Pré-calcul Exemples

$\frac{{(x - 4)}^{2}}{16} - \frac{{(y + 3)}^{2}}{4} = 1$

Étape 1

Simplifiez le côté gauche $\frac{{(x - 4)}^{2}}{16} - \frac{{(y + 3)}^{2}}{4}$ .

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Étape 1.1

Pour écrire $- \frac{{(y + 3)}^{2}}{4}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{4}{4}$ .

$\frac{{(x - 4)}^{2}}{16} - \frac{{(y + 3)}^{2}}{4} \cdot \frac{4}{4} = 1$

Étape 1.2

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $16$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 1.2.1

Multipliez $\frac{{(y + 3)}^{2}}{4}$ par $\frac{4}{4}$ .

$\frac{{(x - 4)}^{2}}{16} - \frac{{(y + 3)}^{2} \cdot 4}{4 \cdot 4} = 1$

Étape 1.2.2

Multipliez $4$ par $4$ .

$\frac{{(x - 4)}^{2}}{16} - \frac{{(y + 3)}^{2} \cdot 4}{16} = 1$

Étape 1.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{{(x - 4)}^{2} - {(y + 3)}^{2} \cdot 4}{16} = 1$

Étape 1.4

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.4.1

Réécrivez ${(y + 3)}^{2} \cdot 4$ comme ${((y + 3) \cdot 2)}^{2}$ .

$\frac{{(x - 4)}^{2} - {((y + 3) \cdot 2)}^{2}}{16} = 1$

Étape 1.4.2

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = x - 4$ et $b = (y + 3) \cdot 2$ .

$\frac{(x - 4 + (y + 3) \cdot 2) (x - 4 - ((y + 3) \cdot 2))}{16} = 1$

Étape 1.4.3

Simplifiez

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Étape 1.4.3.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{(x - 4 + y \cdot 2 + 3 \cdot 2) (x - 4 - ((y + 3) \cdot 2))}{16} = 1$

Étape 1.4.3.2

Déplacez $2$ à gauche de $y$ .

$\frac{(x - 4 + 2 \cdot y + 3 \cdot 2) (x - 4 - ((y + 3) \cdot 2))}{16} = 1$

Étape 1.4.3.3

Multipliez $3$ par $2$ .

$\frac{(x - 4 + 2 \cdot y + 6) (x - 4 - ((y + 3) \cdot 2))}{16} = 1$

Étape 1.4.3.4

Additionnez $- 4$ et $6$ .

$\frac{(x + 2 y + 2) (x - 4 - ((y + 3) \cdot 2))}{16} = 1$

Étape 1.4.3.5

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{(x + 2 y + 2) (x - 4 - (y \cdot 2 + 3 \cdot 2))}{16} = 1$

Étape 1.4.3.6

Déplacez $2$ à gauche de $y$ .

$\frac{(x + 2 y + 2) (x - 4 - (2 \cdot y + 3 \cdot 2))}{16} = 1$

Étape 1.4.3.7

Multipliez $3$ par $2$ .

$\frac{(x + 2 y + 2) (x - 4 - (2 \cdot y + 6))}{16} = 1$

Étape 1.4.3.8

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{(x + 2 y + 2) (x - 4 - (2 y) - 1 \cdot 6)}{16} = 1$

Étape 1.4.3.9

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$\frac{(x + 2 y + 2) (x - 4 - 2 y - 1 \cdot 6)}{16} = 1$

Étape 1.4.3.10

Multipliez $- 1$ par $6$ .

$\frac{(x + 2 y + 2) (x - 4 - 2 y - 6)}{16} = 1$

Étape 1.4.3.11

Soustrayez $6$ de $- 4$ .

$\frac{(x + 2 y + 2) (x - 2 y - 10)}{16} = 1$

Étape 2

Multipliez les deux côtés par $16$ .

$\frac{(x + 2 y + 2) (x - 2 y - 10)}{16} \cdot 16 = 1 \cdot 16$

Étape 3

Simplifiez

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Étape 3.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.1.1

Simplifiez $\frac{(x + 2 y + 2) (x - 2 y - 10)}{16} \cdot 16$ .

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Étape 3.1.1.1

Annulez le facteur commun de $16$ .

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Étape 3.1.1.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{(x + 2 y + 2) (x - 2 y - 10)}{16} \cdot 16 = 1 \cdot 16$

Étape 3.1.1.1.2

Réécrivez l’expression.

$(x + 2 y + 2) (x - 2 y - 10) = 1 \cdot 16$

Étape 3.1.1.2

Développez $(x + 2 y + 2) (x - 2 y - 10)$ en multipliant chaque terme dans la première expression par chaque terme dans la deuxième expression.

$x \cdot x + x (- 2 y) + x \cdot - 10 + 2 y x + 2 y (- 2 y) + 2 y \cdot - 10 + 2 x + 2 (- 2 y) + 2 \cdot - 10 = 1 \cdot 16$

Étape 3.1.1.3

Simplifiez les termes.

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Étape 3.1.1.3.1

Associez les termes opposés dans $x \cdot x + x (- 2 y) + x \cdot - 10 + 2 y x + 2 y (- 2 y) + 2 y \cdot - 10 + 2 x + 2 (- 2 y) + 2 \cdot - 10$ .

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Étape 3.1.1.3.1.1

Réorganisez les facteurs dans les termes $x (- 2 y)$ et $2 y x$ .

$x \cdot x - 2 x y + x \cdot - 10 + 2 x y + 2 y (- 2 y) + 2 y \cdot - 10 + 2 x + 2 (- 2 y) + 2 \cdot - 10 = 1 \cdot 16$

Étape 3.1.1.3.1.2

Additionnez $- 2 x y$ et $2 x y$ .

$x \cdot x + x \cdot - 10 + 0 + 2 y (- 2 y) + 2 y \cdot - 10 + 2 x + 2 (- 2 y) + 2 \cdot - 10 = 1 \cdot 16$

Étape 3.1.1.3.1.3

Additionnez $x \cdot x + x \cdot - 10$ et $0$ .

$x \cdot x + x \cdot - 10 + 2 y (- 2 y) + 2 y \cdot - 10 + 2 x + 2 (- 2 y) + 2 \cdot - 10 = 1 \cdot 16$

Étape 3.1.1.3.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.1.1.3.2.1

Multipliez $x$ par $x$ .

$x^{2} + x \cdot - 10 + 2 y (- 2 y) + 2 y \cdot - 10 + 2 x + 2 (- 2 y) + 2 \cdot - 10 = 1 \cdot 16$

Étape 3.1.1.3.2.2

Déplacez $- 10$ à gauche de $x$ .

$x^{2} - 10 \cdot x + 2 y (- 2 y) + 2 y \cdot - 10 + 2 x + 2 (- 2 y) + 2 \cdot - 10 = 1 \cdot 16$

Étape 3.1.1.3.2.3

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$x^{2} - 10 x + 2 \cdot - 2 y \cdot y + 2 y \cdot - 10 + 2 x + 2 (- 2 y) + 2 \cdot - 10 = 1 \cdot 16$

Étape 3.1.1.3.2.4

Multipliez $y$ par $y$ en additionnant les exposants.

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Étape 3.1.1.3.2.4.1

Déplacez $y$ .

$x^{2} - 10 x + 2 \cdot - 2 (y \cdot y) + 2 y \cdot - 10 + 2 x + 2 (- 2 y) + 2 \cdot - 10 = 1 \cdot 16$

Étape 3.1.1.3.2.4.2

Multipliez $y$ par $y$ .

$x^{2} - 10 x + 2 \cdot - 2 y^{2} + 2 y \cdot - 10 + 2 x + 2 (- 2 y) + 2 \cdot - 10 = 1 \cdot 16$

Étape 3.1.1.3.2.5

Multipliez $2$ par $- 2$ .

$x^{2} - 10 x - 4 y^{2} + 2 y \cdot - 10 + 2 x + 2 (- 2 y) + 2 \cdot - 10 = 1 \cdot 16$

Étape 3.1.1.3.2.6

Multipliez $- 10$ par $2$ .

$x^{2} - 10 x - 4 y^{2} - 20 y + 2 x + 2 (- 2 y) + 2 \cdot - 10 = 1 \cdot 16$

Étape 3.1.1.3.2.7

Multipliez $- 2$ par $2$ .

$x^{2} - 10 x - 4 y^{2} - 20 y + 2 x - 4 y + 2 \cdot - 10 = 1 \cdot 16$

Étape 3.1.1.3.2.8

Multipliez $2$ par $- 10$ .

$x^{2} - 10 x - 4 y^{2} - 20 y + 2 x - 4 y - 20 = 1 \cdot 16$

Étape 3.1.1.3.3

Simplifiez en ajoutant des termes.

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Étape 3.1.1.3.3.1

Additionnez $- 10 x$ et $2 x$ .

$x^{2} - 8 x - 4 y^{2} - 20 y - 4 y - 20 = 1 \cdot 16$

Étape 3.1.1.3.3.2

Soustrayez $4 y$ de $- 20 y$ .

$x^{2} - 8 x - 4 y^{2} - 24 y - 20 = 1 \cdot 16$

Étape 3.1.1.3.3.3

Déplacez $- 8 x$ .

$x^{2} - 4 y^{2} - 8 x - 24 y - 20 = 1 \cdot 16$

Étape 3.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.2.1

Multipliez $16$ par $1$ .

$x^{2} - 4 y^{2} - 8 x - 24 y - 20 = 16$

Étape 4

Définissez l’équation égale à zéro.

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Étape 4.1

Soustrayez $16$ des deux côtés de l’équation.

$x^{2} - 4 y^{2} - 8 x - 24 y - 20 - 16 = 0$

Étape 4.2

Soustrayez $16$ de $- 20$ .

$x^{2} - 4 y^{2} - 8 x - 24 y - 36 = 0$