Pré-calcul Exemples

$f (x) = {(2 x^{3} + 3)}^{4}$

Étape 1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{4}$ et $g (x) = 2 x^{3} + 3$ .

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Étape 1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $2 x^{3} + 3$ .

$\frac{d}{d u} [u^{4}] \frac{d}{d x} [2 x^{3} + 3]$

Étape 1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = 4$ .

$4 u^{3} \frac{d}{d x} [2 x^{3} + 3]$

Étape 1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $2 x^{3} + 3$ .

$4 {(2 x^{3} + 3)}^{3} \frac{d}{d x} [2 x^{3} + 3]$

Étape 2

Différenciez.

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Étape 2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $2 x^{3} + 3$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$4 {(2 x^{3} + 3)}^{3} (\frac{d}{d x} [2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [3])$

Étape 2.2

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x^{3}$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$4 {(2 x^{3} + 3)}^{3} (2 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [3])$

Étape 2.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$4 {(2 x^{3} + 3)}^{3} (2 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [3])$

Étape 2.4

Multipliez $3$ par $2$ .

$4 {(2 x^{3} + 3)}^{3} (6 x^{2} + \frac{d}{d x} [3])$

Étape 2.5

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3$ par rapport à $x$ est $0$ .

$4 {(2 x^{3} + 3)}^{3} (6 x^{2} + 0)$

Étape 2.6

Simplifiez l’expression.

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Étape 2.6.1

Additionnez $6 x^{2}$ et $0$ .

$4 {(2 x^{3} + 3)}^{3} (6 x^{2})$

Étape 2.6.2

Multipliez $6$ par $4$ .

$24 {(2 x^{3} + 3)}^{3} x^{2}$

Étape 2.6.3

Réorganisez les facteurs de $24 {(2 x^{3} + 3)}^{3} x^{2}$ .

$24 x^{2} {(2 x^{3} + 3)}^{3}$