par $0$ .

$y = 0 + 0 - 9 {(0)}^{2} + 15 (0) + 20$

Étape 2.2.5.1.4

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$y = 0 + 0 - 9 \cdot 0 + 15 (0) + 20$

Étape 2.2.5.1.5

Multipliez $- 9$ par $0$ .

$y = 0 + 0 + 0 + 15 (0) + 20$

Étape 2.2.5.1.6

Multipliez $15$ par $0$ .

$y = 0 + 0 + 0 + 0 + 20$

Étape 2.2.5.2

Simplifiez en ajoutant des nombres.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.2.5.2.1

Additionnez $0$ et $0$ .

$y = 0 + 0 + 0 + 20$

Étape 2.2.5.2.2

Additionnez $0$ et $0$ .

$y = 0 + 0 + 20$

Étape 2.2.5.2.3

Additionnez $0$ et $0$ .

$y = 0 + 20$

Étape 2.2.5.2.4

Additionnez $0$ et $20$ .

$y = 20$

Étape 2.3

ordonnée(s) à l’origine en forme de point.

ordonnée(s) à l’origine : $(0, 20)$

Étape 3

Indiquez les intersections.

abscisse(s) à l’origine : $(\sqrt{5}, 0), (- \sqrt{5}, 0), (4, 0), (- 1, 0)$

ordonnée(s) à l’origine : $(0, 20)$

Étape 4