Pré-calcul Exemples

${(y - 3)}^{2} = 12 (x + 3)$

Étape 1

Réécrivez l’équation en forme de sommet.

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Étape 1.1

Isolez $x$ du côté gauche de l’équation.

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Étape 1.1.1

Réécrivez l’équation comme $12 (x + 3) = {(y - 3)}^{2}$ .

$12 (x + 3) = {(y - 3)}^{2}$

Étape 1.1.2

Divisez chaque terme dans $12 (x + 3) = {(y - 3)}^{2}$ par $12$ et simplifiez.

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Étape 1.1.2.1

Divisez chaque terme dans $12 (x + 3) = {(y - 3)}^{2}$ par $12$ .

$\frac{12 (x + 3)}{12} = \frac{{(y - 3)}^{2}}{12}$

Étape 1.1.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 1.1.2.2.1

Annulez le facteur commun de $12$ .

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Étape 1.1.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{12 (x + 3)}{12} = \frac{{(y - 3)}^{2}}{12}$

Étape 1.1.2.2.1.2

Divisez $x + 3$ par $1$ .

$x + 3 = \frac{{(y - 3)}^{2}}{12}$

Étape 1.1.3

Soustrayez $3$ des deux côtés de l’équation.

$x = \frac{{(y - 3)}^{2}}{12} - 3$

Étape 1.1.4

Remettez les termes dans l’ordre.

$x = \frac{1}{12} \cdot {(y - 3)}^{2} - 3$

Étape 1.2

Complétez le carré pour $\frac{1}{12} \cdot {(y - 3)}^{2} - 3$ .

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Étape 1.2.1

Simplifiez l’expression.

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Étape 1.2.1.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.2.1.1.1

Réécrivez ${(y - 3)}^{2}$ comme $(y - 3) (y - 3)$ .

$\frac{1}{12} \cdot ((y - 3) (y - 3)) - 3$

Étape 1.2.1.1.2

Développez $(y - 3) (y - 3)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 1.2.1.1.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{1}{12} \cdot (y (y - 3) - 3 (y - 3)) - 3$

Étape 1.2.1.1.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{1}{12} \cdot (y \cdot y + y \cdot - 3 - 3 (y - 3)) - 3$

Étape 1.2.1.1.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{1}{12} \cdot (y \cdot y + y \cdot - 3 - 3 y - 3 \cdot - 3) - 3$

Étape 1.2.1.1.3

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 1.2.1.1.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.2.1.1.3.1.1

Multipliez $y$ par $y$ .

$\frac{1}{12} \cdot (y^{2} + y \cdot - 3 - 3 y - 3 \cdot - 3) - 3$

Étape 1.2.1.1.3.1.2

Déplacez $- 3$ à gauche de $y$ .

$\frac{1}{12} \cdot (y^{2} - 3 \cdot y - 3 y - 3 \cdot - 3) - 3$

Étape 1.2.1.1.3.1.3

Multipliez $- 3$ par $- 3$ .

$\frac{1}{12} \cdot (y^{2} - 3 y - 3 y + 9) - 3$

Étape 1.2.1.1.3.2

Soustrayez $3 y$ de $- 3 y$ .

$\frac{1}{12} \cdot (y^{2} - 6 y + 9) - 3$

Étape 1.2.1.1.4

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{1}{12} y^{2} + \frac{1}{12} (- 6 y) + \frac{1}{12} \cdot 9 - 3$

Étape 1.2.1.1.5

Simplifiez

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Étape 1.2.1.1.5.1

Associez $\frac{1}{12}$ et $y^{2}$ .

$\frac{y^{2}}{12} + \frac{1}{12} (- 6 y) + \frac{1}{12} \cdot 9 - 3$

Étape 1.2.1.1.5.2

Annulez le facteur commun de $6$ .

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Étape 1.2.1.1.5.2.1

Factorisez $6$ à partir de $12$ .

$\frac{y^{2}}{12} + \frac{1}{6 (2)} (- 6 y) + \frac{1}{12} \cdot 9 - 3$

Étape 1.2.1.1.5.2.2

Factorisez $6$ à partir de $- 6 y$ .

$\frac{y^{2}}{12} + \frac{1}{6 (2)} (6 (- y)) + \frac{1}{12} \cdot 9 - 3$

Étape 1.2.1.1.5.2.3

Annulez le facteur commun.

$\frac{y^{2}}{12} + \frac{1}{6 \cdot 2} (6 (- y)) + \frac{1}{12} \cdot 9 - 3$

Étape 1.2.1.1.5.2.4

Réécrivez l’expression.

$\frac{y^{2}}{12} + \frac{1}{2} (- y) + \frac{1}{12} \cdot 9 - 3$

Étape 1.2.1.1.5.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $y$ .

$\frac{y^{2}}{12} - \frac{y}{2} + \frac{1}{12} \cdot 9 - 3$

Étape 1.2.1.1.5.4

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 1.2.1.1.5.4.1

Factorisez $3$ à partir de $12$ .

$\frac{y^{2}}{12} - \frac{y}{2} + \frac{1}{3 (4)} \cdot 9 - 3$

Étape 1.2.1.1.5.4.2

Factorisez $3$ à partir de $9$ .

$\frac{y^{2}}{12} - \frac{y}{2} + \frac{1}{3 \cdot 4} \cdot (3 \cdot 3) - 3$

Étape 1.2.1.1.5.4.3

Annulez le facteur commun.

$\frac{y^{2}}{12} - \frac{y}{2} + \frac{1}{3 \cdot 4} \cdot (3 \cdot 3) - 3$

Étape 1.2.1.1.5.4.4

Réécrivez l’expression.

$\frac{y^{2}}{12} - \frac{y}{2} + \frac{1}{4} \cdot 3 - 3$

Étape 1.2.1.1.5.5

Associez $\frac{1}{4}$ et $3$ .

$\frac{y^{2}}{12} - \frac{y}{2} + \frac{3}{4} - 3$

Étape 1.2.1.2

Pour écrire $- 3$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{4}{4}$ .

$\frac{y^{2}}{12} - \frac{y}{2} + \frac{3}{4} - 3 \cdot \frac{4}{4}$

Étape 1.2.1.3

Associez $- 3$ et $\frac{4}{4}$ .

$\frac{y^{2}}{12} - \frac{y}{2} + \frac{3}{4} + \frac{- 3 \cdot 4}{4}$

Étape 1.2.1.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{y^{2}}{12} - \frac{y}{2} + \frac{3 - 3 \cdot 4}{4}$

Étape 1.2.1.5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.2.1.5.1

Multipliez $- 3$ par $4$ .

$\frac{y^{2}}{12} - \frac{y}{2} + \frac{3 - 12}{4}$

Étape 1.2.1.5.2

Soustrayez $12$ de $3$ .

$\frac{y^{2}}{12} - \frac{y}{2} + \frac{- 9}{4}$

Étape 1.2.1.6

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{y^{2}}{12} - \frac{y}{2} - \frac{9}{4}$

Étape 1.2.2

Utilisez la forme $a x^{2} + b x + c$ pour déterminer les valeurs de $a$ , $b$ et $c$ .

$a = \frac{1}{12}$

$b = - \frac{1}{2}$

$c = - \frac{9}{4}$

Étape 1.2.3

Étudiez la forme du sommet d’une parabole.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Étape 1.2.4

Déterminez la valeur de $d$ en utilisant la formule $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Étape 1.2.4.1

Remplacez les valeurs de $a$ et $b$ dans la formule $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{- \frac{1}{2}}{2 (\frac{1}{12})}$

Étape 1.2.4.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 1.2.4.2.1

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$d = - \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2 (\frac{1}{12})}$

Étape 1.2.4.2.2

Associez $2$ et $\frac{1}{12}$ .

$d = - \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\frac{2}{12}}$

Étape 1.2.4.2.3

Annulez le facteur commun à $2$ et $12$ .

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Étape 1.2.4.2.3.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$d = - \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\frac{2 (1)}{12}}$

Étape 1.2.4.2.3.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 1.2.4.2.3.2.1

Factorisez $2$ à partir de $12$ .

$d = - \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 6}}$

Étape 1.2.4.2.3.2.2

Annulez le facteur commun.

$d = - \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 6}}$

Étape 1.2.4.2.3.2.3

Réécrivez l’expression.

$d = - \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\frac{1}{6}}$

Étape 1.2.4.2.4

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$d = - \frac{1}{2} (1 \cdot 6)$

Étape 1.2.4.2.5

Multipliez $6$ par $1$ .

$d = - \frac{1}{2} \cdot 6$

Étape 1.2.4.2.6

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 1.2.4.2.6.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{1}{2}$ dans le numérateur.

$d = \frac{- 1}{2} \cdot 6$

Étape 1.2.4.2.6.2

Factorisez $2$ à partir de $6$ .

$d = \frac{- 1}{2} \cdot (2 (3))$

Étape 1.2.4.2.6.3

Annulez le facteur commun.

$d = \frac{- 1}{2} \cdot (2 \cdot 3)$

Étape 1.2.4.2.6.4

Réécrivez l’expression.

$d = - 1 \cdot 3$

Étape 1.2.4.2.7

Multipliez $- 1$ par $3$ .

$d = - 3$

Étape 1.2.5

Déterminez la valeur de $e$ en utilisant la formule $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Étape 1.2.5.1

Remplacez les valeurs de $c$ , $b$ et $a$ dans la formule $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = - \frac{9}{4} - \frac{{(- \frac{1}{2})}^{2}}{4 (\frac{1}{12})}$

Étape 1.2.5.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 1.2.5.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.2.5.2.1.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.2.5.2.1.1.1

Appliquez la règle de produit à $- \frac{1}{2}$ .

$e = - \frac{9}{4} - \frac{{(- 1)}^{2} {(\frac{1}{2})}^{2}}{4 (\frac{1}{12})}$

Étape 1.2.5.2.1.1.2

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$e = - \frac{9}{4} - \frac{1 {(\frac{1}{2})}^{2}}{4 (\frac{1}{12})}$

Étape 1.2.5.2.1.1.3

Appliquez la règle de produit à $\frac{1}{2}$ .

$e = - \frac{9}{4} - \frac{1 \frac{1^{2}}{2^{2}}}{4 (\frac{1}{12})}$

Étape 1.2.5.2.1.1.4

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$e = - \frac{9}{4} - \frac{1 \frac{1}{2^{2}}}{4 (\frac{1}{12})}$

Étape 1.2.5.2.1.1.5

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$e = - \frac{9}{4} - \frac{1 (\frac{1}{4})}{4 (\frac{1}{12})}$

Étape 1.2.5.2.1.1.6

Multipliez $\frac{1}{4}$ par $1$ .

$e = - \frac{9}{4} - \frac{\frac{1}{4}}{4 (\frac{1}{12})}$

Étape 1.2.5.2.1.2

Associez $4$ et $\frac{1}{12}$ .

$e = - \frac{9}{4} - \frac{\frac{1}{4}}{\frac{4}{12}}$

Étape 1.2.5.2.1.3

Annulez le facteur commun à $4$ et $12$ .

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Étape 1.2.5.2.1.3.1

Factorisez $4$ à partir de $4$ .

$e = - \frac{9}{4} - \frac{\frac{1}{4}}{\frac{4 (1)}{12}}$

Étape 1.2.5.2.1.3.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 1.2.5.2.1.3.2.1

Factorisez $4$ à partir de $12$ .

$e = - \frac{9}{4} - \frac{\frac{1}{4}}{\frac{4 \cdot 1}{4 \cdot 3}}$

Étape 1.2.5.2.1.3.2.2

Annulez le facteur commun.

$e = - \frac{9}{4} - \frac{\frac{1}{4}}{\frac{4 \cdot 1}{4 \cdot 3}}$

Étape 1.2.5.2.1.3.2.3

Réécrivez l’expression.

$e = - \frac{9}{4} - \frac{\frac{1}{4}}{\frac{1}{3}}$

Étape 1.2.5.2.1.4

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$e = - \frac{9}{4} - (\frac{1}{4} \cdot 3)$

Étape 1.2.5.2.1.5

Associez $\frac{1}{4}$ et $3$ .

$e = - \frac{9}{4} - \frac{3}{4}$

Étape 1.2.5.2.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$e = \frac{- 9 - 3}{4}$

Étape 1.2.5.2.3

Soustrayez $3$ de $- 9$ .

$e = \frac{- 12}{4}$

Étape 1.2.5.2.4

Divisez $- 12$ par $4$ .

$e = - 3$

Étape 1.2.6

Remplacez les valeurs de $a$ , $d$ et $e$ dans la forme du sommet $\frac{1}{12} {(y - 3)}^{2} - 3$ .

$\frac{1}{12} {(y - 3)}^{2} - 3$

Étape 1.3

Définissez $x$ égal au nouveau côté droit.

$x = \frac{1}{12} \cdot {(y - 3)}^{2} - 3$

Étape 2

Utilisez la forme du sommet, $x = a {(y - k)}^{2} + h$ , pour déterminer les valeurs de $a$ , $h$ et $k$ .

$a = \frac{1}{12}$

$h = - 3$

$k = 3$

Étape 3

Déterminez le sommet $(h, k)$ .

$(- 3, 3)$

Étape 4