Pré-calcul Exemples

$x^{2} + 6 x + 4 y + 5 = 0$

Étape 1

Réécrivez l’équation en forme de sommet.

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Étape 1.1

Isolez $y$ du côté gauche de l’équation.

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Étape 1.1.1

Déplacez tous les termes ne contenant pas $y$ du côté droit de l’équation.

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Étape 1.1.1.1

Soustrayez $x^{2}$ des deux côtés de l’équation.

$6 x + 4 y + 5 = - x^{2}$

Étape 1.1.1.2

Soustrayez $6 x$ des deux côtés de l’équation.

$4 y + 5 = - x^{2} - 6 x$

Étape 1.1.1.3

Soustrayez $5$ des deux côtés de l’équation.

$4 y = - x^{2} - 6 x - 5$

Étape 1.1.2

Divisez chaque terme dans $4 y = - x^{2} - 6 x - 5$ par $4$ et simplifiez.

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Étape 1.1.2.1

Divisez chaque terme dans $4 y = - x^{2} - 6 x - 5$ par $4$ .

$\frac{4 y}{4} = \frac{- x^{2}}{4} + \frac{- 6 x}{4} + \frac{- 5}{4}$

Étape 1.1.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 1.1.2.2.1

Annulez le facteur commun de $4$ .

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Étape 1.1.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{4 y}{4} = \frac{- x^{2}}{4} + \frac{- 6 x}{4} + \frac{- 5}{4}$

Étape 1.1.2.2.1.2

Divisez $y$ par $1$ .

$y = \frac{- x^{2}}{4} + \frac{- 6 x}{4} + \frac{- 5}{4}$

Étape 1.1.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 1.1.2.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.1.2.3.1.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$y = - \frac{x^{2}}{4} + \frac{- 6 x}{4} + \frac{- 5}{4}$

Étape 1.1.2.3.1.2

Annulez le facteur commun à $- 6$ et $4$ .

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Étape 1.1.2.3.1.2.1

Factorisez $2$ à partir de $- 6 x$ .

$y = - \frac{x^{2}}{4} + \frac{2 (- 3 x)}{4} + \frac{- 5}{4}$

Étape 1.1.2.3.1.2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 1.1.2.3.1.2.2.1

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$y = - \frac{x^{2}}{4} + \frac{2 (- 3 x)}{2 (2)} + \frac{- 5}{4}$

Étape 1.1.2.3.1.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$y = - \frac{x^{2}}{4} + \frac{2 (- 3 x)}{2 \cdot 2} + \frac{- 5}{4}$

Étape 1.1.2.3.1.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$y = - \frac{x^{2}}{4} + \frac{- 3 x}{2} + \frac{- 5}{4}$

Étape 1.1.2.3.1.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$y = - \frac{x^{2}}{4} - \frac{(3) x}{2} + \frac{- 5}{4}$

Étape 1.1.2.3.1.4

Placez le signe moins devant la fraction.

$y = - \frac{x^{2}}{4} - \frac{3 x}{2} - \frac{5}{4}$

Étape 1.2

Complétez le carré pour $- \frac{x^{2}}{4} - \frac{3 x}{2} - \frac{5}{4}$ .

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Étape 1.2.1

Utilisez la forme $a x^{2} + b x + c$ pour déterminer les valeurs de $a$ , $b$ et $c$ .

$a = - \frac{1}{4}$

$b = - \frac{3}{2}$

$c = - \frac{5}{4}$

Étape 1.2.2

Étudiez la forme du sommet d’une parabole.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Étape 1.2.3

Déterminez la valeur de $d$ en utilisant la formule $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Étape 1.2.3.1

Remplacez les valeurs de $a$ et $b$ dans la formule $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{- \frac{3}{2}}{2 (- \frac{1}{4})}$

Étape 1.2.3.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 1.2.3.2.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$d = \frac{\frac{3}{2}}{2 (\frac{1}{4})}$

Étape 1.2.3.2.2

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$d = \frac{3}{2} \cdot \frac{1}{2 (\frac{1}{4})}$

Étape 1.2.3.2.3

Associez $2$ et $\frac{1}{4}$ .

$d = \frac{3}{2} \cdot \frac{1}{\frac{2}{4}}$

Étape 1.2.3.2.4

Annulez le facteur commun à $2$ et $4$ .

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Étape 1.2.3.2.4.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$d = \frac{3}{2} \cdot \frac{1}{\frac{2 (1)}{4}}$

Étape 1.2.3.2.4.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 1.2.3.2.4.2.1

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$d = \frac{3}{2} \cdot \frac{1}{\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2}}$

Étape 1.2.3.2.4.2.2

Annulez le facteur commun.

$d = \frac{3}{2} \cdot \frac{1}{\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2}}$

Étape 1.2.3.2.4.2.3

Réécrivez l’expression.

$d = \frac{3}{2} \cdot \frac{1}{\frac{1}{2}}$

Étape 1.2.3.2.5

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$d = \frac{3}{2} (1 \cdot 2)$

Étape 1.2.3.2.6

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 1.2.3.2.6.1

Factorisez $2$ à partir de $1 \cdot 2$ .

$d = \frac{3}{2} (2 \cdot 1)$

Étape 1.2.3.2.6.2

Annulez le facteur commun.

$d = \frac{3}{2} (2 \cdot 1)$

Étape 1.2.3.2.6.3

Réécrivez l’expression.

$d = 3$

Étape 1.2.4

Déterminez la valeur de $e$ en utilisant la formule $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Étape 1.2.4.1

Remplacez les valeurs de $c$ , $b$ et $a$ dans la formule $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = - \frac{5}{4} - \frac{{(- \frac{3}{2})}^{2}}{4 (- \frac{1}{4})}$

Étape 1.2.4.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 1.2.4.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.2.4.2.1.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.2.4.2.1.1.1

Appliquez la règle de produit à $- \frac{3}{2}$ .

$e = - \frac{5}{4} - \frac{{(- 1)}^{2} {(\frac{3}{2})}^{2}}{4 (- \frac{1}{4})}$

Étape 1.2.4.2.1.1.2

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$e = - \frac{5}{4} - \frac{1 {(\frac{3}{2})}^{2}}{4 (- \frac{1}{4})}$

Étape 1.2.4.2.1.1.3

Appliquez la règle de produit à $\frac{3}{2}$ .

$e = - \frac{5}{4} - \frac{1 \frac{3^{2}}{2^{2}}}{4 (- \frac{1}{4})}$

Étape 1.2.4.2.1.1.4

Élevez $3$ à la puissance $2$ .

$e = - \frac{5}{4} - \frac{1 \frac{9}{2^{2}}}{4 (- \frac{1}{4})}$

Étape 1.2.4.2.1.1.5

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$e = - \frac{5}{4} - \frac{1 (\frac{9}{4})}{4 (- \frac{1}{4})}$

Étape 1.2.4.2.1.1.6

Multipliez $\frac{9}{4}$ par $1$ .

$e = - \frac{5}{4} - \frac{\frac{9}{4}}{4 (- \frac{1}{4})}$

Étape 1.2.4.2.1.2

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 1.2.4.2.1.2.1

Multipliez $- 1$ par $4$ .

$e = - \frac{5}{4} - \frac{\frac{9}{4}}{- 4 (\frac{1}{4})}$

Étape 1.2.4.2.1.2.2

Associez $- 4$ et $\frac{1}{4}$ .

$e = - \frac{5}{4} - \frac{\frac{9}{4}}{\frac{- 4}{4}}$

Étape 1.2.4.2.1.3

Divisez $- 4$ par $4$ .

$e = - \frac{5}{4} - \frac{\frac{9}{4}}{- 1}$

Étape 1.2.4.2.1.4

Déplacez le moins un du dénominateur de $\frac{\frac{9}{4}}{- 1}$ .

$e = - \frac{5}{4} - (- 1 \cdot \frac{9}{4})$

Étape 1.2.4.2.1.5

Réécrivez $- 1 \cdot \frac{9}{4}$ comme $- \frac{9}{4}$ .

$e = - \frac{5}{4} - - \frac{9}{4}$

Étape 1.2.4.2.1.6

Multipliez $- - \frac{9}{4}$ .

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Étape 1.2.4.2.1.6.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$e = - \frac{5}{4} + 1 (\frac{9}{4})$

Étape 1.2.4.2.1.6.2

Multipliez $\frac{9}{4}$ par $1$ .

$e = - \frac{5}{4} + \frac{9}{4}$

Étape 1.2.4.2.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$e = \frac{- 5 + 9}{4}$

Étape 1.2.4.2.3

Additionnez $- 5$ et $9$ .

$e = \frac{4}{4}$

Étape 1.2.4.2.4

Divisez $4$ par $4$ .

$e = 1$

Étape 1.2.5

Remplacez les valeurs de $a$ , $d$ et $e$ dans la forme du sommet $- \frac{1}{4} {(x + 3)}^{2} + 1$ .

$- \frac{1}{4} {(x + 3)}^{2} + 1$

Étape 1.3

Définissez $y$ égal au nouveau côté droit.

$y = - \frac{1}{4} \cdot {(x + 3)}^{2} + 1$

Étape 2

Utilisez la forme du sommet, $y = a {(x - h)}^{2} + k$ , pour déterminer les valeurs de $a$ , $h$ et $k$ .

$a = - \frac{1}{4}$

$h = - 3$

$k = 1$

Étape 3

Comme la valeur de $a$ est négative, la parabole ouvre vers le bas.

ouvre vers le bas

Étape 4

Déterminez le sommet $(h, k)$ .

$(- 3, 1)$

Étape 5

Déterminez $p$ , la distance du sommet au foyer.

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Étape 5.1

Déterminez la distance du sommet à un foyer de la parabole en utilisant la formule suivante.

$\frac{1}{4 a}$

Étape 5.2

Remplacez la valeur de $a$ dans la fonction.

$\frac{1}{4 \cdot (- \frac{1}{4})}$

Étape 5.3

Simplifiez

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Étape 5.3.1

Annulez le facteur commun à $1$ et $- 1$ .

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Étape 5.3.1.1

Réécrivez $1$ comme $- 1 (- 1)$ .

$\frac{- 1 (- 1)}{4 \cdot (- \frac{1}{4})}$

Étape 5.3.1.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{1}{4 (\frac{1}{4})}$

Étape 5.3.2

Associez $4$ et $\frac{1}{4}$ .

$- \frac{1}{\frac{4}{4}}$

Étape 5.3.3

Divisez $4$ par $4$ .

$- \frac{1}{1}$

Étape 5.3.4

Annulez le facteur commun de $1$ .

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Étape 5.3.4.1

Annulez le facteur commun.

$- \frac{1}{1}$

Étape 5.3.4.2

Réécrivez l’expression.

$- 1 \cdot 1$

Étape 5.3.5

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$- 1$

Étape 6

Déterminez le foyer.

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Étape 6.1

Le foyer d’une parabole peut être trouvé en ajoutant $p$ à la coordonnée y $k$ si la parabole ouvre vers le haut ou vers le bas.

$(h, k + p)$

Étape 6.2

Remplacez les valeurs connues de $h$ , $p$ et $k$ dans la formule et simplifiez.

$(- 3, 0)$

Étape 7

Déterminez l’axe de symétrie en trouvant la droite qui passe par le sommet et le foyer.

$x = - 3$

Étape 8

Déterminez la directrice.

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Étape 8.1

La directrice d’une parabole est la droite horizontale déterminée en soustrayant $p$ de la coordonnée y $k$ du sommet si la parabole ouvre vers le haut ou vers le bas.

$y = k - p$

Étape 8.2

Remplacez les valeurs connues de $p$ et $k$ dans la formule et simplifiez.

$y = 2$

Étape 9

Utilisez les propriétés de la parabole pour analyser la parabole et la représenter sous forme graphique.

Direction : ouvre vers le bas

Sommet : $(- 3, 1)$

Foyer : $(- 3, 0)$

Axe de symétrie : $x = - 3$

Directrice : $y = 2$

Étape 10