Pré-calcul Exemples

$3 y^{2} - x - 2 y + 1 = 0$

Étape 1

Déplacez tous les termes ne contenant pas $y$ du côté droit de l’équation.

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Étape 1.1

Ajoutez $x$ aux deux côtés de l’équation.

$3 y^{2} - 2 y + 1 = x$

Étape 1.2

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$3 y^{2} - 2 y = x - 1$

Étape 2

Complétez le carré.

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Étape 2.1

Utilisez la forme $a x^{2} + b x + c$ pour déterminer les valeurs de $a$ , $b$ et $c$ .

$a = 3$

$b = - 2$

$c = 0 = x - 1$

Étape 2.2

Étudiez la forme du sommet d’une parabole.

$a {(x + d)}^{2} + e = x - 1$

Étape 2.3

Déterminez la valeur de $d$ en utilisant la formule $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Étape 2.3.1

Remplacez les valeurs de $a$ et $b$ dans la formule $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{- 2}{2 \cdot 3}$

Étape 2.3.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.3.2.1

Annulez le facteur commun à $- 2$ et $2$ .

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Étape 2.3.2.1.1

Factorisez $2$ à partir de $- 2$ .

$d = \frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 3}$

Étape 2.3.2.1.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 2.3.2.1.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2 \cdot 3$ .

$d = \frac{2 \cdot - 1}{2 (3)}$

Étape 2.3.2.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$d = \frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 3}$

Étape 2.3.2.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$d = \frac{- 1}{3}$

Étape 2.3.2.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$d = - \frac{1}{3}$

Étape 2.4

Déterminez la valeur de $e$ en utilisant la formule $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Étape 2.4.1

Remplacez les valeurs de $c$ , $b$ et $a$ dans la formule $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{{(- 2)}^{2}}{4 \cdot 3}$

Étape 2.4.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.4.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.4.2.1.1

Élevez $- 2$ à la puissance $2$ .

$e = 0 - \frac{4}{4 \cdot 3}$

Étape 2.4.2.1.2

Multipliez $4$ par $3$ .

$e = 0 - \frac{4}{12}$

Étape 2.4.2.1.3

Annulez le facteur commun à $4$ et $12$ .

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Étape 2.4.2.1.3.1

Factorisez $4$ à partir de $4$ .

$e = 0 - \frac{4 (1)}{12}$

Étape 2.4.2.1.3.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 2.4.2.1.3.2.1

Factorisez $4$ à partir de $12$ .

$e = 0 - \frac{4 \cdot 1}{4 \cdot 3}$

Étape 2.4.2.1.3.2.2

Annulez le facteur commun.

$e = 0 - \frac{4 \cdot 1}{4 \cdot 3}$

Étape 2.4.2.1.3.2.3

Réécrivez l’expression.

$e = 0 - \frac{1}{3}$

Étape 2.4.2.2

Soustrayez $\frac{1}{3}$ de $0$ .

$e = - \frac{1}{3}$

Étape 2.5

Remplacez les valeurs de $a$ , $d$ et $e$ dans la forme du sommet $3 {(y - \frac{1}{3})}^{2} - \frac{1}{3}$ .

$3 {(y - \frac{1}{3})}^{2} - \frac{1}{3} = x - 1$

Étape 3

Déplacez tous les termes ne contenant pas $y$ du côté droit de l’équation.

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Étape 3.1

Ajoutez $\frac{1}{3}$ aux deux côtés de l’équation.

$3 {(y - \frac{1}{3})}^{2} = x - 1 + \frac{1}{3}$

Étape 3.2

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$3 {(y - \frac{1}{3})}^{2} = x - 1 \cdot \frac{3}{3} + \frac{1}{3}$

Étape 3.3

Associez $- 1$ et $\frac{3}{3}$ .

$3 {(y - \frac{1}{3})}^{2} = x + \frac{- 1 \cdot 3}{3} + \frac{1}{3}$

Étape 3.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$3 {(y - \frac{1}{3})}^{2} = x + \frac{- 1 \cdot 3 + 1}{3}$

Étape 3.5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.5.1

Multipliez $- 1$ par $3$ .

$3 {(y - \frac{1}{3})}^{2} = x + \frac{- 3 + 1}{3}$

Étape 3.5.2

Additionnez $- 3$ et $1$ .

$3 {(y - \frac{1}{3})}^{2} = x + \frac{- 2}{3}$

Étape 3.6

Placez le signe moins devant la fraction.

$3 {(y - \frac{1}{3})}^{2} = x - \frac{2}{3}$

Étape 4

Divisez chaque terme dans $3 {(y - \frac{1}{3})}^{2} = x - \frac{2}{3}$ par $3$ et simplifiez.

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Étape 4.1

Divisez chaque terme dans $3 {(y - \frac{1}{3})}^{2} = x - \frac{2}{3}$ par $3$ .

$\frac{3 {(y - \frac{1}{3})}^{2}}{3} = \frac{x}{3} + \frac{- \frac{2}{3}}{3}$

Étape 4.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 4.2.1

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 4.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{3 {(y - \frac{1}{3})}^{2}}{3} = \frac{x}{3} + \frac{- \frac{2}{3}}{3}$

Étape 4.2.1.2

Divisez ${(y - \frac{1}{3})}^{2}$ par $1$ .

${(y - \frac{1}{3})}^{2} = \frac{x}{3} + \frac{- \frac{2}{3}}{3}$

Étape 4.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 4.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.3.1.1

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

${(y - \frac{1}{3})}^{2} = \frac{x}{3} - \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{3}$

Étape 4.3.1.2

Multipliez $- \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{3}$ .

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Étape 4.3.1.2.1

Multipliez $\frac{1}{3}$ par $\frac{2}{3}$ .

${(y - \frac{1}{3})}^{2} = \frac{x}{3} - \frac{2}{3 \cdot 3}$

Étape 4.3.1.2.2

Multipliez $3$ par $3$ .

${(y - \frac{1}{3})}^{2} = \frac{x}{3} - \frac{2}{9}$

Étape 5

Factorisez.

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Étape 5.1

Pour écrire $\frac{x}{3}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

${(y - \frac{1}{3})}^{2} = \frac{x}{3} \cdot \frac{3}{3} - \frac{2}{9}$

Étape 5.2

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $9$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 5.2.1

Multipliez $\frac{x}{3}$ par $\frac{3}{3}$ .

${(y - \frac{1}{3})}^{2} = \frac{x \cdot 3}{3 \cdot 3} - \frac{2}{9}$

Étape 5.2.2

Multipliez $3$ par $3$ .

${(y - \frac{1}{3})}^{2} = \frac{x \cdot 3}{9} - \frac{2}{9}$

Étape 5.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

${(y - \frac{1}{3})}^{2} = \frac{x \cdot 3 - 2}{9}$

Étape 5.4

Déplacez $3$ à gauche de $x$ .

${(y - \frac{1}{3})}^{2} = \frac{3 x - 2}{9}$

Étape 5.5

Remettez les termes dans l’ordre.

${(y - \frac{1}{3})}^{2} = \frac{1}{9} (3 x - 2)$