Pré-calcul Exemples

$y = \log (x^{3} - 36 x)$

Étape 1

Définissez l’argument dans $\log (x^{3} - 36 x)$ supérieur à $0$ pour déterminer où l’expression est définie.

$x^{3} - 36 x > 0$

Étape 2

Résolvez $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1

Convertissez l’inégalité en une équation.

$x^{3} - 36 x = 0$

Étape 2.2

Factorisez le côté gauche de l’équation.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.2.1

Factorisez $x$ à partir de $x^{3} - 36 x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.2.1.1

Factorisez $x$ à partir de $x^{3}$ .

$x \cdot x^{2} - 36 x = 0$

Étape 2.2.1.2

Factorisez $x$ à partir de $- 36 x$ .

$x \cdot x^{2} + x \cdot - 36 = 0$

Étape 2.2.1.3

Factorisez $x$ à partir de $x \cdot x^{2} + x \cdot - 36$ .

$x (x^{2} - 36) = 0$

Étape 2.2.2

Réécrivez $36$ comme $6^{2}$ .

$x (x^{2} - 6^{2}) = 0$

Étape 2.2.3

Factorisez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.2.3.1

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = x$ et $b = 6$ .

$x ((x + 6) (x - 6)) = 0$

Étape 2.2.3.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$x (x + 6) (x - 6) = 0$

Étape 2.3

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x = 0$

$x + 6 = 0$

$x - 6 = 0$

Étape 2.4

Définissez $x$ égal à $0$ .

$x = 0$

Étape 2.5

Définissez $x + 6$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.5.1

Définissez $x + 6$ égal à $0$ .

$x + 6 = 0$

Étape 2.5.2

Soustrayez $6$ des deux côtés de l’équation.

$x = - 6$

Étape 2.6

Définissez $x - 6$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.6.1

Définissez $x - 6$ égal à $0$ .

$x - 6 = 0$

Étape 2.6.2

Ajoutez $6$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 6$

Étape 2.7

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $x (x + 6) (x - 6) = 0$ vraie.

$x = 0, - 6, 6$

Étape 2.8

Utilisez chaque racine pour créer des intervalles de test.

$x < - 6$

$- 6 < x < 0$

$0 < x < 6$

$x > 6$

Étape 2.9

Choisissez une valeur de test depuis chaque intervalle et placez cette valeur dans l’inégalité d’origine afin de déterminer quels intervalles satisfont à l’inégalité.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.9.1

Testez une valeur sur l’intervalle $x < - 6$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.9.1.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $x < - 6$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = - 8$

Étape 2.9.1.2

Remplacez $x$ par $- 8$ dans l’inégalité d’origine.

${(- 8)}^{3} - 36 \cdot - 8 > 0$

Étape 2.9.1.3

Le côté gauche $- 224$ n’est pas supérieur au côté droit $0$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est faux.

Faux

Étape 2.9.2

Testez une valeur sur l’intervalle $- 6 < x < 0$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.9.2.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $- 6 < x < 0$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = - 3$

Étape 2.9.2.2

Remplacez $x$ par $- 3$ dans l’inégalité d’origine.

${(- 3)}^{3} - 36 \cdot - 3 > 0$

Étape 2.9.2.3

Le côté gauche $81$ est supérieur au côté droit $0$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est toujours vrai.

Vrai

Étape 2.9.3

Testez une valeur sur l’intervalle $0 < x < 6$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.9.3.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $0 < x < 6$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 3$

Étape 2.9.3.2

Remplacez $x$ par $3$ dans l’inégalité d’origine.

${(3)}^{3} - 36 \cdot 3 > 0$

Étape 2.9.3.3

Le côté gauche $- 81$ n’est pas supérieur au côté droit $0$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est faux.

Faux

Étape 2.9.4

Testez une valeur sur l’intervalle $x > 6$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.9.4.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $x > 6$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 8$

Étape 2.9.4.2

Remplacez $x$ par $8$ dans l’inégalité d’origine.

${(8)}^{3} - 36 \cdot 8 > 0$

Étape 2.9.4.3

Le côté gauche $224$ est supérieur au côté droit $0$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est toujours vrai.

Vrai

Étape 2.9.5

Comparez les intervalles afin de déterminer lesquels satisfont à l’inégalité d’origine.

$x < - 6$ Faux

$- 6 < x < 0$ Vrai

$0 < x < 6$ Faux

$x > 6$ Vrai

$x < - 6$ Faux

$- 6 < x < 0$ Vrai

$0 < x < 6$ Faux

$x > 6$ Vrai

Étape 2.10

La solution se compose de tous les intervalles vrais.

$- 6 < x < 0$ ou $x > 6$

Étape 3

Le domaine est l’ensemble des valeurs de $x$ qui rendent l’expression définie.

Notation d’intervalle :

$(- 6, 0) \cup (6, \infty)$

Notation de constructeur d’ensemble :

${x | - 6 < x < 0, x > 6}$

Étape 4