Pré-calcul Exemples

$(\sqrt{125}, \sqrt{20})$ , $(7, 2 \sqrt{5})$

Étape 1

Réécrivez $125$ comme $5^{2} \cdot 5$ .

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Étape 1.1

Factorisez $25$ à partir de $125$ .

$(\sqrt{25 (5)}, \sqrt{20}) - (7, 2 \sqrt{5})$

Étape 1.2

Réécrivez $25$ comme $5^{2}$ .

$(\sqrt{5^{2} \cdot 5}, \sqrt{20}) - (7, 2 \sqrt{5})$

Étape 2

Extrayez les termes de sous le radical.

$(5 \sqrt{5}, \sqrt{20}) - (7, 2 \sqrt{5})$

Étape 3

Réécrivez $20$ comme $2^{2} \cdot 5$ .

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Étape 3.1

Factorisez $4$ à partir de $20$ .

$(5 \sqrt{5}, \sqrt{4 (5)}) - (7, 2 \sqrt{5})$

Étape 3.2

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$(5 \sqrt{5}, \sqrt{2^{2} \cdot 5}) - (7, 2 \sqrt{5})$

Étape 4

Extrayez les termes de sous le radical.

$(5 \sqrt{5}, 2 \sqrt{5}) - (7, 2 \sqrt{5})$

Étape 5

Utilisez la formule de distance pour déterminer la distance entre les deux points.

$Distance = \sqrt{{(x_{2} - x_{1})}^{2} + {(y_{2} - y_{1})}^{2}}$

Étape 6

Remplacez les valeurs réelles des points dans la formule de distance.

$\sqrt{{(7 - 5 \sqrt{5})}^{2} + {(2 \sqrt{5} - 2 \sqrt{5})}^{2}}$

Étape 7

Simplifiez

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Étape 7.1

Réécrivez ${(7 - 5 \sqrt{5})}^{2}$ comme $(7 - 5 \sqrt{5}) (7 - 5 \sqrt{5})$ .

$\sqrt{(7 - 5 \sqrt{5}) (7 - 5 \sqrt{5}) + {(2 \sqrt{5} - 2 \sqrt{5})}^{2}}$

Étape 7.2

Développez $(7 - 5 \sqrt{5}) (7 - 5 \sqrt{5})$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 7.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$\sqrt{7 (7 - 5 \sqrt{5}) - 5 \sqrt{5} (7 - 5 \sqrt{5}) + {(2 \sqrt{5} - 2 \sqrt{5})}^{2}}$

Étape 7.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$\sqrt{7 \cdot 7 + 7 (- 5 \sqrt{5}) - 5 \sqrt{5} (7 - 5 \sqrt{5}) + {(2 \sqrt{5} - 2 \sqrt{5})}^{2}}$

Étape 7.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$\sqrt{7 \cdot 7 + 7 (- 5 \sqrt{5}) - 5 \sqrt{5} \cdot 7 - 5 \sqrt{5} (- 5 \sqrt{5}) + {(2 \sqrt{5} - 2 \sqrt{5})}^{2}}$

Étape 7.3

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 7.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 7.3.1.1

Multipliez $7$ par $7$ .

$\sqrt{49 + 7 (- 5 \sqrt{5}) - 5 \sqrt{5} \cdot 7 - 5 \sqrt{5} (- 5 \sqrt{5}) + {(2 \sqrt{5} - 2 \sqrt{5})}^{2}}$

Étape 7.3.1.2

Multipliez $- 5$ par $7$ .

$\sqrt{49 - 35 \sqrt{5} - 5 \sqrt{5} \cdot 7 - 5 \sqrt{5} (- 5 \sqrt{5}) + {(2 \sqrt{5} - 2 \sqrt{5})}^{2}}$

Étape 7.3.1.3

Multipliez $7$ par $- 5$ .

$\sqrt{49 - 35 \sqrt{5} - 35 \sqrt{5} - 5 \sqrt{5} (- 5 \sqrt{5}) + {(2 \sqrt{5} - 2 \sqrt{5})}^{2}}$

Étape 7.3.1.4

Multipliez $- 5 \sqrt{5} (- 5 \sqrt{5})$ .

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Étape 7.3.1.4.1

Multipliez $- 5$ par $- 5$ .

$\sqrt{49 - 35 \sqrt{5} - 35 \sqrt{5} + 25 \sqrt{5} \sqrt{5} + {(2 \sqrt{5} - 2 \sqrt{5})}^{2}}$

Étape 7.3.1.4.2

Élevez $\sqrt{5}$ à la puissance $1$ .

$\sqrt{49 - 35 \sqrt{5} - 35 \sqrt{5} + 25 ({\sqrt{5}}^{1} \sqrt{5}) + {(2 \sqrt{5} - 2 \sqrt{5})}^{2}}$

Étape 7.3.1.4.3

Élevez $\sqrt{5}$ à la puissance $1$ .

$\sqrt{49 - 35 \sqrt{5} - 35 \sqrt{5} + 25 ({\sqrt{5}}^{1} {\sqrt{5}}^{1}) + {(2 \sqrt{5} - 2 \sqrt{5})}^{2}}$

Étape 7.3.1.4.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\sqrt{49 - 35 \sqrt{5} - 35 \sqrt{5} + 25 {\sqrt{5}}^{1 + 1} + {(2 \sqrt{5} - 2 \sqrt{5})}^{2}}$

Étape 7.3.1.4.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$\sqrt{49 - 35 \sqrt{5} - 35 \sqrt{5} + 25 {\sqrt{5}}^{2} + {(2 \sqrt{5} - 2 \sqrt{5})}^{2}}$

Étape 7.3.1.5

Réécrivez ${\sqrt{5}}^{2}$ comme $5$ .

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Étape 7.3.1.5.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{5}$ comme $5^{\frac{1}{2}}$ .

$\sqrt{49 - 35 \sqrt{5} - 35 \sqrt{5} + 25 {(5^{\frac{1}{2}})}^{2} + {(2 \sqrt{5} - 2 \sqrt{5})}^{2}}$

Étape 7.3.1.5.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sqrt{49 - 35 \sqrt{5} - 35 \sqrt{5} + 25 \cdot 5^{\frac{1}{2} \cdot 2} + {(2 \sqrt{5} - 2 \sqrt{5})}^{2}}$

Étape 7.3.1.5.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$\sqrt{49 - 35 \sqrt{5} - 35 \sqrt{5} + 25 \cdot 5^{\frac{2}{2}} + {(2 \sqrt{5} - 2 \sqrt{5})}^{2}}$

Étape 7.3.1.5.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 7.3.1.5.4.1

Annulez le facteur commun.

$\sqrt{49 - 35 \sqrt{5} - 35 \sqrt{5} + 25 \cdot 5^{\frac{2}{2}} + {(2 \sqrt{5} - 2 \sqrt{5})}^{2}}$

Étape 7.3.1.5.4.2

Réécrivez l’expression.

$\sqrt{49 - 35 \sqrt{5} - 35 \sqrt{5} + 25 \cdot 5^{1} + {(2 \sqrt{5} - 2 \sqrt{5})}^{2}}$

Étape 7.3.1.5.5

Évaluez l’exposant.

$\sqrt{49 - 35 \sqrt{5} - 35 \sqrt{5} + 25 \cdot 5 + {(2 \sqrt{5} - 2 \sqrt{5})}^{2}}$

Étape 7.3.1.6

Multipliez $25$ par $5$ .

$\sqrt{49 - 35 \sqrt{5} - 35 \sqrt{5} + 125 + {(2 \sqrt{5} - 2 \sqrt{5})}^{2}}$

Étape 7.3.2

Additionnez $49$ et $125$ .

$\sqrt{174 - 35 \sqrt{5} - 35 \sqrt{5} + {(2 \sqrt{5} - 2 \sqrt{5})}^{2}}$

Étape 7.3.3

Soustrayez $35 \sqrt{5}$ de $- 35 \sqrt{5}$ .

$\sqrt{174 - 70 \sqrt{5} + {(2 \sqrt{5} - 2 \sqrt{5})}^{2}}$

Étape 7.4

Soustrayez $2 \sqrt{5}$ de $2 \sqrt{5}$ .

$\sqrt{174 - 70 \sqrt{5} + 0^{2}}$

Étape 7.5

Simplifiez l’expression.

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Étape 7.5.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$\sqrt{174 - 70 \sqrt{5} + 0}$

Étape 7.5.2

Additionnez $174 - 70 \sqrt{5}$ et $0$ .

$\sqrt{174 - 70 \sqrt{5}}$

Étape 8

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$\sqrt{174 - 70 \sqrt{5}}$

Forme décimale :

$4.18033988 \dots$

Étape 9