Pré-calcul Exemples

$2 x^{3} - 17 x^{2} - 11 x - 1 = 0$

Étape 1

Si une fonction polynomiale a des coefficients entiers, chaque zéro rationnel aura la forme $\frac{p}{q}$ où $p$ est un facteur de la constante et $q$ est un facteur du coefficient directeur.

$p = \pm 1$

$q = \pm 1, \pm 2$

Étape 2

Déterminez chaque combinaison de $\pm \frac{p}{q}$ . Il s’agit des racines possibles de la fonction polynomiale.

$\pm 1, \pm \frac{1}{2}$

Étape 3

Remplacez les racines possibles une par une dans le polynôme afin de déterminer les racines réelles. Simplifiez pour vérifier que la valeur est $0$ , ce qui signifie que c’est une racine.

$2 {(- \frac{1}{2})}^{3} - 17 {(- \frac{1}{2})}^{2} - 11 (- \frac{1}{2}) - 1$

Étape 4

Simplifiez l’expression. Dans ce cas, l’expression est égale à $0$ donc $x = - \frac{1}{2}$ est une racine du polynôme.

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Étape 4.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.1.1

Utilisez la règle de puissance ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ pour distribuer l’exposant.

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Étape 4.1.1.1

Appliquez la règle de produit à $- \frac{1}{2}$ .

$2 ({(- 1)}^{3} {(\frac{1}{2})}^{3}) - 17 {(- \frac{1}{2})}^{2} - 11 (- \frac{1}{2}) - 1$

Étape 4.1.1.2

Appliquez la règle de produit à $\frac{1}{2}$ .

$2 ({(- 1)}^{3} \frac{1^{3}}{2^{3}}) - 17 {(- \frac{1}{2})}^{2} - 11 (- \frac{1}{2}) - 1$

Étape 4.1.2

Élevez $- 1$ à la puissance $3$ .

$2 (- \frac{1^{3}}{2^{3}}) - 17 {(- \frac{1}{2})}^{2} - 11 (- \frac{1}{2}) - 1$

Étape 4.1.3

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$2 (- \frac{1}{2^{3}}) - 17 {(- \frac{1}{2})}^{2} - 11 (- \frac{1}{2}) - 1$

Étape 4.1.4

Élevez $2$ à la puissance $3$ .

$2 (- \frac{1}{8}) - 17 {(- \frac{1}{2})}^{2} - 11 (- \frac{1}{2}) - 1$

Étape 4.1.5

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 4.1.5.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{1}{8}$ dans le numérateur.

$2 (\frac{- 1}{8}) - 17 {(- \frac{1}{2})}^{2} - 11 (- \frac{1}{2}) - 1$

Étape 4.1.5.2

Factorisez $2$ à partir de $8$ .

$2 \frac{- 1}{2 (4)} - 17 {(- \frac{1}{2})}^{2} - 11 (- \frac{1}{2}) - 1$

Étape 4.1.5.3

Annulez le facteur commun.

$2 \frac{- 1}{2 \cdot 4} - 17 {(- \frac{1}{2})}^{2} - 11 (- \frac{1}{2}) - 1$

Étape 4.1.5.4

Réécrivez l’expression.

$\frac{- 1}{4} - 17 {(- \frac{1}{2})}^{2} - 11 (- \frac{1}{2}) - 1$

Étape 4.1.6

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{1}{4} - 17 {(- \frac{1}{2})}^{2} - 11 (- \frac{1}{2}) - 1$

Étape 4.1.7

Utilisez la règle de puissance ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ pour distribuer l’exposant.

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Étape 4.1.7.1

Appliquez la règle de produit à $- \frac{1}{2}$ .

$- \frac{1}{4} - 17 ({(- 1)}^{2} {(\frac{1}{2})}^{2}) - 11 (- \frac{1}{2}) - 1$

Étape 4.1.7.2

Appliquez la règle de produit à $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{1}{4} - 17 ({(- 1)}^{2} \frac{1^{2}}{2^{2}}) - 11 (- \frac{1}{2}) - 1$

Étape 4.1.8

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$- \frac{1}{4} - 17 (1 \frac{1^{2}}{2^{2}}) - 11 (- \frac{1}{2}) - 1$

Étape 4.1.9

Multipliez $\frac{1^{2}}{2^{2}}$ par $1$ .

$- \frac{1}{4} - 17 \frac{1^{2}}{2^{2}} - 11 (- \frac{1}{2}) - 1$

Étape 4.1.10

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$- \frac{1}{4} - 17 \frac{1}{2^{2}} - 11 (- \frac{1}{2}) - 1$

Étape 4.1.11

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$- \frac{1}{4} - 17 (\frac{1}{4}) - 11 (- \frac{1}{2}) - 1$

Étape 4.1.12

Associez $- 17$ et $\frac{1}{4}$ .

$- \frac{1}{4} + \frac{- 17}{4} - 11 (- \frac{1}{2}) - 1$

Étape 4.1.13

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{1}{4} - \frac{17}{4} - 11 (- \frac{1}{2}) - 1$

Étape 4.1.14

Multipliez $- 11 (- \frac{1}{2})$ .

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Étape 4.1.14.1

Multipliez $- 1$ par $- 11$ .

$- \frac{1}{4} - \frac{17}{4} + 11 (\frac{1}{2}) - 1$

Étape 4.1.14.2

Associez $11$ et $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{1}{4} - \frac{17}{4} + \frac{11}{2} - 1$

Étape 4.2

Associez les fractions.

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Étape 4.2.1

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$- 1 + \frac{- 1 - 17}{4} + \frac{11}{2}$

Étape 4.2.2

Soustrayez $17$ de $- 1$ .

$- 1 + \frac{- 18}{4} + \frac{11}{2}$

Étape 4.3

Déterminez le dénominateur commun.

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Étape 4.3.1

Écrivez $- 1$ comme une fraction avec le dénominateur $1$ .

$\frac{- 1}{1} + \frac{- 18}{4} + \frac{11}{2}$

Étape 4.3.2

Multipliez $\frac{- 1}{1}$ par $\frac{4}{4}$ .

$\frac{- 1}{1} \cdot \frac{4}{4} + \frac{- 18}{4} + \frac{11}{2}$

Étape 4.3.3

Multipliez $\frac{- 1}{1}$ par $\frac{4}{4}$ .

$\frac{- 1 \cdot 4}{4} + \frac{- 18}{4} + \frac{11}{2}$

Étape 4.3.4

Multipliez $\frac{11}{2}$ par $\frac{2}{2}$ .

$\frac{- 1 \cdot 4}{4} + \frac{- 18}{4} + \frac{11}{2} \cdot \frac{2}{2}$

Étape 4.3.5

Multipliez $\frac{11}{2}$ par $\frac{2}{2}$ .

$\frac{- 1 \cdot 4}{4} + \frac{- 18}{4} + \frac{11 \cdot 2}{2 \cdot 2}$

Étape 4.3.6

Multipliez $2$ par $2$ .

$\frac{- 1 \cdot 4}{4} + \frac{- 18}{4} + \frac{11 \cdot 2}{4}$

Étape 4.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{- 1 \cdot 4 - 18 + 11 \cdot 2}{4}$

Étape 4.5

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.5.1

Multipliez $- 1$ par $4$ .

$\frac{- 4 - 18 + 11 \cdot 2}{4}$

Étape 4.5.2

Multipliez $11$ par $2$ .

$\frac{- 4 - 18 + 22}{4}$

Étape 4.6

Simplifiez l’expression.

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Étape 4.6.1

Soustrayez $18$ de $- 4$ .

$\frac{- 22 + 22}{4}$

Étape 4.6.2

Additionnez $- 22$ et $22$ .

$\frac{0}{4}$

Étape 4.6.3

Divisez $0$ par $4$ .

$0$

Étape 5

Comme $- \frac{1}{2}$ est une racine connue, divisez le polynôme par $x + \frac{1}{2}$ pour déterminer le polynôme quotient. Ce polynôme peut alors être utilisé pour déterminer les racines restantes.

$\frac{2 x^{3} - 17 x^{2} - 11 x - 1}{x + \frac{1}{2}}$

Étape 6

Ensuite, déterminez les racines du polynôme restant. Le degré du polynôme a été réduit de $1$ .

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Étape 6.1

Placez les nombres qui représentent le diviseur et le dividende dans une configuration de type division.

$- \frac{1}{2}$	$2$	$- 17$	$- 11$	$- 1$

Étape 6.2

Le premier nombre dans le dividende $(2)$ est placé à la première position de la zone de résultat (sous la droite horizontale).

$- \frac{1}{2}$	$2$	$- 17$	$- 11$	$- 1$

	$2$

Étape 6.3

Multipliez l’entrée la plus récente dans le résultat $(2)$ par le diviseur $(- \frac{1}{2})$ et placez le résultat de $(- 1)$ sous le terme suivant dans le dividende $(- 17)$ .

$- \frac{1}{2}$	$2$	$- 17$	$- 11$	$- 1$
		$- 1$
	$2$

Étape 6.4

Ajoutez le produit de la multiplication et le nombre du dividende et placez le résultat à la position suivante sur la ligne de résultat.

$- \frac{1}{2}$	$2$	$- 17$	$- 11$	$- 1$
		$- 1$
	$2$	$- 18$

Étape 6.5

Multipliez l’entrée la plus récente dans le résultat $(- 18)$ par le diviseur $(- \frac{1}{2})$ et placez le résultat de $(9)$ sous le terme suivant dans le dividende $(- 11)$ .

$- \frac{1}{2}$	$2$	$- 17$	$- 11$	$- 1$
		$- 1$	$9$
	$2$	$- 18$

Étape 6.6

Ajoutez le produit de la multiplication et le nombre du dividende et placez le résultat à la position suivante sur la ligne de résultat.

$- \frac{1}{2}$	$2$	$- 17$	$- 11$	$- 1$
		$- 1$	$9$
	$2$	$- 18$	$- 2$

Étape 6.7

Multipliez l’entrée la plus récente dans le résultat $(- 2)$ par le diviseur $(- \frac{1}{2})$ et placez le résultat de $(1)$ sous le terme suivant dans le dividende $(- 1)$ .

$- \frac{1}{2}$	$2$	$- 17$	$- 11$	$- 1$
		$- 1$	$9$	$1$
	$2$	$- 18$	$- 2$

Étape 6.8

Ajoutez le produit de la multiplication et le nombre du dividende et placez le résultat à la position suivante sur la ligne de résultat.

$- \frac{1}{2}$	$2$	$- 17$	$- 11$	$- 1$
		$- 1$	$9$	$1$
	$2$	$- 18$	$- 2$	$0$

Étape 6.9

Tous les nombres à l’exception du dernier deviennent les coefficients du polynôme quotient. La dernière valeur sur la ligne de résultat est le reste.

$2 x^{2} + - 18 x - 2$

Étape 6.10

Simplifiez le polynôme quotient.

$2 x^{2} - 18 x - 2$

Étape 7

Factorisez $2$ à partir de $2 x^{2} - 18 x - 2$ .

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Étape 7.1

Factorisez $2$ à partir de $2 x^{2}$ .

$(x + \frac{1}{2}) (2 (x^{2}) - 18 x - 2)$

Étape 7.2

Factorisez $2$ à partir de $- 18 x$ .

$(x + \frac{1}{2}) (2 (x^{2}) + 2 (- 9 x) - 2)$

Étape 7.3

Factorisez $2$ à partir de $- 2$ .

$(x + \frac{1}{2}) (2 (x^{2}) + 2 (- 9 x) + 2 (- 1))$

Étape 7.4

Factorisez $2$ à partir de $2 (x^{2}) + 2 (- 9 x)$ .

$(x + \frac{1}{2}) (2 (x^{2} - 9 x) + 2 (- 1))$

Étape 7.5

Factorisez $2$ à partir de $2 (x^{2} - 9 x) + 2 (- 1)$ .

$(x + \frac{1}{2}) (2 (x^{2} - 9 x - 1))$

Étape 8

Factorisez $2 x^{3} - 17 x^{2} - 11 x - 1$ en utilisant le test des racines rationnelles.

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Étape 8.1

Si une fonction polynomiale a des coefficients entiers, chaque zéro rationnel aura la forme $\frac{p}{q}$ où $p$ est un facteur de la constante et $q$ est un facteur du coefficient directeur.

$p = \pm 1$

$q = \pm 1, \pm 2$

Étape 8.2

Déterminez chaque combinaison de $\pm \frac{p}{q}$ . Il s’agit des racines possibles de la fonction polynomiale.

$\pm 1, \pm 0.5$

Étape 8.3

Remplacez $- 0.5$ et simplifiez l’expression. Dans ce cas, l’expression est égale à $0$ donc $- 0.5$ est une racine du polynôme.

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Étape 8.3.1

Remplacez $- 0.5$ dans le polynôme.

$2 {(- 0.5)}^{3} - 17 {(- 0.5)}^{2} - 11 \cdot - 0.5 - 1$

Étape 8.3.2

Élevez $- 0.5$ à la puissance $3$ .

$2 \cdot - 0.125 - 17 {(- 0.5)}^{2} - 11 \cdot - 0.5 - 1$

Étape 8.3.3

Multipliez $2$ par $- 0.125$ .

$- 0.25 - 17 {(- 0.5)}^{2} - 11 \cdot - 0.5 - 1$

Étape 8.3.4

Élevez $- 0.5$ à la puissance $2$ .

$- 0.25 - 17 \cdot 0.25 - 11 \cdot - 0.5 - 1$

Étape 8.3.5

Multipliez $- 17$ par $0.25$ .

$- 0.25 - 4.25 - 11 \cdot - 0.5 - 1$

Étape 8.3.6

Soustrayez $4.25$ de $- 0.25$ .

$- 4.5 - 11 \cdot - 0.5 - 1$

Étape 8.3.7

Multipliez $- 11$ par $- 0.5$ .

$- 4.5 + 5.5 - 1$

Étape 8.3.8

Additionnez $- 4.5$ et $5.5$ .

$1 - 1$

Étape 8.3.9

Soustrayez $1$ de $1$ .

$0$

Étape 8.4

Comme $- 0.5$ est une racine connue, divisez le polynôme par $2 x + 1$ pour déterminer le polynôme quotient. Ce polynôme peut alors être utilisé pour déterminer les racines restantes.

$\frac{2 x^{3} - 17 x^{2} - 11 x - 1}{2 x + 1}$

Étape 8.5

Divisez $2 x^{3} - 17 x^{2} - 11 x - 1$ par $2 x + 1$ .

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Étape 8.5.1

Définissez les polynômes à diviser. S’il n’y a pas de terme pour chaque exposant, insérez-en un avec une valeur de $0$ .

$2 x$

$1$

$2 x^{3}$

$17 x^{2}$

$11 x$

$1$

Étape 8.5.2

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $2 x^{3}$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $2 x$ .

					$x^{2}$
	$2 x$	+	$1$		$2 x^{3}$	-	$17 x^{2}$	-	$11 x$	-	$1$

Étape 8.5.3

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

				$x^{2}$
$2 x$	+	$1$		$2 x^{3}$	-	$17 x^{2}$	-	$11 x$	-	$1$
			+	$2 x^{3}$	+	$x^{2}$

Étape 8.5.4

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $2 x^{3} + x^{2}$

				$x^{2}$
$2 x$	+	$1$		$2 x^{3}$	-	$17 x^{2}$	-	$11 x$	-	$1$
			-	$2 x^{3}$	-	$x^{2}$

Étape 8.5.5

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

				$x^{2}$
$2 x$	+	$1$		$2 x^{3}$	-	$17 x^{2}$	-	$11 x$	-	$1$
			-	$2 x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$18 x^{2}$

Étape 8.5.6

Extrayez les termes suivants du dividende d’origine dans le dividende actuel.

				$x^{2}$
$2 x$	+	$1$		$2 x^{3}$	-	$17 x^{2}$	-	$11 x$	-	$1$
			-	$2 x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$18 x^{2}$	-	$11 x$

Étape 8.5.7

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $- 18 x^{2}$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $2 x$ .

				$x^{2}$	-	$9 x$
$2 x$	+	$1$		$2 x^{3}$	-	$17 x^{2}$	-	$11 x$	-	$1$
			-	$2 x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$18 x^{2}$	-	$11 x$

Étape 8.5.8

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

				$x^{2}$	-	$9 x$
$2 x$	+	$1$		$2 x^{3}$	-	$17 x^{2}$	-	$11 x$	-	$1$
			-	$2 x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$18 x^{2}$	-	$11 x$
					-	$18 x^{2}$	-	$9 x$

Étape 8.5.9

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $- 18 x^{2} - 9 x$

				$x^{2}$	-	$9 x$
$2 x$	+	$1$		$2 x^{3}$	-	$17 x^{2}$	-	$11 x$	-	$1$
			-	$2 x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$18 x^{2}$	-	$11 x$
					+	$18 x^{2}$	+	$9 x$

Étape 8.5.10

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

				$x^{2}$	-	$9 x$
$2 x$	+	$1$		$2 x^{3}$	-	$17 x^{2}$	-	$11 x$	-	$1$
			-	$2 x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$18 x^{2}$	-	$11 x$
					+	$18 x^{2}$	+	$9 x$
							-	$2 x$

Étape 8.5.11

Extrayez les termes suivants du dividende d’origine dans le dividende actuel.

				$x^{2}$	-	$9 x$
$2 x$	+	$1$		$2 x^{3}$	-	$17 x^{2}$	-	$11 x$	-	$1$
			-	$2 x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$18 x^{2}$	-	$11 x$
					+	$18 x^{2}$	+	$9 x$
							-	$2 x$	-	$1$

Étape 8.5.12

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $- 2 x$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $2 x$ .

				$x^{2}$	-	$9 x$	-	$1$
$2 x$	+	$1$		$2 x^{3}$	-	$17 x^{2}$	-	$11 x$	-	$1$
			-	$2 x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$18 x^{2}$	-	$11 x$
					+	$18 x^{2}$	+	$9 x$
							-	$2 x$	-	$1$

Étape 8.5.13

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

				$x^{2}$	-	$9 x$	-	$1$
$2 x$	+	$1$		$2 x^{3}$	-	$17 x^{2}$	-	$11 x$	-	$1$
			-	$2 x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$18 x^{2}$	-	$11 x$
					+	$18 x^{2}$	+	$9 x$
							-	$2 x$	-	$1$
							-	$2 x$	-	$1$

Étape 8.5.14

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $- 2 x - 1$

				$x^{2}$	-	$9 x$	-	$1$
$2 x$	+	$1$		$2 x^{3}$	-	$17 x^{2}$	-	$11 x$	-	$1$
			-	$2 x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$18 x^{2}$	-	$11 x$
					+	$18 x^{2}$	+	$9 x$
							-	$2 x$	-	$1$
							+	$2 x$	+	$1$

Étape 8.5.15

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

				$x^{2}$	-	$9 x$	-	$1$
$2 x$	+	$1$		$2 x^{3}$	-	$17 x^{2}$	-	$11 x$	-	$1$
			-	$2 x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$18 x^{2}$	-	$11 x$
					+	$18 x^{2}$	+	$9 x$
							-	$2 x$	-	$1$
							+	$2 x$	+	$1$
										$0$

Étape 8.5.16

Comme le reste est $0$ , la réponse finale est le quotient.

$x^{2} - 9 x - 1$

Étape 8.6

Écrivez $2 x^{3} - 17 x^{2} - 11 x - 1$ comme un ensemble de facteurs.

$(2 x + 1) (x^{2} - 9 x - 1) = 0$

Étape 9

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$2 x + 1 = 0$

$x^{2} - 9 x - 1 = 0$

Étape 10

Définissez $2 x + 1$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 10.1

Définissez $2 x + 1$ égal à $0$ .

$2 x + 1 = 0$

Étape 10.2

Résolvez $2 x + 1 = 0$ pour $x$ .

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Étape 10.2.1

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$2 x = - 1$

Étape 10.2.2

Divisez chaque terme dans $2 x = - 1$ par $2$ et simplifiez.

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Étape 10.2.2.1

Divisez chaque terme dans $2 x = - 1$ par $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 1}{2}$

Étape 10.2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 10.2.2.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 10.2.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 1}{2}$

Étape 10.2.2.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{- 1}{2}$

Étape 10.2.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 10.2.2.3.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$x = - \frac{1}{2}$

Étape 11

Définissez $x^{2} - 9 x - 1$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 11.1

Définissez $x^{2} - 9 x - 1$ égal à $0$ .

$x^{2} - 9 x - 1 = 0$

Étape 11.2

Résolvez $x^{2} - 9 x - 1 = 0$ pour $x$ .

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Étape 11.2.1

Utilisez la formule quadratique pour déterminer les solutions.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Étape 11.2.2

Remplacez les valeurs $a = 1$ , $b = - 9$ et $c = - 1$ dans la formule quadratique et résolvez pour $x$ .

$\frac{9 \pm \sqrt{{(- 9)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot - 1)}}{2 \cdot 1}$

Étape 11.2.3

Simplifiez

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Étape 11.2.3.1

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 11.2.3.1.1

Élevez $- 9$ à la puissance $2$ .

$x = \frac{9 \pm \sqrt{81 - 4 \cdot 1 \cdot - 1}}{2 \cdot 1}$

Étape 11.2.3.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 1 \cdot - 1$ .

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Étape 11.2.3.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$x = \frac{9 \pm \sqrt{81 - 4 \cdot - 1}}{2 \cdot 1}$

Étape 11.2.3.1.2.2

Multipliez $- 4$ par $- 1$ .

$x = \frac{9 \pm \sqrt{81 + 4}}{2 \cdot 1}$

Étape 11.2.3.1.3

Additionnez $81$ et $4$ .

$x = \frac{9 \pm \sqrt{85}}{2 \cdot 1}$

Étape 11.2.3.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$x = \frac{9 \pm \sqrt{85}}{2}$

Étape 11.2.4

Simplifiez l’expression pour résoudre la partie $+$ du $\pm$ .

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Étape 11.2.4.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 11.2.4.1.1

Élevez $- 9$ à la puissance $2$ .

$x = \frac{9 \pm \sqrt{81 - 4 \cdot 1 \cdot - 1}}{2 \cdot 1}$

Étape 11.2.4.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 1 \cdot - 1$ .

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Étape 11.2.4.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$x = \frac{9 \pm \sqrt{81 - 4 \cdot - 1}}{2 \cdot 1}$

Étape 11.2.4.1.2.2

Multipliez $- 4$ par $- 1$ .

$x = \frac{9 \pm \sqrt{81 + 4}}{2 \cdot 1}$

Étape 11.2.4.1.3

Additionnez $81$ et $4$ .

$x = \frac{9 \pm \sqrt{85}}{2 \cdot 1}$

Étape 11.2.4.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$x = \frac{9 \pm \sqrt{85}}{2}$

Étape 11.2.4.3

Remplacez le $\pm$ par $+$ .

$x = \frac{9 + \sqrt{85}}{2}$

Étape 11.2.5

Simplifiez l’expression pour résoudre la partie $-$ du $\pm$ .

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Étape 11.2.5.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 11.2.5.1.1

Élevez $- 9$ à la puissance $2$ .

$x = \frac{9 \pm \sqrt{81 - 4 \cdot 1 \cdot - 1}}{2 \cdot 1}$

Étape 11.2.5.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 1 \cdot - 1$ .

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Étape 11.2.5.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$x = \frac{9 \pm \sqrt{81 - 4 \cdot - 1}}{2 \cdot 1}$

Étape 11.2.5.1.2.2

Multipliez $- 4$ par $- 1$ .

$x = \frac{9 \pm \sqrt{81 + 4}}{2 \cdot 1}$

Étape 11.2.5.1.3

Additionnez $81$ et $4$ .

$x = \frac{9 \pm \sqrt{85}}{2 \cdot 1}$

Étape 11.2.5.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$x = \frac{9 \pm \sqrt{85}}{2}$

Étape 11.2.5.3

Remplacez le $\pm$ par $-$ .

$x = \frac{9 - \sqrt{85}}{2}$

Étape 11.2.6

La réponse finale est la combinaison des deux solutions.

$x = \frac{9 + \sqrt{85}}{2}, \frac{9 - \sqrt{85}}{2}$

Étape 12

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $(2 x + 1) (x^{2} - 9 x - 1) = 0$ vraie.

$x = - \frac{1}{2}, \frac{9 + \sqrt{85}}{2}, \frac{9 - \sqrt{85}}{2}$

Étape 13

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$x = - \frac{1}{2}, \frac{9 + \sqrt{85}}{2}, \frac{9 - \sqrt{85}}{2}$

Forme décimale :

$x = - 0.5, 9.10977222 \dots, - 0.10977222 \dots$

Étape 14