Pré-calcul Exemples

$x^{4} - x^{3} + 2 x^{2} - 4 x - 8 = 0$

Étape 1

Si une fonction polynomiale a des coefficients entiers, chaque zéro rationnel aura la forme $\frac{p}{q}$ où $p$ est un facteur de la constante et $q$ est un facteur du coefficient directeur.

$p = \pm 1, \pm 2, \pm 4, \pm 8$

$q = \pm 1$

Étape 2

Déterminez chaque combinaison de $\pm \frac{p}{q}$ . Il s’agit des racines possibles de la fonction polynomiale.

$\pm 1, \pm 2, \pm 4, \pm 8$

Étape 3

Remplacez les racines possibles une par une dans le polynôme afin de déterminer les racines réelles. Simplifiez pour vérifier que la valeur est $0$ , ce qui signifie que c’est une racine.

${(- 1)}^{4} - {(- 1)}^{3} + 2 {(- 1)}^{2} - 4 \cdot - 1 - 8$

Étape 4

Simplifiez l’expression. Dans ce cas, l’expression est égale à $0$ donc $x = - 1$ est une racine du polynôme.

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Étape 4.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.1.1

Élevez $- 1$ à la puissance $4$ .

$1 - {(- 1)}^{3} + 2 {(- 1)}^{2} - 4 \cdot - 1 - 8$

Étape 4.1.2

Multipliez $- 1$ par ${(- 1)}^{3}$ en additionnant les exposants.

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Étape 4.1.2.1

Multipliez $- 1$ par ${(- 1)}^{3}$ .

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Étape 4.1.2.1.1

Élevez $- 1$ à la puissance $1$ .

$1 + {(- 1)}^{1} {(- 1)}^{3} + 2 {(- 1)}^{2} - 4 \cdot - 1 - 8$

Étape 4.1.2.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$1 + {(- 1)}^{1 + 3} + 2 {(- 1)}^{2} - 4 \cdot - 1 - 8$

Étape 4.1.2.2

Additionnez $1$ et $3$ .

$1 + {(- 1)}^{4} + 2 {(- 1)}^{2} - 4 \cdot - 1 - 8$

Étape 4.1.3

Élevez $- 1$ à la puissance $4$ .

$1 + 1 + 2 {(- 1)}^{2} - 4 \cdot - 1 - 8$

Étape 4.1.4

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$1 + 1 + 2 \cdot 1 - 4 \cdot - 1 - 8$

Étape 4.1.5

Multipliez $2$ par $1$ .

$1 + 1 + 2 - 4 \cdot - 1 - 8$

Étape 4.1.6

Multipliez $- 4$ par $- 1$ .

$1 + 1 + 2 + 4 - 8$

Étape 4.2

Simplifiez en ajoutant et en soustrayant.

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Étape 4.2.1

Additionnez $1$ et $1$ .

$2 + 2 + 4 - 8$

Étape 4.2.2

Additionnez $2$ et $2$ .

$4 + 4 - 8$

Étape 4.2.3

Additionnez $4$ et $4$ .

$8 - 8$

Étape 4.2.4

Soustrayez $8$ de $8$ .

$0$

Étape 5

Comme $- 1$ est une racine connue, divisez le polynôme par $x + 1$ pour déterminer le polynôme quotient. Ce polynôme peut alors être utilisé pour déterminer les racines restantes.

$\frac{x^{4} - x^{3} + 2 x^{2} - 4 x - 8}{x + 1}$

Étape 6

Ensuite, déterminez les racines du polynôme restant. Le degré du polynôme a été réduit de $1$ .

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Étape 6.1

Placez les nombres qui représentent le diviseur et le dividende dans une configuration de type division.

$- 1$	$1$	$- 1$	$2$	$- 4$	$- 8$

Étape 6.2

Le premier nombre dans le dividende $(1)$ est placé à la première position de la zone de résultat (sous la droite horizontale).

$- 1$	$1$	$- 1$	$2$	$- 4$	$- 8$

	$1$

Étape 6.3

Multipliez l’entrée la plus récente dans le résultat $(1)$ par le diviseur $(- 1)$ et placez le résultat de $(- 1)$ sous le terme suivant dans le dividende $(- 1)$ .

$- 1$	$1$	$- 1$	$2$	$- 4$	$- 8$
		$- 1$
	$1$

Étape 6.4

Ajoutez le produit de la multiplication et le nombre du dividende et placez le résultat à la position suivante sur la ligne de résultat.

$- 1$	$1$	$- 1$	$2$	$- 4$	$- 8$
		$- 1$
	$1$	$- 2$

Étape 6.5

Multipliez l’entrée la plus récente dans le résultat $(- 2)$ par le diviseur $(- 1)$ et placez le résultat de $(2)$ sous le terme suivant dans le dividende $(2)$ .

$- 1$	$1$	$- 1$	$2$	$- 4$	$- 8$
		$- 1$	$2$
	$1$	$- 2$

Étape 6.6

Ajoutez le produit de la multiplication et le nombre du dividende et placez le résultat à la position suivante sur la ligne de résultat.

$- 1$	$1$	$- 1$	$2$	$- 4$	$- 8$
		$- 1$	$2$
	$1$	$- 2$	$4$

Étape 6.7

Multipliez l’entrée la plus récente dans le résultat $(4)$ par le diviseur $(- 1)$ et placez le résultat de $(- 4)$ sous le terme suivant dans le dividende $(- 4)$ .

$- 1$	$1$	$- 1$	$2$	$- 4$	$- 8$
		$- 1$	$2$	$- 4$
	$1$	$- 2$	$4$

Étape 6.8

Ajoutez le produit de la multiplication et le nombre du dividende et placez le résultat à la position suivante sur la ligne de résultat.

$- 1$	$1$	$- 1$	$2$	$- 4$	$- 8$
		$- 1$	$2$	$- 4$
	$1$	$- 2$	$4$	$- 8$

Étape 6.9

Multipliez l’entrée la plus récente dans le résultat $(- 8)$ par le diviseur $(- 1)$ et placez le résultat de $(8)$ sous le terme suivant dans le dividende $(- 8)$ .

$- 1$	$1$	$- 1$	$2$	$- 4$	$- 8$
		$- 1$	$2$	$- 4$	$8$
	$1$	$- 2$	$4$	$- 8$

Étape 6.10

Ajoutez le produit de la multiplication et le nombre du dividende et placez le résultat à la position suivante sur la ligne de résultat.

$- 1$	$1$	$- 1$	$2$	$- 4$	$- 8$
		$- 1$	$2$	$- 4$	$8$
	$1$	$- 2$	$4$	$- 8$	$0$

Étape 6.11

Tous les nombres à l’exception du dernier deviennent les coefficients du polynôme quotient. La dernière valeur sur la ligne de résultat est le reste.

$1 x^{3} + - 2 x^{2} + (4) x - 8$

Étape 6.12

Simplifiez le polynôme quotient.

$x^{3} - 2 x^{2} + 4 x - 8$

Étape 7

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

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Étape 7.1

Regroupez les deux premiers termes et les deux derniers termes.

$(x + 1) (x^{3} - 2 x^{2}) + 4 x - 8$

Étape 7.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

$(x + 1) + x^{2} (x - 2) + 4 (x - 2)$

$(x + 1) x^{2} (x - 2) + 4 (x - 2)$

Étape 8

Factorisez le polynôme en factorisant le plus grand facteur commun, $x - 2$ .

$(x + 1) (x - 2) (x^{2} + 4)$

Étape 9

Factorisez le côté gauche de l’équation.

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Étape 9.1

Regroupez les termes.

$- x^{3} + 2 x^{2} + x^{4} - 4 x - 8 = 0$

Étape 9.2

Factorisez $- x^{2}$ à partir de $- x^{3} + 2 x^{2}$ .

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Étape 9.2.1

Factorisez $- x^{2}$ à partir de $- x^{3}$ .

$- x^{2} x + 2 x^{2} + x^{4} - 4 x - 8 = 0$

Étape 9.2.2

Factorisez $- x^{2}$ à partir de $2 x^{2}$ .

$- x^{2} x - x^{2} \cdot - 2 + x^{4} - 4 x - 8 = 0$

Étape 9.2.3

Factorisez $- x^{2}$ à partir de $- x^{2} (x) - x^{2} (- 2)$ .

$- x^{2} (x - 2) + x^{4} - 4 x - 8 = 0$

Étape 9.3

Factorisez $x^{4} - 4 x - 8$ en utilisant le test des racines rationnelles.

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Étape 9.3.1

Si une fonction polynomiale a des coefficients entiers, chaque zéro rationnel aura la forme $\frac{p}{q}$ où $p$ est un facteur de la constante et $q$ est un facteur du coefficient directeur.

$p = \pm 1, \pm 8, \pm 2, \pm 4$

$q = \pm 1$

Étape 9.3.2

Déterminez chaque combinaison de $\pm \frac{p}{q}$ . Il s’agit des racines possibles de la fonction polynomiale.

$\pm 1, \pm 8, \pm 2, \pm 4$

Étape 9.3.3

Remplacez $2$ et simplifiez l’expression. Dans ce cas, l’expression est égale à $0$ donc $2$ est une racine du polynôme.

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Étape 9.3.3.1

Remplacez $2$ dans le polynôme.

$2^{4} - 4 \cdot 2 - 8$

Étape 9.3.3.2

Élevez $2$ à la puissance $4$ .

$16 - 4 \cdot 2 - 8$

Étape 9.3.3.3

Multipliez $- 4$ par $2$ .

$16 - 8 - 8$

Étape 9.3.3.4

Soustrayez $8$ de $16$ .

$8 - 8$

Étape 9.3.3.5

Soustrayez $8$ de $8$ .

$0$

Étape 9.3.4

Comme $2$ est une racine connue, divisez le polynôme par $x - 2$ pour déterminer le polynôme quotient. Ce polynôme peut alors être utilisé pour déterminer les racines restantes.

$\frac{x^{4} - 4 x - 8}{x - 2}$

Étape 9.3.5

Divisez $x^{4} - 4 x - 8$ par $x - 2$ .

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Étape 9.3.5.1

Définissez les polynômes à diviser. S’il n’y a pas de terme pour chaque exposant, insérez-en un avec une valeur de $0$ .

$x$

$2$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$4 x$

$8$

Étape 9.3.5.2

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $x^{4}$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $x$ .

$x^{3}$

$x$

$2$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$4 x$

$8$

Étape 9.3.5.3

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

$x^{3}$

$x$

$2$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$4 x$

$8$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

Étape 9.3.5.4

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $x^{4} - 2 x^{3}$

$x^{3}$

$x$

$2$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$4 x$

$8$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

Étape 9.3.5.5

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

$x^{3}$

$x$

$2$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$4 x$

$8$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

Étape 9.3.5.6

Extrayez les termes suivants du dividende d’origine dans le dividende actuel.

$x^{3}$

$x$

$2$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$4 x$

$8$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$0 x^{2}$

Étape 9.3.5.7

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $2 x^{3}$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $x$ .

$x^{3}$

$2 x^{2}$

$x$

$2$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$4 x$

$8$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$0 x^{2}$

Étape 9.3.5.8

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

$x^{3}$

$2 x^{2}$

$x$

$2$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$4 x$

$8$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$0 x^{2}$

$2 x^{3}$

$4 x^{2}$

Étape 9.3.5.9

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $2 x^{3} - 4 x^{2}$

$x^{3}$

$2 x^{2}$

$x$

$2$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$4 x$

$8$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$0 x^{2}$

$2 x^{3}$

$4 x^{2}$

Étape 9.3.5.10

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

$x^{3}$

$2 x^{2}$

$x$

$2$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$4 x$

$8$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$0 x^{2}$

$2 x^{3}$

$4 x^{2}$

Étape 9.3.5.11

Extrayez les termes suivants du dividende d’origine dans le dividende actuel.

$x^{3}$

$2 x^{2}$

$x$

$2$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$4 x$

$8$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$0 x^{2}$

$2 x^{3}$

$4 x^{2}$

$4 x$

Étape 9.3.5.12

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $4 x^{2}$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $x$ .

$x^{3}$

$2 x^{2}$

$4 x$

$x$

$2$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$4 x$

$8$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$0 x^{2}$

$2 x^{3}$

$4 x^{2}$

$4 x$

Étape 9.3.5.13

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

$x^{3}$

$2 x^{2}$

$4 x$

$x$

$2$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$4 x$

$8$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$0 x^{2}$

$2 x^{3}$

$4 x^{2}$

$4 x$

$4 x^{2}$

$8 x$

Étape 9.3.5.14

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $4 x^{2} - 8 x$

$x^{3}$

$2 x^{2}$

$4 x$

$x$

$2$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$4 x$

$8$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$0 x^{2}$

$2 x^{3}$

$4 x^{2}$

$4 x$

$4 x^{2}$

$8 x$

Étape 9.3.5.15

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

$x^{3}$

$2 x^{2}$

$4 x$

$x$

$2$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$4 x$

$8$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$0 x^{2}$

$2 x^{3}$

$4 x^{2}$

$4 x$

$4 x^{2}$

$8 x$

$4 x$

Étape 9.3.5.16

Extrayez les termes suivants du dividende d’origine dans le dividende actuel.

$x^{3}$

$2 x^{2}$

$4 x$

$x$

$2$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$4 x$

$8$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$0 x^{2}$

$2 x^{3}$

$4 x^{2}$

$4 x$

$4 x^{2}$

$8 x$

$4 x$

$8$

Étape 9.3.5.17

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $4 x$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $x$ .

$x^{3}$

$2 x^{2}$

$4 x$

$4$

$x$

$2$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$4 x$

$8$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$0 x^{2}$

$2 x^{3}$

$4 x^{2}$

$4 x$

$4 x^{2}$

$8 x$

$4 x$

$8$

Étape 9.3.5.18

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

$x^{3}$

$2 x^{2}$

$4 x$

$4$

$x$

$2$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$4 x$

$8$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$0 x^{2}$

$2 x^{3}$

$4 x^{2}$

$4 x$

$4 x^{2}$

$8 x$

$4 x$

$8$

$4 x$

$8$

Étape 9.3.5.19

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $4 x - 8$

$x^{3}$

$2 x^{2}$

$4 x$

$4$

$x$

$2$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$4 x$

$8$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$0 x^{2}$

$2 x^{3}$

$4 x^{2}$

$4 x$

$4 x^{2}$

$8 x$

$4 x$

$8$

$4 x$

$8$

Étape 9.3.5.20

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

$x^{3}$

$2 x^{2}$

$4 x$

$4$

$x$

$2$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$4 x$

$8$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$0 x^{2}$

$2 x^{3}$

$4 x^{2}$

$4 x$

$4 x^{2}$

$8 x$

$4 x$

$8$

$4 x$

$8$

$0$

Étape 9.3.5.21

Comme le reste est $0$ , la réponse finale est le quotient.

$x^{3} + 2 x^{2} + 4 x + 4$

Étape 9.3.6

Écrivez $x^{4} - 4 x - 8$ comme un ensemble de facteurs.

$- x^{2} (x - 2) + (x - 2) (x^{3} + 2 x^{2} + 4 x + 4) = 0$

Étape 9.4

Factorisez $x - 2$ à partir de $- x^{2} (x - 2) + (x - 2) (x^{3} + 2 x^{2} + 4 x + 4)$ .

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Étape 9.4.1

Factorisez $x - 2$ à partir de $- x^{2} (x - 2)$ .

$(x - 2) (- x^{2}) + (x - 2) (x^{3} + 2 x^{2} + 4 x + 4) = 0$

Étape 9.4.2

Factorisez $x - 2$ à partir de $(x - 2) (- x^{2}) + (x - 2) (x^{3} + 2 x^{2} + 4 x + 4)$ .

$(x - 2) (- x^{2} + x^{3} + 2 x^{2} + 4 x + 4) = 0$

Étape 9.5

Additionnez $- x^{2}$ et $2 x^{2}$ .

$(x - 2) (x^{3} + x^{2} + 4 x + 4) = 0$

Étape 9.6

Factorisez.

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Étape 9.6.1

Réécrivez $x^{3} + x^{2} + 4 x + 4$ en forme factorisée.

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Étape 9.6.1.1

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

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Étape 9.6.1.1.1

Regroupez les deux premiers termes et les deux derniers termes.

$(x - 2) ((x^{3} + x^{2}) + 4 x + 4) = 0$

Étape 9.6.1.1.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

$(x - 2) (x^{2} (x + 1) + 4 (x + 1)) = 0$

Étape 9.6.1.2

Factorisez le polynôme en factorisant le plus grand facteur commun, $x + 1$ .

$(x - 2) ((x + 1) (x^{2} + 4)) = 0$

Étape 9.6.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$(x - 2) (x + 1) (x^{2} + 4) = 0$

Étape 10

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x - 2 = 0$

$x + 1 = 0$

$x^{2} + 4 = 0$

Étape 11

Définissez $x - 2$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 11.1

Définissez $x - 2$ égal à $0$ .

$x - 2 = 0$

Étape 11.2

Ajoutez $2$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 2$

Étape 12

Définissez $x + 1$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 12.1

Définissez $x + 1$ égal à $0$ .

$x + 1 = 0$

Étape 12.2

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$x = - 1$

Étape 13

Définissez $x^{2} + 4$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 13.1

Définissez $x^{2} + 4$ égal à $0$ .

$x^{2} + 4 = 0$

Étape 13.2

Résolvez $x^{2} + 4 = 0$ pour $x$ .

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Étape 13.2.1

Soustrayez $4$ des deux côtés de l’équation.

$x^{2} = - 4$

Étape 13.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{- 4}$

Étape 13.2.3

Simplifiez $\pm \sqrt{- 4}$ .

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Étape 13.2.3.1

Réécrivez $- 4$ comme $- 1 (4)$ .

$x = \pm \sqrt{- 1 (4)}$

Étape 13.2.3.2

Réécrivez $\sqrt{- 1 (4)}$ comme $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{4}$ .

$x = \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{4}$

Étape 13.2.3.3

Réécrivez $\sqrt{- 1}$ comme $i$ .

$x = \pm i \cdot \sqrt{4}$

Étape 13.2.3.4

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$x = \pm i \cdot \sqrt{2^{2}}$

Étape 13.2.3.5

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$x = \pm i \cdot 2$

Étape 13.2.3.6

Déplacez $2$ à gauche de $i$ .

$x = \pm 2 i$

Étape 13.2.4

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 13.2.4.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$x = 2 i$

Étape 13.2.4.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$x = - 2 i$

Étape 13.2.4.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$x = 2 i, - 2 i$

Étape 14

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $(x - 2) (x + 1) (x^{2} + 4) = 0$ vraie.

$x = 2, - 1, 2 i, - 2 i$

Étape 15