Pré-calcul Exemples

${(x - 3 y)}^{4}$

Étape 1

Le triangle de Pascal peut être affiché ainsi :

$1$

$1 - 1$

$1 - 2 - 1$

$1 - 3 - 3 - 1$

$1 - 4 - 6 - 4 - 1$

Le triangle peut être utilisé pour calculer les coefficients du développement de ${(a + b)}^{n}$ en prenant l’exposant $n$ et en ajoutant $1$ . Les coefficients correspondront à la droite $n + 1$ du triangle. Pour ${(x - 3 y)}^{4}$ , $n = 4$ les coefficients du développement correspondront donc à la droite $5$ .

Étape 2

Le développement suit la règle ${(a + b)}^{n} = c_{0} a^{n} b^{0} + c_{1} a^{n - 1} b^{1} + c_{n - 1} a^{1} b^{n - 1} + c_{n} a^{0} b^{n}$ . Les valeurs des coefficients, à partir du triangle, sont $1 - 4 - 6 - 4 - 1$ .

$1 a^{4} b^{0} + 4 a^{3} b + 6 a^{2} b^{2} + 4 a b^{3} + 1 a^{0} b^{4}$

Étape 3

Remplacez les valeurs réelles de $a$ $x$ et $b$ $- 3 y$ dans l’expression.

$1 {(x)}^{4} {(- 3 y)}^{0} + 4 {(x)}^{3} {(- 3 y)}^{1} + 6 {(x)}^{2} {(- 3 y)}^{2} + 4 {(x)}^{1} {(- 3 y)}^{3} + 1 {(x)}^{0} {(- 3 y)}^{4}$

Étape 4

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.1

Multipliez ${(x)}^{4}$ par $1$ .

${(x)}^{4} {(- 3 y)}^{0} + 4 {(x)}^{3} {(- 3 y)}^{1} + 6 {(x)}^{2} {(- 3 y)}^{2} + 4 {(x)}^{1} {(- 3 y)}^{3} + 1 {(x)}^{0} {(- 3 y)}^{4}$

Étape 4.2

Appliquez la règle de produit à $- 3 y$ .

$x^{4} ({(- 3)}^{0} y^{0}) + 4 {(x)}^{3} {(- 3 y)}^{1} + 6 {(x)}^{2} {(- 3 y)}^{2} + 4 {(x)}^{1} {(- 3 y)}^{3} + 1 {(x)}^{0} {(- 3 y)}^{4}$

Étape 4.3

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

${(- 3)}^{0} x^{4} y^{0} + 4 {(x)}^{3} {(- 3 y)}^{1} + 6 {(x)}^{2} {(- 3 y)}^{2} + 4 {(x)}^{1} {(- 3 y)}^{3} + 1 {(x)}^{0} {(- 3 y)}^{4}$

Étape 4.4

Tout ce qui est élevé à la puissance $0$ est $1$ .

$1 x^{4} y^{0} + 4 {(x)}^{3} {(- 3 y)}^{1} + 6 {(x)}^{2} {(- 3 y)}^{2} + 4 {(x)}^{1} {(- 3 y)}^{3} + 1 {(x)}^{0} {(- 3 y)}^{4}$

Étape 4.5

Multipliez $x^{4}$ par $1$ .

$x^{4} y^{0} + 4 {(x)}^{3} {(- 3 y)}^{1} + 6 {(x)}^{2} {(- 3 y)}^{2} + 4 {(x)}^{1} {(- 3 y)}^{3} + 1 {(x)}^{0} {(- 3 y)}^{4}$

Étape 4.6

Tout ce qui est élevé à la puissance $0$ est $1$ .

$x^{4} \cdot 1 + 4 {(x)}^{3} {(- 3 y)}^{1} + 6 {(x)}^{2} {(- 3 y)}^{2} + 4 {(x)}^{1} {(- 3 y)}^{3} + 1 {(x)}^{0} {(- 3 y)}^{4}$

Étape 4.7

Multipliez $x^{4}$ par $1$ .

$x^{4} + 4 {(x)}^{3} {(- 3 y)}^{1} + 6 {(x)}^{2} {(- 3 y)}^{2} + 4 {(x)}^{1} {(- 3 y)}^{3} + 1 {(x)}^{0} {(- 3 y)}^{4}$

Étape 4.8

Simplifiez

$x^{4} + 4 x^{3} (- 3 y) + 6 {(x)}^{2} {(- 3 y)}^{2} + 4 {(x)}^{1} {(- 3 y)}^{3} + 1 {(x)}^{0} {(- 3 y)}^{4}$

Étape 4.9

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$x^{4} + 4 \cdot - 3 x^{3} y + 6 {(x)}^{2} {(- 3 y)}^{2} + 4 {(x)}^{1} {(- 3 y)}^{3} + 1 {(x)}^{0} {(- 3 y)}^{4}$

Étape 4.10

Multipliez $4$ par $- 3$ .

$x^{4} - 12 x^{3} y + 6 {(x)}^{2} {(- 3 y)}^{2} + 4 {(x)}^{1} {(- 3 y)}^{3} + 1 {(x)}^{0} {(- 3 y)}^{4}$

Étape 4.11

Appliquez la règle de produit à $- 3 y$ .

$x^{4} - 12 x^{3} y + 6 x^{2} ({(- 3)}^{2} y^{2}) + 4 {(x)}^{1} {(- 3 y)}^{3} + 1 {(x)}^{0} {(- 3 y)}^{4}$

Étape 4.12

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$x^{4} - 12 x^{3} y + 6 \cdot {(- 3)}^{2} x^{2} y^{2} + 4 {(x)}^{1} {(- 3 y)}^{3} + 1 {(x)}^{0} {(- 3 y)}^{4}$

Étape 4.13

Élevez $- 3$ à la puissance $2$ .

$x^{4} - 12 x^{3} y + 6 \cdot 9 x^{2} y^{2} + 4 {(x)}^{1} {(- 3 y)}^{3} + 1 {(x)}^{0} {(- 3 y)}^{4}$

Étape 4.14

Multipliez $6$ par $9$ .

$x^{4} - 12 x^{3} y + 54 x^{2} y^{2} + 4 {(x)}^{1} {(- 3 y)}^{3} + 1 {(x)}^{0} {(- 3 y)}^{4}$

Étape 4.15

Simplifiez

$x^{4} - 12 x^{3} y + 54 x^{2} y^{2} + 4 x {(- 3 y)}^{3} + 1 {(x)}^{0} {(- 3 y)}^{4}$

Étape 4.16

Appliquez la règle de produit à $- 3 y$ .

$x^{4} - 12 x^{3} y + 54 x^{2} y^{2} + 4 x ({(- 3)}^{3} y^{3}) + 1 {(x)}^{0} {(- 3 y)}^{4}$

Étape 4.17

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$x^{4} - 12 x^{3} y + 54 x^{2} y^{2} + 4 \cdot {(- 3)}^{3} x y^{3} + 1 {(x)}^{0} {(- 3 y)}^{4}$

Étape 4.18

Élevez $- 3$ à la puissance $3$ .

$x^{4} - 12 x^{3} y + 54 x^{2} y^{2} + 4 \cdot - 27 x y^{3} + 1 {(x)}^{0} {(- 3 y)}^{4}$

Étape 4.19

Multipliez $4$ par $- 27$ .

$x^{4} - 12 x^{3} y + 54 x^{2} y^{2} - 108 x y^{3} + 1 {(x)}^{0} {(- 3 y)}^{4}$

Étape 4.20

Multipliez ${(x)}^{0}$ par $1$ .

$x^{4} - 12 x^{3} y + 54 x^{2} y^{2} - 108 x y^{3} + {(x)}^{0} {(- 3 y)}^{4}$

Étape 4.21

Tout ce qui est élevé à la puissance $0$ est $1$ .

$x^{4} - 12 x^{3} y + 54 x^{2} y^{2} - 108 x y^{3} + 1 {(- 3 y)}^{4}$

Étape 4.22

Multipliez ${(- 3 y)}^{4}$ par $1$ .

$x^{4} - 12 x^{3} y + 54 x^{2} y^{2} - 108 x y^{3} + {(- 3 y)}^{4}$

Étape 4.23

Appliquez la règle de produit à $- 3 y$ .

$x^{4} - 12 x^{3} y + 54 x^{2} y^{2} - 108 x y^{3} + {(- 3)}^{4} y^{4}$

Étape 4.24

Élevez $- 3$ à la puissance $4$ .

$x^{4} - 12 x^{3} y + 54 x^{2} y^{2} - 108 x y^{3} + 81 y^{4}$