Pré-calcul Exemples

${(y + 5)}^{2} = - 12 (x - 2)$

Étape 1

Réécrivez l’équation en forme de sommet.

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Étape 1.1

Isolez $x$ du côté gauche de l’équation.

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Étape 1.1.1

Réécrivez l’équation comme $- 12 (x - 2) = {(y + 5)}^{2}$ .

$- 12 (x - 2) = {(y + 5)}^{2}$

Étape 1.1.2

Divisez chaque terme dans $- 12 (x - 2) = {(y + 5)}^{2}$ par $- 12$ et simplifiez.

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Étape 1.1.2.1

Divisez chaque terme dans $- 12 (x - 2) = {(y + 5)}^{2}$ par $- 12$ .

$\frac{- 12 (x - 2)}{- 12} = \frac{{(y + 5)}^{2}}{- 12}$

Étape 1.1.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 1.1.2.2.1

Annulez le facteur commun de $- 12$ .

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Étape 1.1.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{- 12 (x - 2)}{- 12} = \frac{{(y + 5)}^{2}}{- 12}$

Étape 1.1.2.2.1.2

Divisez $x - 2$ par $1$ .

$x - 2 = \frac{{(y + 5)}^{2}}{- 12}$

Étape 1.1.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 1.1.2.3.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$x - 2 = - \frac{{(y + 5)}^{2}}{12}$

Étape 1.1.3

Ajoutez $2$ aux deux côtés de l’équation.

$x = - \frac{{(y + 5)}^{2}}{12} + 2$

Étape 1.1.4

Remettez les termes dans l’ordre.

$x = - \frac{1}{12} \cdot {(y + 5)}^{2} + 2$

Étape 1.2

Complétez le carré pour $- \frac{1}{12} \cdot {(y + 5)}^{2} + 2$ .

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Étape 1.2.1

Simplifiez l’expression.

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Étape 1.2.1.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.2.1.1.1

Réécrivez ${(y + 5)}^{2}$ comme $(y + 5) (y + 5)$ .

$- \frac{1}{12} \cdot ((y + 5) (y + 5)) + 2$

Étape 1.2.1.1.2

Développez $(y + 5) (y + 5)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 1.2.1.1.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$- \frac{1}{12} \cdot (y (y + 5) + 5 (y + 5)) + 2$

Étape 1.2.1.1.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$- \frac{1}{12} \cdot (y \cdot y + y \cdot 5 + 5 (y + 5)) + 2$

Étape 1.2.1.1.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$- \frac{1}{12} \cdot (y \cdot y + y \cdot 5 + 5 y + 5 \cdot 5) + 2$

Étape 1.2.1.1.3

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 1.2.1.1.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.2.1.1.3.1.1

Multipliez $y$ par $y$ .

$- \frac{1}{12} \cdot (y^{2} + y \cdot 5 + 5 y + 5 \cdot 5) + 2$

Étape 1.2.1.1.3.1.2

Déplacez $5$ à gauche de $y$ .

$- \frac{1}{12} \cdot (y^{2} + 5 \cdot y + 5 y + 5 \cdot 5) + 2$

Étape 1.2.1.1.3.1.3

Multipliez $5$ par $5$ .

$- \frac{1}{12} \cdot (y^{2} + 5 y + 5 y + 25) + 2$

Étape 1.2.1.1.3.2

Additionnez $5 y$ et $5 y$ .

$- \frac{1}{12} \cdot (y^{2} + 10 y + 25) + 2$

Étape 1.2.1.1.4

Appliquez la propriété distributive.

$- \frac{1}{12} y^{2} - \frac{1}{12} (10 y) - \frac{1}{12} \cdot 25 + 2$

Étape 1.2.1.1.5

Simplifiez

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Étape 1.2.1.1.5.1

Associez $y^{2}$ et $\frac{1}{12}$ .

$- \frac{y^{2}}{12} - \frac{1}{12} (10 y) - \frac{1}{12} \cdot 25 + 2$

Étape 1.2.1.1.5.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 1.2.1.1.5.2.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{1}{12}$ dans le numérateur.

$- \frac{y^{2}}{12} + \frac{- 1}{12} (10 y) - \frac{1}{12} \cdot 25 + 2$

Étape 1.2.1.1.5.2.2

Factorisez $2$ à partir de $12$ .

$- \frac{y^{2}}{12} + \frac{- 1}{2 (6)} (10 y) - \frac{1}{12} \cdot 25 + 2$

Étape 1.2.1.1.5.2.3

Factorisez $2$ à partir de $10 y$ .

$- \frac{y^{2}}{12} + \frac{- 1}{2 (6)} (2 (5 y)) - \frac{1}{12} \cdot 25 + 2$

Étape 1.2.1.1.5.2.4

Annulez le facteur commun.

$- \frac{y^{2}}{12} + \frac{- 1}{2 \cdot 6} (2 (5 y)) - \frac{1}{12} \cdot 25 + 2$

Étape 1.2.1.1.5.2.5

Réécrivez l’expression.

$- \frac{y^{2}}{12} + \frac{- 1}{6} (5 y) - \frac{1}{12} \cdot 25 + 2$

Étape 1.2.1.1.5.3

Associez $5$ et $\frac{- 1}{6}$ .

$- \frac{y^{2}}{12} + \frac{5 \cdot - 1}{6} y - \frac{1}{12} \cdot 25 + 2$

Étape 1.2.1.1.5.4

Multipliez $5$ par $- 1$ .

$- \frac{y^{2}}{12} + \frac{- 5}{6} y - \frac{1}{12} \cdot 25 + 2$

Étape 1.2.1.1.5.5

Associez $\frac{- 5}{6}$ et $y$ .

$- \frac{y^{2}}{12} + \frac{- 5 y}{6} - \frac{1}{12} \cdot 25 + 2$

Étape 1.2.1.1.5.6

Multipliez $- \frac{1}{12} \cdot 25$ .

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Étape 1.2.1.1.5.6.1

Multipliez $25$ par $- 1$ .

$- \frac{y^{2}}{12} + \frac{- 5 y}{6} - 25 (\frac{1}{12}) + 2$

Étape 1.2.1.1.5.6.2

Associez $- 25$ et $\frac{1}{12}$ .

$- \frac{y^{2}}{12} + \frac{- 5 y}{6} + \frac{- 25}{12} + 2$

Étape 1.2.1.1.6

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.2.1.1.6.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{y^{2}}{12} - \frac{5 y}{6} + \frac{- 25}{12} + 2$

Étape 1.2.1.1.6.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{y^{2}}{12} - \frac{5 y}{6} - \frac{25}{12} + 2$

Étape 1.2.1.2

Pour écrire $2$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{12}{12}$ .

$- \frac{y^{2}}{12} - \frac{5 y}{6} - \frac{25}{12} + 2 \cdot \frac{12}{12}$

Étape 1.2.1.3

Associez $2$ et $\frac{12}{12}$ .

$- \frac{y^{2}}{12} - \frac{5 y}{6} - \frac{25}{12} + \frac{2 \cdot 12}{12}$

Étape 1.2.1.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$- \frac{y^{2}}{12} - \frac{5 y}{6} + \frac{- 25 + 2 \cdot 12}{12}$

Étape 1.2.1.5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.2.1.5.1

Multipliez $2$ par $12$ .

$- \frac{y^{2}}{12} - \frac{5 y}{6} + \frac{- 25 + 24}{12}$

Étape 1.2.1.5.2

Additionnez $- 25$ et $24$ .

$- \frac{y^{2}}{12} - \frac{5 y}{6} + \frac{- 1}{12}$

Étape 1.2.1.6

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{y^{2}}{12} - \frac{5 y}{6} - \frac{1}{12}$

Étape 1.2.2

Utilisez la forme $a x^{2} + b x + c$ pour déterminer les valeurs de $a$ , $b$ et $c$ .

$a = - \frac{1}{12}$

$b = - \frac{5}{6}$

$c = - \frac{1}{12}$

Étape 1.2.3

Étudiez la forme du sommet d’une parabole.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Étape 1.2.4

Déterminez la valeur de $d$ en utilisant la formule $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Étape 1.2.4.1

Remplacez les valeurs de $a$ et $b$ dans la formule $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{- \frac{5}{6}}{2 (- \frac{1}{12})}$

Étape 1.2.4.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 1.2.4.2.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$d = \frac{\frac{5}{6}}{2 (\frac{1}{12})}$

Étape 1.2.4.2.2

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$d = \frac{5}{6} \cdot \frac{1}{2 (\frac{1}{12})}$

Étape 1.2.4.2.3

Associez $2$ et $\frac{1}{12}$ .

$d = \frac{5}{6} \cdot \frac{1}{\frac{2}{12}}$

Étape 1.2.4.2.4

Annulez le facteur commun à $2$ et $12$ .

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Étape 1.2.4.2.4.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$d = \frac{5}{6} \cdot \frac{1}{\frac{2 (1)}{12}}$

Étape 1.2.4.2.4.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 1.2.4.2.4.2.1

Factorisez $2$ à partir de $12$ .

$d = \frac{5}{6} \cdot \frac{1}{\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 6}}$

Étape 1.2.4.2.4.2.2

Annulez le facteur commun.

$d = \frac{5}{6} \cdot \frac{1}{\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 6}}$

Étape 1.2.4.2.4.2.3

Réécrivez l’expression.

$d = \frac{5}{6} \cdot \frac{1}{\frac{1}{6}}$

Étape 1.2.4.2.5

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$d = \frac{5}{6} (1 \cdot 6)$

Étape 1.2.4.2.6

Annulez le facteur commun de $6$ .

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Étape 1.2.4.2.6.1

Factorisez $6$ à partir de $1 \cdot 6$ .

$d = \frac{5}{6} (6 \cdot 1)$

Étape 1.2.4.2.6.2

Annulez le facteur commun.

$d = \frac{5}{6} (6 \cdot 1)$

Étape 1.2.4.2.6.3

Réécrivez l’expression.

$d = 5$

Étape 1.2.5

Déterminez la valeur de $e$ en utilisant la formule $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Étape 1.2.5.1

Remplacez les valeurs de $c$ , $b$ et $a$ dans la formule $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = - \frac{1}{12} - \frac{{(- \frac{5}{6})}^{2}}{4 (- \frac{1}{12})}$

Étape 1.2.5.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 1.2.5.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.2.5.2.1.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.2.5.2.1.1.1

Appliquez la règle de produit à $- \frac{5}{6}$ .

$e = - \frac{1}{12} - \frac{{(- 1)}^{2} {(\frac{5}{6})}^{2}}{4 (- \frac{1}{12})}$

Étape 1.2.5.2.1.1.2

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$e = - \frac{1}{12} - \frac{1 {(\frac{5}{6})}^{2}}{4 (- \frac{1}{12})}$

Étape 1.2.5.2.1.1.3

Appliquez la règle de produit à $\frac{5}{6}$ .

$e = - \frac{1}{12} - \frac{1 \frac{5^{2}}{6^{2}}}{4 (- \frac{1}{12})}$

Étape 1.2.5.2.1.1.4

Élevez $5$ à la puissance $2$ .

$e = - \frac{1}{12} - \frac{1 \frac{25}{6^{2}}}{4 (- \frac{1}{12})}$

Étape 1.2.5.2.1.1.5

Élevez $6$ à la puissance $2$ .

$e = - \frac{1}{12} - \frac{1 (\frac{25}{36})}{4 (- \frac{1}{12})}$

Étape 1.2.5.2.1.1.6

Multipliez $\frac{25}{36}$ par $1$ .

$e = - \frac{1}{12} - \frac{\frac{25}{36}}{4 (- \frac{1}{12})}$

Étape 1.2.5.2.1.2

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 1.2.5.2.1.2.1

Multipliez $- 1$ par $4$ .

$e = - \frac{1}{12} - \frac{\frac{25}{36}}{- 4 (\frac{1}{12})}$

Étape 1.2.5.2.1.2.2

Associez $- 4$ et $\frac{1}{12}$ .

$e = - \frac{1}{12} - \frac{\frac{25}{36}}{\frac{- 4}{12}}$

Étape 1.2.5.2.1.3

Réduisez l’expression en annulant les facteurs communs.

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Étape 1.2.5.2.1.3.1

Annulez le facteur commun à $- 4$ et $12$ .

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Étape 1.2.5.2.1.3.1.1

Factorisez $4$ à partir de $- 4$ .

$e = - \frac{1}{12} - \frac{\frac{25}{36}}{\frac{4 (- 1)}{12}}$

Étape 1.2.5.2.1.3.1.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 1.2.5.2.1.3.1.2.1

Factorisez $4$ à partir de $12$ .

$e = - \frac{1}{12} - \frac{\frac{25}{36}}{\frac{4 \cdot - 1}{4 \cdot 3}}$

Étape 1.2.5.2.1.3.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$e = - \frac{1}{12} - \frac{\frac{25}{36}}{\frac{4 \cdot - 1}{4 \cdot 3}}$

Étape 1.2.5.2.1.3.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$e = - \frac{1}{12} - \frac{\frac{25}{36}}{\frac{- 1}{3}}$

Étape 1.2.5.2.1.3.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$e = - \frac{1}{12} - \frac{\frac{25}{36}}{- \frac{1}{3}}$

Étape 1.2.5.2.1.4

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$e = - \frac{1}{12} - (\frac{25}{36} (- 1 \cdot 3))$

Étape 1.2.5.2.1.5

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 1.2.5.2.1.5.1

Factorisez $3$ à partir de $36$ .

$e = - \frac{1}{12} - (\frac{25}{3 (12)} (- 1 \cdot 3))$

Étape 1.2.5.2.1.5.2

Factorisez $3$ à partir de $- 1 \cdot 3$ .

$e = - \frac{1}{12} - (\frac{25}{3 (12)} (3 \cdot - 1))$

Étape 1.2.5.2.1.5.3

Annulez le facteur commun.

$e = - \frac{1}{12} - (\frac{25}{3 \cdot 12} (3 \cdot - 1))$

Étape 1.2.5.2.1.5.4

Réécrivez l’expression.

$e = - \frac{1}{12} - (\frac{25}{12} \cdot - 1)$

Étape 1.2.5.2.1.6

Associez $\frac{25}{12}$ et $- 1$ .

$e = - \frac{1}{12} - \frac{25 \cdot - 1}{12}$

Étape 1.2.5.2.1.7

Multipliez $25$ par $- 1$ .

$e = - \frac{1}{12} - \frac{- 25}{12}$

Étape 1.2.5.2.1.8

Placez le signe moins devant la fraction.

$e = - \frac{1}{12} - - \frac{25}{12}$

Étape 1.2.5.2.1.9

Multipliez $- - \frac{25}{12}$ .

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Étape 1.2.5.2.1.9.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$e = - \frac{1}{12} + 1 (\frac{25}{12})$

Étape 1.2.5.2.1.9.2

Multipliez $\frac{25}{12}$ par $1$ .

$e = - \frac{1}{12} + \frac{25}{12}$

Étape 1.2.5.2.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$e = \frac{- 1 + 25}{12}$

Étape 1.2.5.2.3

Additionnez $- 1$ et $25$ .

$e = \frac{24}{12}$

Étape 1.2.5.2.4

Divisez $24$ par $12$ .

$e = 2$

Étape 1.2.6

Remplacez les valeurs de $a$ , $d$ et $e$ dans la forme du sommet $- \frac{1}{12} {(y + 5)}^{2} + 2$ .

$- \frac{1}{12} {(y + 5)}^{2} + 2$

Étape 1.3

Définissez $x$ égal au nouveau côté droit.

$x = - \frac{1}{12} \cdot {(y + 5)}^{2} + 2$

Étape 2

Utilisez la forme du sommet, $x = a {(y - k)}^{2} + h$ , pour déterminer les valeurs de $a$ , $h$ et $k$ .

$a = - \frac{1}{12}$

$h = 2$

$k = - 5$

Étape 3

Déterminez le sommet $(h, k)$ .

$(2, - 5)$

Étape 4