Pré-calcul Exemples

$x^{2} + 6 x - 4 y + 1 = 0$

Étape 1

Réécrivez l’équation en forme de sommet.

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Étape 1.1

Isolez $y$ du côté gauche de l’équation.

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Étape 1.1.1

Déplacez tous les termes ne contenant pas $y$ du côté droit de l’équation.

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Étape 1.1.1.1

Soustrayez $x^{2}$ des deux côtés de l’équation.

$6 x - 4 y + 1 = - x^{2}$

Étape 1.1.1.2

Soustrayez $6 x$ des deux côtés de l’équation.

$- 4 y + 1 = - x^{2} - 6 x$

Étape 1.1.1.3

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$- 4 y = - x^{2} - 6 x - 1$

Étape 1.1.2

Divisez chaque terme dans $- 4 y = - x^{2} - 6 x - 1$ par $- 4$ et simplifiez.

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Étape 1.1.2.1

Divisez chaque terme dans $- 4 y = - x^{2} - 6 x - 1$ par $- 4$ .

$\frac{- 4 y}{- 4} = \frac{- x^{2}}{- 4} + \frac{- 6 x}{- 4} + \frac{- 1}{- 4}$

Étape 1.1.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 1.1.2.2.1

Annulez le facteur commun de $- 4$ .

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Étape 1.1.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{- 4 y}{- 4} = \frac{- x^{2}}{- 4} + \frac{- 6 x}{- 4} + \frac{- 1}{- 4}$

Étape 1.1.2.2.1.2

Divisez $y$ par $1$ .

$y = \frac{- x^{2}}{- 4} + \frac{- 6 x}{- 4} + \frac{- 1}{- 4}$

Étape 1.1.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 1.1.2.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.1.2.3.1.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$y = \frac{x^{2}}{4} + \frac{- 6 x}{- 4} + \frac{- 1}{- 4}$

Étape 1.1.2.3.1.2

Annulez le facteur commun à $- 6$ et $- 4$ .

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Étape 1.1.2.3.1.2.1

Factorisez $- 2$ à partir de $- 6 x$ .

$y = \frac{x^{2}}{4} + \frac{- 2 (3 x)}{- 4} + \frac{- 1}{- 4}$

Étape 1.1.2.3.1.2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 1.1.2.3.1.2.2.1

Factorisez $- 2$ à partir de $- 4$ .

$y = \frac{x^{2}}{4} + \frac{- 2 (3 x)}{- 2 (2)} + \frac{- 1}{- 4}$

Étape 1.1.2.3.1.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$y = \frac{x^{2}}{4} + \frac{- 2 (3 x)}{- 2 \cdot 2} + \frac{- 1}{- 4}$

Étape 1.1.2.3.1.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$y = \frac{x^{2}}{4} + \frac{3 x}{2} + \frac{- 1}{- 4}$

Étape 1.1.2.3.1.3

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$y = \frac{x^{2}}{4} + \frac{3 x}{2} + \frac{1}{4}$

Étape 1.2

Complétez le carré pour $\frac{x^{2}}{4} + \frac{3 x}{2} + \frac{1}{4}$ .

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Étape 1.2.1

Utilisez la forme $a x^{2} + b x + c$ pour déterminer les valeurs de $a$ , $b$ et $c$ .

$a = \frac{1}{4}$

$b = \frac{3}{2}$

$c = \frac{1}{4}$

Étape 1.2.2

Étudiez la forme du sommet d’une parabole.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Étape 1.2.3

Déterminez la valeur de $d$ en utilisant la formule $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Étape 1.2.3.1

Remplacez les valeurs de $a$ et $b$ dans la formule $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{\frac{3}{2}}{2 (\frac{1}{4})}$

Étape 1.2.3.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 1.2.3.2.1

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$d = \frac{3}{2} \cdot \frac{1}{2 (\frac{1}{4})}$

Étape 1.2.3.2.2

Associez $2$ et $\frac{1}{4}$ .

$d = \frac{3}{2} \cdot \frac{1}{\frac{2}{4}}$

Étape 1.2.3.2.3

Annulez le facteur commun à $2$ et $4$ .

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Étape 1.2.3.2.3.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$d = \frac{3}{2} \cdot \frac{1}{\frac{2 (1)}{4}}$

Étape 1.2.3.2.3.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 1.2.3.2.3.2.1

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$d = \frac{3}{2} \cdot \frac{1}{\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2}}$

Étape 1.2.3.2.3.2.2

Annulez le facteur commun.

$d = \frac{3}{2} \cdot \frac{1}{\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2}}$

Étape 1.2.3.2.3.2.3

Réécrivez l’expression.

$d = \frac{3}{2} \cdot \frac{1}{\frac{1}{2}}$

Étape 1.2.3.2.4

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$d = \frac{3}{2} (1 \cdot 2)$

Étape 1.2.3.2.5

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 1.2.3.2.5.1

Factorisez $2$ à partir de $1 \cdot 2$ .

$d = \frac{3}{2} (2 \cdot 1)$

Étape 1.2.3.2.5.2

Annulez le facteur commun.

$d = \frac{3}{2} (2 \cdot 1)$

Étape 1.2.3.2.5.3

Réécrivez l’expression.

$d = 3$

Étape 1.2.4

Déterminez la valeur de $e$ en utilisant la formule $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Étape 1.2.4.1

Remplacez les valeurs de $c$ , $b$ et $a$ dans la formule $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = \frac{1}{4} - \frac{{(\frac{3}{2})}^{2}}{4 (\frac{1}{4})}$

Étape 1.2.4.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 1.2.4.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.2.4.2.1.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.2.4.2.1.1.1

Appliquez la règle de produit à $\frac{3}{2}$ .

$e = \frac{1}{4} - \frac{\frac{3^{2}}{2^{2}}}{4 (\frac{1}{4})}$

Étape 1.2.4.2.1.1.2

Élevez $3$ à la puissance $2$ .

$e = \frac{1}{4} - \frac{\frac{9}{2^{2}}}{4 (\frac{1}{4})}$

Étape 1.2.4.2.1.1.3

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$e = \frac{1}{4} - \frac{\frac{9}{4}}{4 (\frac{1}{4})}$

Étape 1.2.4.2.1.2

Associez $4$ et $\frac{1}{4}$ .

$e = \frac{1}{4} - \frac{\frac{9}{4}}{\frac{4}{4}}$

Étape 1.2.4.2.1.3

Divisez $4$ par $4$ .

$e = \frac{1}{4} - \frac{\frac{9}{4}}{1}$

Étape 1.2.4.2.1.4

Divisez $\frac{9}{4}$ par $1$ .

$e = \frac{1}{4} - \frac{9}{4}$

Étape 1.2.4.2.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$e = \frac{1 - 9}{4}$

Étape 1.2.4.2.3

Soustrayez $9$ de $1$ .

$e = \frac{- 8}{4}$

Étape 1.2.4.2.4

Divisez $- 8$ par $4$ .

$e = - 2$

Étape 1.2.5

Remplacez les valeurs de $a$ , $d$ et $e$ dans la forme du sommet $\frac{1}{4} {(x + 3)}^{2} - 2$ .

$\frac{1}{4} {(x + 3)}^{2} - 2$

Étape 1.3

Définissez $y$ égal au nouveau côté droit.

$y = \frac{1}{4} \cdot {(x + 3)}^{2} - 2$

Étape 2

Utilisez la forme du sommet, $y = a {(x - h)}^{2} + k$ , pour déterminer les valeurs de $a$ , $h$ et $k$ .

$a = \frac{1}{4}$

$h = - 3$

$k = - 2$

Étape 3

Déterminez le sommet $(h, k)$ .

$(- 3, - 2)$

Étape 4