Pré-calcul Exemples

$f (x) = - x^{2} - 4 x - 1$

Étape 1

Écrivez $f (x) = - x^{2} - 4 x - 1$ comme une équation.

$y = - x^{2} - 4 x - 1$

Étape 2

Comme $x$ est du côté droit de l’équation, inversez les côtés afin de le placer du côté gauche de l’équation.

$- x^{2} - 4 x - 1 = y$

Étape 3

Ajoutez $1$ aux deux côtés de l’équation.

$- x^{2} - 4 x = y + 1$

Étape 4

Complétez le carré.

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Étape 4.1

Utilisez la forme $a x^{2} + b x + c$ pour déterminer les valeurs de $a$ , $b$ et $c$ .

$a = - 1$

$b = - 4$

$c = 0 = y + 1$

Étape 4.2

Étudiez la forme du sommet d’une parabole.

$a {(x + d)}^{2} + e = y + 1$

Étape 4.3

Déterminez la valeur de $d$ en utilisant la formule $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Étape 4.3.1

Remplacez les valeurs de $a$ et $b$ dans la formule $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{- 4}{2 \cdot - 1}$

Étape 4.3.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 4.3.2.1

Annulez le facteur commun à $- 4$ et $2$ .

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Étape 4.3.2.1.1

Factorisez $2$ à partir de $- 4$ .

$d = \frac{2 \cdot - 2}{2 \cdot - 1}$

Étape 4.3.2.1.2

Déplacez le moins un du dénominateur de $\frac{- 2}{- 1}$ .

$d = - 1 \cdot - 2$

Étape 4.3.2.2

Réécrivez $- 1 \cdot - 2$ comme $- - 2$ .

$d = - - 2$

Étape 4.3.2.3

Multipliez $- 1$ par $- 2$ .

$d = 2$

Étape 4.4

Déterminez la valeur de $e$ en utilisant la formule $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Étape 4.4.1

Remplacez les valeurs de $c$ , $b$ et $a$ dans la formule $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{{(- 4)}^{2}}{4 \cdot - 1}$

Étape 4.4.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 4.4.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.4.2.1.1

Annulez le facteur commun à ${(- 4)}^{2}$ et $4$ .

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Étape 4.4.2.1.1.1

Réécrivez $- 4$ comme $- 1 (4)$ .

$e = 0 - \frac{{(- 1 (4))}^{2}}{4 \cdot - 1}$

Étape 4.4.2.1.1.2

Appliquez la règle de produit à $- 1 (4)$ .

$e = 0 - \frac{{(- 1)}^{2} \cdot 4^{2}}{4 \cdot - 1}$

Étape 4.4.2.1.1.3

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$e = 0 - \frac{1 \cdot 4^{2}}{4 \cdot - 1}$

Étape 4.4.2.1.1.4

Multipliez $4^{2}$ par $1$ .

$e = 0 - \frac{4^{2}}{4 \cdot - 1}$

Étape 4.4.2.1.1.5

Factorisez $4$ à partir de $4^{2}$ .

$e = 0 - \frac{4 \cdot 4}{4 \cdot - 1}$

Étape 4.4.2.1.1.6

Déplacez le moins un du dénominateur de $\frac{4}{- 1}$ .

$e = 0 - (- 1 \cdot 4)$

Étape 4.4.2.1.2

Multipliez $- (- 1 \cdot 4)$ .

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Étape 4.4.2.1.2.1

Multipliez $- 1$ par $4$ .

$e = 0 - - 4$

Étape 4.4.2.1.2.2

Multipliez $- 1$ par $- 4$ .

$e = 0 + 4$

Étape 4.4.2.2

Additionnez $0$ et $4$ .

$e = 4$

Étape 4.5

Remplacez les valeurs de $a$ , $d$ et $e$ dans la forme du sommet $- {(x + 2)}^{2} + 4$ .

$- {(x + 2)}^{2} + 4 = y + 1$

Étape 5

Déplacez tous les termes ne contenant pas $x$ du côté droit de l’équation.

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Étape 5.1

Soustrayez $4$ des deux côtés de l’équation.

$- {(x + 2)}^{2} = y + 1 - 4$

Étape 5.2

Soustrayez $4$ de $1$ .

$- {(x + 2)}^{2} = y - 3$

Étape 6

Divisez chaque terme dans $- {(x + 2)}^{2} = y - 3$ par $- 1$ et simplifiez.

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Étape 6.1

Divisez chaque terme dans $- {(x + 2)}^{2} = y - 3$ par $- 1$ .

$\frac{- {(x + 2)}^{2}}{- 1} = \frac{y}{- 1} + \frac{- 3}{- 1}$

Étape 6.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 6.2.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$\frac{{(x + 2)}^{2}}{1} = \frac{y}{- 1} + \frac{- 3}{- 1}$

Étape 6.2.2

Divisez ${(x + 2)}^{2}$ par $1$ .

${(x + 2)}^{2} = \frac{y}{- 1} + \frac{- 3}{- 1}$

Étape 6.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 6.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 6.3.1.1

Déplacez le moins un du dénominateur de $\frac{y}{- 1}$ .

${(x + 2)}^{2} = - 1 \cdot y + \frac{- 3}{- 1}$

Étape 6.3.1.2

Réécrivez $- 1 \cdot y$ comme $- y$ .

${(x + 2)}^{2} = - y + \frac{- 3}{- 1}$

Étape 6.3.1.3

Divisez $- 3$ par $- 1$ .

${(x + 2)}^{2} = - y + 3$

Étape 7

Factorisez.

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Étape 7.1

Factorisez $- 1$ à partir de $- y$ .

${(x + 2)}^{2} = - (y) + 3$

Étape 7.2

Réécrivez $3$ comme $- 1 (- 3)$ .

${(x + 2)}^{2} = - (y) - 1 (- 3)$

Étape 7.3

Factorisez $- 1$ à partir de $- (y) - 1 (- 3)$ .

${(x + 2)}^{2} = - (y - 3)$