Pré-calcul Exemples

${(4 a - b)}^{3}$

Étape 1

Le triangle de Pascal peut être affiché ainsi :

$1$

$1 - 1$

$1 - 2 - 1$

$1 - 3 - 3 - 1$

Le triangle peut être utilisé pour calculer les coefficients du développement de ${(a + b)}^{n}$ en prenant l’exposant $n$ et en ajoutant $1$ . Les coefficients correspondront à la droite $n + 1$ du triangle. Pour ${(4 a - b)}^{3}$ , $n = 3$ les coefficients du développement correspondront donc à la droite $4$ .

Étape 2

Le développement suit la règle ${(a + b)}^{n} = c_{0} a^{n} b^{0} + c_{1} a^{n - 1} b^{1} + c_{n - 1} a^{1} b^{n - 1} + c_{n} a^{0} b^{n}$ . Les valeurs des coefficients, à partir du triangle, sont $1 - 3 - 3 - 1$ .

$1 a^{3} b^{0} + 3 a^{2} b + 3 a b^{2} + 1 a^{0} b^{3}$

Étape 3

Remplacez les valeurs réelles de $a$ $4 a$ et $b$ $- b$ dans l’expression.

$1 {(4 a)}^{3} {(- b)}^{0} + 3 {(4 a)}^{2} {(- b)}^{1} + 3 {(4 a)}^{1} {(- b)}^{2} + 1 {(4 a)}^{0} {(- b)}^{3}$

Étape 4

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.1

Multipliez ${(4 a)}^{3}$ par $1$ .

${(4 a)}^{3} {(- b)}^{0} + 3 {(4 a)}^{2} {(- b)}^{1} + 3 {(4 a)}^{1} {(- b)}^{2} + 1 {(4 a)}^{0} {(- b)}^{3}$

Étape 4.2

Appliquez la règle de produit à $4 a$ .

$4^{3} a^{3} {(- b)}^{0} + 3 {(4 a)}^{2} {(- b)}^{1} + 3 {(4 a)}^{1} {(- b)}^{2} + 1 {(4 a)}^{0} {(- b)}^{3}$

Étape 4.3

Élevez $4$ à la puissance $3$ .

$64 a^{3} {(- b)}^{0} + 3 {(4 a)}^{2} {(- b)}^{1} + 3 {(4 a)}^{1} {(- b)}^{2} + 1 {(4 a)}^{0} {(- b)}^{3}$

Étape 4.4

Appliquez la règle de produit à $- b$ .

$64 a^{3} ({(- 1)}^{0} b^{0}) + 3 {(4 a)}^{2} {(- b)}^{1} + 3 {(4 a)}^{1} {(- b)}^{2} + 1 {(4 a)}^{0} {(- b)}^{3}$

Étape 4.5

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$64 \cdot {(- 1)}^{0} a^{3} b^{0} + 3 {(4 a)}^{2} {(- b)}^{1} + 3 {(4 a)}^{1} {(- b)}^{2} + 1 {(4 a)}^{0} {(- b)}^{3}$

Étape 4.6

Tout ce qui est élevé à la puissance $0$ est $1$ .

$64 \cdot 1 a^{3} b^{0} + 3 {(4 a)}^{2} {(- b)}^{1} + 3 {(4 a)}^{1} {(- b)}^{2} + 1 {(4 a)}^{0} {(- b)}^{3}$

Étape 4.7

Multipliez $64$ par $1$ .

$64 a^{3} b^{0} + 3 {(4 a)}^{2} {(- b)}^{1} + 3 {(4 a)}^{1} {(- b)}^{2} + 1 {(4 a)}^{0} {(- b)}^{3}$

Étape 4.8

Tout ce qui est élevé à la puissance $0$ est $1$ .

$64 a^{3} \cdot 1 + 3 {(4 a)}^{2} {(- b)}^{1} + 3 {(4 a)}^{1} {(- b)}^{2} + 1 {(4 a)}^{0} {(- b)}^{3}$

Étape 4.9

Multipliez $64$ par $1$ .

$64 a^{3} + 3 {(4 a)}^{2} {(- b)}^{1} + 3 {(4 a)}^{1} {(- b)}^{2} + 1 {(4 a)}^{0} {(- b)}^{3}$

Étape 4.10

Appliquez la règle de produit à $4 a$ .

$64 a^{3} + 3 (4^{2} a^{2}) {(- b)}^{1} + 3 {(4 a)}^{1} {(- b)}^{2} + 1 {(4 a)}^{0} {(- b)}^{3}$

Étape 4.11

Élevez $4$ à la puissance $2$ .

$64 a^{3} + 3 (16 a^{2}) {(- b)}^{1} + 3 {(4 a)}^{1} {(- b)}^{2} + 1 {(4 a)}^{0} {(- b)}^{3}$

Étape 4.12

Multipliez $16$ par $3$ .

$64 a^{3} + 48 a^{2} {(- b)}^{1} + 3 {(4 a)}^{1} {(- b)}^{2} + 1 {(4 a)}^{0} {(- b)}^{3}$

Étape 4.13

Simplifiez

$64 a^{3} + 48 a^{2} (- b) + 3 {(4 a)}^{1} {(- b)}^{2} + 1 {(4 a)}^{0} {(- b)}^{3}$

Étape 4.14

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$64 a^{3} + 48 \cdot - 1 a^{2} b + 3 {(4 a)}^{1} {(- b)}^{2} + 1 {(4 a)}^{0} {(- b)}^{3}$

Étape 4.15

Multipliez $48$ par $- 1$ .

$64 a^{3} - 48 a^{2} b + 3 {(4 a)}^{1} {(- b)}^{2} + 1 {(4 a)}^{0} {(- b)}^{3}$

Étape 4.16

Simplifiez

$64 a^{3} - 48 a^{2} b + 3 (4 a) {(- b)}^{2} + 1 {(4 a)}^{0} {(- b)}^{3}$

Étape 4.17

Multipliez $4$ par $3$ .

$64 a^{3} - 48 a^{2} b + 12 a {(- b)}^{2} + 1 {(4 a)}^{0} {(- b)}^{3}$

Étape 4.18

Appliquez la règle de produit à $- b$ .

$64 a^{3} - 48 a^{2} b + 12 a ({(- 1)}^{2} b^{2}) + 1 {(4 a)}^{0} {(- b)}^{3}$

Étape 4.19

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$64 a^{3} - 48 a^{2} b + 12 \cdot {(- 1)}^{2} a b^{2} + 1 {(4 a)}^{0} {(- b)}^{3}$

Étape 4.20

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$64 a^{3} - 48 a^{2} b + 12 \cdot 1 a b^{2} + 1 {(4 a)}^{0} {(- b)}^{3}$

Étape 4.21

Multipliez $12$ par $1$ .

$64 a^{3} - 48 a^{2} b + 12 a b^{2} + 1 {(4 a)}^{0} {(- b)}^{3}$

Étape 4.22

Multipliez ${(4 a)}^{0}$ par $1$ .

$64 a^{3} - 48 a^{2} b + 12 a b^{2} + {(4 a)}^{0} {(- b)}^{3}$

Étape 4.23

Appliquez la règle de produit à $4 a$ .

$64 a^{3} - 48 a^{2} b + 12 a b^{2} + 4^{0} a^{0} {(- b)}^{3}$

Étape 4.24

Tout ce qui est élevé à la puissance $0$ est $1$ .

$64 a^{3} - 48 a^{2} b + 12 a b^{2} + 1 a^{0} {(- b)}^{3}$

Étape 4.25

Multipliez $a^{0}$ par $1$ .

$64 a^{3} - 48 a^{2} b + 12 a b^{2} + a^{0} {(- b)}^{3}$

Étape 4.26

Tout ce qui est élevé à la puissance $0$ est $1$ .

$64 a^{3} - 48 a^{2} b + 12 a b^{2} + 1 {(- b)}^{3}$

Étape 4.27

Multipliez ${(- b)}^{3}$ par $1$ .

$64 a^{3} - 48 a^{2} b + 12 a b^{2} + {(- b)}^{3}$

Étape 4.28

Appliquez la règle de produit à $- b$ .

$64 a^{3} - 48 a^{2} b + 12 a b^{2} + {(- 1)}^{3} b^{3}$

Étape 4.29

Élevez $- 1$ à la puissance $3$ .

$64 a^{3} - 48 a^{2} b + 12 a b^{2} - b^{3}$