Pré-calcul Exemples

$81 x^{2} + y^{2} - 324 x + 243 = 0$

Étape 1

Déterminez la forme normalisée de l’ellipse.

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Étape 1.1

Soustrayez $243$ des deux côtés de l’équation.

$81 x^{2} + y^{2} - 324 x = - 243$

Étape 1.2

Complétez le carré pour $81 x^{2} - 324 x$ .

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Étape 1.2.1

Utilisez la forme $a x^{2} + b x + c$ pour déterminer les valeurs de $a$ , $b$ et $c$ .

$a = 81$

$b = - 324$

$c = 0$

Étape 1.2.2

Étudiez la forme du sommet d’une parabole.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Étape 1.2.3

Déterminez la valeur de $d$ en utilisant la formule $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Étape 1.2.3.1

Remplacez les valeurs de $a$ et $b$ dans la formule $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{- 324}{2 \cdot 81}$

Étape 1.2.3.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 1.2.3.2.1

Annulez le facteur commun à $- 324$ et $2$ .

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Étape 1.2.3.2.1.1

Factorisez $2$ à partir de $- 324$ .

$d = \frac{2 \cdot - 162}{2 \cdot 81}$

Étape 1.2.3.2.1.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 1.2.3.2.1.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2 \cdot 81$ .

$d = \frac{2 \cdot - 162}{2 (81)}$

Étape 1.2.3.2.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$d = \frac{2 \cdot - 162}{2 \cdot 81}$

Étape 1.2.3.2.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$d = \frac{- 162}{81}$

Étape 1.2.3.2.2

Annulez le facteur commun à $- 162$ et $81$ .

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Étape 1.2.3.2.2.1

Factorisez $81$ à partir de $- 162$ .

$d = \frac{81 \cdot - 2}{81}$

Étape 1.2.3.2.2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 1.2.3.2.2.2.1

Factorisez $81$ à partir de $81$ .

$d = \frac{81 \cdot - 2}{81 (1)}$

Étape 1.2.3.2.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$d = \frac{81 \cdot - 2}{81 \cdot 1}$

Étape 1.2.3.2.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$d = \frac{- 2}{1}$

Étape 1.2.3.2.2.2.4

Divisez $- 2$ par $1$ .

$d = - 2$

Étape 1.2.4

Déterminez la valeur de $e$ en utilisant la formule $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Étape 1.2.4.1

Remplacez les valeurs de $c$ , $b$ et $a$ dans la formule $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{{(- 324)}^{2}}{4 \cdot 81}$

Étape 1.2.4.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 1.2.4.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.2.4.2.1.1

Élevez $- 324$ à la puissance $2$ .

$e = 0 - \frac{104976}{4 \cdot 81}$

Étape 1.2.4.2.1.2

Multipliez $4$ par $81$ .

$e = 0 - \frac{104976}{324}$

Étape 1.2.4.2.1.3

Divisez $104976$ par $324$ .

$e = 0 - 1 \cdot 324$

Étape 1.2.4.2.1.4

Multipliez $- 1$ par $324$ .

$e = 0 - 324$

Étape 1.2.4.2.2

Soustrayez $324$ de $0$ .

$e = - 324$

Étape 1.2.5

Remplacez les valeurs de $a$ , $d$ et $e$ dans la forme du sommet $81 {(x - 2)}^{2} - 324$ .

$81 {(x - 2)}^{2} - 324$

Étape 1.3

Remplacez $81 x^{2} - 324 x$ par $81 {(x - 2)}^{2} - 324$ dans l’équation $81 x^{2} + y^{2} - 324 x = - 243$ .

$81 {(x - 2)}^{2} - 324 + y^{2} = - 243$

Étape 1.4

Déplacez $- 324$ du côté droit de l’équation en ajoutant $324$ des deux côtés.

$81 {(x - 2)}^{2} + y^{2} = - 243 + 324$

Étape 1.5

Additionnez $- 243$ et $324$ .

$81 {(x - 2)}^{2} + y^{2} = 81$

Étape 1.6

Divisez chaque terme par $81$ pour rendre le côté droit égal à un.

$\frac{81 {(x - 2)}^{2}}{81} + \frac{y^{2}}{81} = \frac{81}{81}$

Étape 1.7

Simplifiez chaque terme de l’équation afin de définir le côté droit égal à $1$ . La forme normalisée d’une ellipse ou hyperbole nécessite que le côté droit de l’équation soit $1$ .

${(x - 2)}^{2} + \frac{y^{2}}{81} = 1$

Étape 2

C’est la forme d’une ellipse. Utilisez cette forme pour déterminer les valeurs utilisées pour déterminer le centre et le petit et le grand axe de l’ellipse.

$\frac{{(x - h)}^{2}}{b^{2}} + \frac{{(y - k)}^{2}}{a^{2}} = 1$

Étape 3

Faites correspondre les valeurs dans cette ellipse avec celles de la forme normalisée. La variable $a$ représente le rayon du grand axe de l’ellipse, $b$ représente le rayon du petit axe de l’ellipse, $h$ représente le décalage x par rapport à l’origine et $k$ représente le décalage y par rapport à l’origine.

$a = 9$

$b = 1$

$k = 0$

$h = 2$

Étape 4

Le centre d’une ellipse suit la forme de $(h, k)$ . Remplacez les valeurs de $h$ et $k$ .

$(2, 0)$

Étape 5