Pré-calcul Exemples

$f (x) = x^{5} + 7 x^{4} + 2 x^{3} + 14 x^{2} + x + 7$

Étape 1

Si une fonction polynomiale a des coefficients entiers, chaque zéro rationnel aura la forme $\frac{p}{q}$ où $p$ est un facteur de la constante et $q$ est un facteur du coefficient directeur.

$p = \pm 1, \pm 7$

$q = \pm 1$

Étape 2

Déterminez chaque combinaison de $\pm \frac{p}{q}$ . Il s’agit des racines possibles de la fonction polynomiale.

$\pm 1, \pm 7$

Étape 3

Remplacez les racines possibles une par une dans le polynôme afin de déterminer les racines réelles. Simplifiez pour vérifier que la valeur est $0$ , ce qui signifie que c’est une racine.

${(- 7)}^{5} + 7 {(- 7)}^{4} + 2 {(- 7)}^{3} + 14 {(- 7)}^{2} - 7 + 7$

Étape 4

Simplifiez l’expression. Dans ce cas, l’expression est égale à $0$ donc $x = - 7$ est une racine du polynôme.

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Étape 4.1

Supprimez les parenthèses.

${(- 7)}^{5} + 7 {(- 7)}^{4} + 2 {(- 7)}^{3} + 14 {(- 7)}^{2} - 7 + 7$

Étape 4.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.2.1

Élevez $- 7$ à la puissance $5$ .

$- 16807 + 7 {(- 7)}^{4} + 2 {(- 7)}^{3} + 14 {(- 7)}^{2} - 7 + 7$

Étape 4.2.2

Élevez $- 7$ à la puissance $4$ .

$- 16807 + 7 \cdot 2401 + 2 {(- 7)}^{3} + 14 {(- 7)}^{2} - 7 + 7$

Étape 4.2.3

Multipliez $7$ par $2401$ .

$- 16807 + 16807 + 2 {(- 7)}^{3} + 14 {(- 7)}^{2} - 7 + 7$

Étape 4.2.4

Élevez $- 7$ à la puissance $3$ .

$- 16807 + 16807 + 2 \cdot - 343 + 14 {(- 7)}^{2} - 7 + 7$

Étape 4.2.5

Multipliez $2$ par $- 343$ .

$- 16807 + 16807 - 686 + 14 {(- 7)}^{2} - 7 + 7$

Étape 4.2.6

Élevez $- 7$ à la puissance $2$ .

$- 16807 + 16807 - 686 + 14 \cdot 49 - 7 + 7$

Étape 4.2.7

Multipliez $14$ par $49$ .

$- 16807 + 16807 - 686 + 686 - 7 + 7$

Étape 4.3

Simplifiez en ajoutant et en soustrayant.

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Étape 4.3.1

Additionnez $- 16807$ et $16807$ .

$0 - 686 + 686 - 7 + 7$

Étape 4.3.2

Soustrayez $686$ de $0$ .

$- 686 + 686 - 7 + 7$

Étape 4.3.3

Additionnez $- 686$ et $686$ .

$0 - 7 + 7$

Étape 4.3.4

Soustrayez $7$ de $0$ .

$- 7 + 7$

Étape 4.3.5

Additionnez $- 7$ et $7$ .

$0$

Étape 5

Comme $- 7$ est une racine connue, divisez le polynôme par $x + 7$ pour déterminer le polynôme quotient. Ce polynôme peut alors être utilisé pour déterminer les racines restantes.

$\frac{x^{5} + 7 x^{4} + 2 x^{3} + 14 x^{2} + x + 7}{x + 7}$

Étape 6

Ensuite, déterminez les racines du polynôme restant. Le degré du polynôme a été réduit de $1$ .

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Étape 6.1

Placez les nombres qui représentent le diviseur et le dividende dans une configuration de type division.

$- 7$	$1$	$7$	$2$	$14$	$1$	$7$

Étape 6.2

Le premier nombre dans le dividende $(1)$ est placé à la première position de la zone de résultat (sous la droite horizontale).

$- 7$	$1$	$7$	$2$	$14$	$1$	$7$

	$1$

Étape 6.3

Multipliez l’entrée la plus récente dans le résultat $(1)$ par le diviseur $(- 7)$ et placez le résultat de $(- 7)$ sous le terme suivant dans le dividende $(7)$ .

$- 7$	$1$	$7$	$2$	$14$	$1$	$7$
		$- 7$
	$1$

Étape 6.4

Ajoutez le produit de la multiplication et le nombre du dividende et placez le résultat à la position suivante sur la ligne de résultat.

$- 7$	$1$	$7$	$2$	$14$	$1$	$7$
		$- 7$
	$1$	$0$

Étape 6.5

Multipliez l’entrée la plus récente dans le résultat $(0)$ par le diviseur $(- 7)$ et placez le résultat de $(0)$ sous le terme suivant dans le dividende $(2)$ .

$- 7$	$1$	$7$	$2$	$14$	$1$	$7$
		$- 7$	$0$
	$1$	$0$

Étape 6.6

Ajoutez le produit de la multiplication et le nombre du dividende et placez le résultat à la position suivante sur la ligne de résultat.

$- 7$	$1$	$7$	$2$	$14$	$1$	$7$
		$- 7$	$0$
	$1$	$0$	$2$

Étape 6.7

Multipliez l’entrée la plus récente dans le résultat $(2)$ par le diviseur $(- 7)$ et placez le résultat de $(- 14)$ sous le terme suivant dans le dividende $(14)$ .

$- 7$	$1$	$7$	$2$	$14$	$1$	$7$
		$- 7$	$0$	$- 14$
	$1$	$0$	$2$

Étape 6.8

Ajoutez le produit de la multiplication et le nombre du dividende et placez le résultat à la position suivante sur la ligne de résultat.

$- 7$	$1$	$7$	$2$	$14$	$1$	$7$
		$- 7$	$0$	$- 14$
	$1$	$0$	$2$	$0$

Étape 6.9

Multipliez l’entrée la plus récente dans le résultat $(0)$ par le diviseur $(- 7)$ et placez le résultat de $(0)$ sous le terme suivant dans le dividende $(1)$ .

$- 7$	$1$	$7$	$2$	$14$	$1$	$7$
		$- 7$	$0$	$- 14$	$0$
	$1$	$0$	$2$	$0$

Étape 6.10

Ajoutez le produit de la multiplication et le nombre du dividende et placez le résultat à la position suivante sur la ligne de résultat.

$- 7$	$1$	$7$	$2$	$14$	$1$	$7$
		$- 7$	$0$	$- 14$	$0$
	$1$	$0$	$2$	$0$	$1$

Étape 6.11

Multipliez l’entrée la plus récente dans le résultat $(1)$ par le diviseur $(- 7)$ et placez le résultat de $(- 7)$ sous le terme suivant dans le dividende $(7)$ .

$- 7$	$1$	$7$	$2$	$14$	$1$	$7$
		$- 7$	$0$	$- 14$	$0$	$- 7$
	$1$	$0$	$2$	$0$	$1$

Étape 6.12

Ajoutez le produit de la multiplication et le nombre du dividende et placez le résultat à la position suivante sur la ligne de résultat.

$- 7$	$1$	$7$	$2$	$14$	$1$	$7$
		$- 7$	$0$	$- 14$	$0$	$- 7$
	$1$	$0$	$2$	$0$	$1$	$0$

Étape 6.13

Tous les nombres à l’exception du dernier deviennent les coefficients du polynôme quotient. La dernière valeur sur la ligne de résultat est le reste.

$1 x^{4} + 0 x^{3} + 2 x^{2} + 0 x + 1$

Étape 6.14

Simplifiez le polynôme quotient.

$x^{4} + 2 x^{2} + 1$

Étape 7

Réécrivez $x^{4}$ comme ${(x^{2})}^{2}$ .

$(x + 7) {(x^{2})}^{2} + 2 x^{2} + 1$

Étape 8

Laissez $u = x^{2}$ . Remplacez toutes les occurrences de $x^{2}$ par $u$ .

$(x + 7) u^{2} + 2 u + 1$

Étape 9

Factorisez en utilisant la règle du carré parfait.

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Étape 9.1

Réécrivez $1$ comme $1^{2}$ .

$(x + 7) + u^{2} + 2 u + 1^{2}$

Étape 9.2

Vérifiez que le terme central est le double du produit des nombres élevés au carré dans le premier terme et le troisième terme.

$2 u = 2 \cdot u \cdot 1$

Étape 9.3

Réécrivez le polynôme.

$(x + 7) + u^{2} + 2 \cdot u \cdot 1 + 1^{2}$

Étape 9.4

Factorisez en utilisant la règle trinomiale du carré parfait $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ , où $a = u$ et $b = 1$ .

$(x + 7) + {(u + 1)}^{2}$

$(x + 7) {(u + 1)}^{2}$

Étape 10

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x^{2}$ .

$(x + 7) {(x^{2} + 1)}^{2}$

Étape 11

Factorisez le côté gauche de l’équation.

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Étape 11.1

Regroupez les termes.

$x^{5} + 2 x^{3} + x + 7 x^{4} + 14 x^{2} + 7 = 0$

Étape 11.2

Factorisez $x$ à partir de $x^{5} + 2 x^{3} + x$ .

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Étape 11.2.1

Factorisez $x$ à partir de $x^{5}$ .

$x \cdot x^{4} + 2 x^{3} + x + 7 x^{4} + 14 x^{2} + 7 = 0$

Étape 11.2.2

Factorisez $x$ à partir de $2 x^{3}$ .

$x \cdot x^{4} + x (2 x^{2}) + x + 7 x^{4} + 14 x^{2} + 7 = 0$

Étape 11.2.3

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$x \cdot x^{4} + x (2 x^{2}) + x + 7 x^{4} + 14 x^{2} + 7 = 0$

Étape 11.2.4

Factorisez $x$ à partir de $x^{1}$ .

$x \cdot x^{4} + x (2 x^{2}) + x \cdot 1 + 7 x^{4} + 14 x^{2} + 7 = 0$

Étape 11.2.5

Factorisez $x$ à partir de $x \cdot x^{4} + x (2 x^{2})$ .

$x (x^{4} + 2 x^{2}) + x \cdot 1 + 7 x^{4} + 14 x^{2} + 7 = 0$

Étape 11.2.6

Factorisez $x$ à partir de $x (x^{4} + 2 x^{2}) + x \cdot 1$ .

$x (x^{4} + 2 x^{2} + 1) + 7 x^{4} + 14 x^{2} + 7 = 0$

Étape 11.3

Réécrivez $x^{4}$ comme ${(x^{2})}^{2}$ .

$x ({(x^{2})}^{2} + 2 x^{2} + 1) + 7 x^{4} + 14 x^{2} + 7 = 0$

Étape 11.4

Laissez $u = x^{2}$ . Remplacez toutes les occurrences de $x^{2}$ par $u$ .

$x (u^{2} + 2 u + 1) + 7 x^{4} + 14 x^{2} + 7 = 0$

Étape 11.5

Factorisez en utilisant la règle du carré parfait.

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Étape 11.5.1

Réécrivez $1$ comme $1^{2}$ .

$x (u^{2} + 2 u + 1^{2}) + 7 x^{4} + 14 x^{2} + 7 = 0$

Étape 11.5.2

Vérifiez que le terme central est le double du produit des nombres élevés au carré dans le premier terme et le troisième terme.

$2 u = 2 \cdot u \cdot 1$

Étape 11.5.3

Réécrivez le polynôme.

$x (u^{2} + 2 \cdot u \cdot 1 + 1^{2}) + 7 x^{4} + 14 x^{2} + 7 = 0$

Étape 11.5.4

Factorisez en utilisant la règle trinomiale du carré parfait $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ , où $a = u$ et $b = 1$ .

$x {(u + 1)}^{2} + 7 x^{4} + 14 x^{2} + 7 = 0$

Étape 11.6

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x^{2}$ .

$x {(x^{2} + 1)}^{2} + 7 x^{4} + 14 x^{2} + 7 = 0$

Étape 11.7

Factorisez $7$ à partir de $7 x^{4} + 14 x^{2} + 7$ .

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Étape 11.7.1

Factorisez $7$ à partir de $7 x^{4}$ .

$x {(x^{2} + 1)}^{2} + 7 (x^{4}) + 14 x^{2} + 7 = 0$

Étape 11.7.2

Factorisez $7$ à partir de $14 x^{2}$ .

$x {(x^{2} + 1)}^{2} + 7 (x^{4}) + 7 (2 x^{2}) + 7 = 0$

Étape 11.7.3

Factorisez $7$ à partir de $7$ .

$x {(x^{2} + 1)}^{2} + 7 (x^{4}) + 7 (2 x^{2}) + 7 (1) = 0$

Étape 11.7.4

Factorisez $7$ à partir de $7 (x^{4}) + 7 (2 x^{2})$ .

$x {(x^{2} + 1)}^{2} + 7 (x^{4} + 2 x^{2}) + 7 (1) = 0$

Étape 11.7.5

Factorisez $7$ à partir de $7 (x^{4} + 2 x^{2}) + 7 (1)$ .

$x {(x^{2} + 1)}^{2} + 7 (x^{4} + 2 x^{2} + 1) = 0$

Étape 11.8

Réécrivez $x^{4}$ comme ${(x^{2})}^{2}$ .

$x {(x^{2} + 1)}^{2} + 7 ({(x^{2})}^{2} + 2 x^{2} + 1) = 0$

Étape 11.9

Laissez $u = x^{2}$ . Remplacez toutes les occurrences de $x^{2}$ par $u$ .

$x {(x^{2} + 1)}^{2} + 7 (u^{2} + 2 u + 1) = 0$

Étape 11.10

Factorisez en utilisant la règle du carré parfait.

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Étape 11.10.1

Réécrivez $1$ comme $1^{2}$ .

$x {(x^{2} + 1)}^{2} + 7 (u^{2} + 2 u + 1^{2}) = 0$

Étape 11.10.2

Vérifiez que le terme central est le double du produit des nombres élevés au carré dans le premier terme et le troisième terme.

$2 u = 2 \cdot u \cdot 1$

Étape 11.10.3

Réécrivez le polynôme.

$x {(x^{2} + 1)}^{2} + 7 (u^{2} + 2 \cdot u \cdot 1 + 1^{2}) = 0$

Étape 11.10.4

Factorisez en utilisant la règle trinomiale du carré parfait $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ , où $a = u$ et $b = 1$ .

$x {(x^{2} + 1)}^{2} + 7 {(u + 1)}^{2} = 0$

Étape 11.11

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x^{2}$ .

$x {(x^{2} + 1)}^{2} + 7 {(x^{2} + 1)}^{2} = 0$

Étape 11.12

Factorisez ${(x^{2} + 1)}^{2}$ à partir de $x {(x^{2} + 1)}^{2} + 7 {(x^{2} + 1)}^{2}$ .

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Étape 11.12.1

Factorisez ${(x^{2} + 1)}^{2}$ à partir de $x {(x^{2} + 1)}^{2}$ .

${(x^{2} + 1)}^{2} x + 7 {(x^{2} + 1)}^{2} = 0$

Étape 11.12.2

Factorisez ${(x^{2} + 1)}^{2}$ à partir de $7 {(x^{2} + 1)}^{2}$ .

${(x^{2} + 1)}^{2} x + {(x^{2} + 1)}^{2} \cdot 7 = 0$

Étape 11.12.3

Factorisez ${(x^{2} + 1)}^{2}$ à partir de ${(x^{2} + 1)}^{2} x + {(x^{2} + 1)}^{2} \cdot 7$ .

${(x^{2} + 1)}^{2} (x + 7) = 0$

Étape 12

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

${(x^{2} + 1)}^{2} = 0$

$x + 7 = 0$

Étape 13

Définissez ${(x^{2} + 1)}^{2}$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 13.1

Définissez ${(x^{2} + 1)}^{2}$ égal à $0$ .

${(x^{2} + 1)}^{2} = 0$

Étape 13.2

Résolvez ${(x^{2} + 1)}^{2} = 0$ pour $x$ .

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Étape 13.2.1

Définissez le $x^{2} + 1$ égal à $0$ .

$x^{2} + 1 = 0$

Étape 13.2.2

Résolvez $x$ .

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Étape 13.2.2.1

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$x^{2} = - 1$

Étape 13.2.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{- 1}$

Étape 13.2.2.3

Réécrivez $\sqrt{- 1}$ comme $i$ .

$x = \pm i$

Étape 13.2.2.4

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 13.2.2.4.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$x = i$

Étape 13.2.2.4.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$x = - i$

Étape 13.2.2.4.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$x = i, - i$

Étape 14

Définissez $x + 7$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 14.1

Définissez $x + 7$ égal à $0$ .

$x + 7 = 0$

Étape 14.2

Soustrayez $7$ des deux côtés de l’équation.

$x = - 7$

Étape 15

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent ${(x^{2} + 1)}^{2} (x + 7) = 0$ vraie.

$x = i, - i, - 7$

Étape 16