Pré-calcul Exemples

$f (x) = \frac{1 + x}{e^{\cos (x)}}$

Étape 1

Différenciez en utilisant la règle du quotient qui indique que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ est $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ où $f (x) = 1 + x$ et $g (x) = e^{\cos (x)}$ .

$\frac{e^{\cos (x)} \frac{d}{d x} [1 + x] - (1 + x) \frac{d}{d x} [e^{\cos (x)}]}{{(e^{\cos (x)})}^{2}}$

Étape 2

Différenciez.

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Étape 2.1

Multipliez les exposants dans ${(e^{\cos (x)})}^{2}$ .

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Étape 2.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{e^{\cos (x)} \frac{d}{d x} [1 + x] - (1 + x) \frac{d}{d x} [e^{\cos (x)}]}{e^{\cos (x) \cdot 2}}$

Étape 2.1.2

Déplacez $2$ à gauche de $\cos (x)$ .

$\frac{e^{\cos (x)} \frac{d}{d x} [1 + x] - (1 + x) \frac{d}{d x} [e^{\cos (x)}]}{e^{2 \cos (x)}}$

Étape 2.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $1 + x$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{e^{\cos (x)} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x]) - (1 + x) \frac{d}{d x} [e^{\cos (x)}]}{e^{2 \cos (x)}}$

Étape 2.3

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{e^{\cos (x)} (0 + \frac{d}{d x} [x]) - (1 + x) \frac{d}{d x} [e^{\cos (x)}]}{e^{2 \cos (x)}}$

Étape 2.4

Additionnez $0$ et $\frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{e^{\cos (x)} \frac{d}{d x} [x] - (1 + x) \frac{d}{d x} [e^{\cos (x)}]}{e^{2 \cos (x)}}$

Étape 2.5

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{e^{\cos (x)} \cdot 1 - (1 + x) \frac{d}{d x} [e^{\cos (x)}]}{e^{2 \cos (x)}}$

Étape 2.6

Multipliez $e^{\cos (x)}$ par $1$ .

$\frac{e^{\cos (x)} - (1 + x) \frac{d}{d x} [e^{\cos (x)}]}{e^{2 \cos (x)}}$

Étape 3

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = e^{x}$ et $g (x) = \cos (x)$ .

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Étape 3.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $\cos (x)$ .

$\frac{e^{\cos (x)} - (1 + x) (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [\cos (x)])}{e^{2 \cos (x)}}$

Étape 3.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ est $a^{u} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$\frac{e^{\cos (x)} - (1 + x) (e^{u} \frac{d}{d x} [\cos (x)])}{e^{2 \cos (x)}}$

Étape 3.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $\cos (x)$ .

$\frac{e^{\cos (x)} - (1 + x) (e^{\cos (x)} \frac{d}{d x} [\cos (x)])}{e^{2 \cos (x)}}$

Étape 4

La dérivée de $\cos (x)$ par rapport à $x$ est $- \sin (x)$ .

$\frac{e^{\cos (x)} - (1 + x) (e^{\cos (x)} (- \sin (x)))}{e^{2 \cos (x)}}$

Étape 5

Multipliez.

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Étape 5.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$\frac{e^{\cos (x)} + 1 (1 + x) (e^{\cos (x)} (\sin (x)))}{e^{2 \cos (x)}}$

Étape 5.2

Multipliez $1 + x$ par $1$ .

$\frac{e^{\cos (x)} + (1 + x) (e^{\cos (x)} (\sin (x)))}{e^{2 \cos (x)}}$

Étape 6

Simplifiez

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Étape 6.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{e^{\cos (x)} + (1 e^{\cos (x)} + x e^{\cos (x)}) \sin (x)}{e^{2 \cos (x)}}$

Étape 6.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{e^{\cos (x)} + 1 e^{\cos (x)} \sin (x) + x e^{\cos (x)} \sin (x)}{e^{2 \cos (x)}}$

Étape 6.3

Multipliez $e^{\cos (x)}$ par $1$ .

$\frac{e^{\cos (x)} + e^{\cos (x)} \sin (x) + x e^{\cos (x)} \sin (x)}{e^{2 \cos (x)}}$

Étape 6.4

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{e^{\cos (x)} \sin (x) + e^{\cos (x)} x \sin (x) + e^{\cos (x)}}{e^{2 \cos (x)}}$