Pré-calcul Exemples

$x^{2} + y^{2} + 20 x + 18 y + 156 = 0$

Étape 1

Soustrayez $156$ des deux côtés de l’équation.

$x^{2} + y^{2} + 20 x + 18 y = - 156$

Étape 2

Complétez le carré pour $x^{2} + 20 x$ .

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Étape 2.1

Utilisez la forme $a x^{2} + b x + c$ pour déterminer les valeurs de $a$ , $b$ et $c$ .

$a = 1$

$b = 20$

$c = 0$

Étape 2.2

Étudiez la forme du sommet d’une parabole.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Étape 2.3

Déterminez la valeur de $d$ en utilisant la formule $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Étape 2.3.1

Remplacez les valeurs de $a$ et $b$ dans la formule $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{20}{2 \cdot 1}$

Étape 2.3.2

Annulez le facteur commun à $20$ et $2$ .

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Étape 2.3.2.1

Factorisez $2$ à partir de $20$ .

$d = \frac{2 \cdot 10}{2 \cdot 1}$

Étape 2.3.2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 2.3.2.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2 \cdot 1$ .

$d = \frac{2 \cdot 10}{2 (1)}$

Étape 2.3.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$d = \frac{2 \cdot 10}{2 \cdot 1}$

Étape 2.3.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$d = \frac{10}{1}$

Étape 2.3.2.2.4

Divisez $10$ par $1$ .

$d = 10$

Étape 2.4

Déterminez la valeur de $e$ en utilisant la formule $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Étape 2.4.1

Remplacez les valeurs de $c$ , $b$ et $a$ dans la formule $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{20^{2}}{4 \cdot 1}$

Étape 2.4.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.4.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.4.2.1.1

Élevez $20$ à la puissance $2$ .

$e = 0 - \frac{400}{4 \cdot 1}$

Étape 2.4.2.1.2

Multipliez $4$ par $1$ .

$e = 0 - \frac{400}{4}$

Étape 2.4.2.1.3

Divisez $400$ par $4$ .

$e = 0 - 1 \cdot 100$

Étape 2.4.2.1.4

Multipliez $- 1$ par $100$ .

$e = 0 - 100$

Étape 2.4.2.2

Soustrayez $100$ de $0$ .

$e = - 100$

Étape 2.5

Remplacez les valeurs de $a$ , $d$ et $e$ dans la forme du sommet ${(x + 10)}^{2} - 100$ .

${(x + 10)}^{2} - 100$

Étape 3

Remplacez $x^{2} + 20 x$ par ${(x + 10)}^{2} - 100$ dans l’équation $x^{2} + y^{2} + 20 x + 18 y = - 156$ .

${(x + 10)}^{2} - 100 + y^{2} + 18 y = - 156$

Étape 4

Déplacez $- 100$ du côté droit de l’équation en ajoutant $100$ des deux côtés.

${(x + 10)}^{2} + y^{2} + 18 y = - 156 + 100$

Étape 5

Complétez le carré pour $y^{2} + 18 y$ .

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Étape 5.1

Utilisez la forme $a x^{2} + b x + c$ pour déterminer les valeurs de $a$ , $b$ et $c$ .

$a = 1$

$b = 18$

$c = 0$

Étape 5.2

Étudiez la forme du sommet d’une parabole.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Étape 5.3

Déterminez la valeur de $d$ en utilisant la formule $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Étape 5.3.1

Remplacez les valeurs de $a$ et $b$ dans la formule $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{18}{2 \cdot 1}$

Étape 5.3.2

Annulez le facteur commun à $18$ et $2$ .

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Étape 5.3.2.1

Factorisez $2$ à partir de $18$ .

$d = \frac{2 \cdot 9}{2 \cdot 1}$

Étape 5.3.2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 5.3.2.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2 \cdot 1$ .

$d = \frac{2 \cdot 9}{2 (1)}$

Étape 5.3.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$d = \frac{2 \cdot 9}{2 \cdot 1}$

Étape 5.3.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$d = \frac{9}{1}$

Étape 5.3.2.2.4

Divisez $9$ par $1$ .

$d = 9$

Étape 5.4

Déterminez la valeur de $e$ en utilisant la formule $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Étape 5.4.1

Remplacez les valeurs de $c$ , $b$ et $a$ dans la formule $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{18^{2}}{4 \cdot 1}$

Étape 5.4.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.4.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.4.2.1.1

Élevez $18$ à la puissance $2$ .

$e = 0 - \frac{324}{4 \cdot 1}$

Étape 5.4.2.1.2

Multipliez $4$ par $1$ .

$e = 0 - \frac{324}{4}$

Étape 5.4.2.1.3

Divisez $324$ par $4$ .

$e = 0 - 1 \cdot 81$

Étape 5.4.2.1.4

Multipliez $- 1$ par $81$ .

$e = 0 - 81$

Étape 5.4.2.2

Soustrayez $81$ de $0$ .

$e = - 81$

Étape 5.5

Remplacez les valeurs de $a$ , $d$ et $e$ dans la forme du sommet ${(y + 9)}^{2} - 81$ .

${(y + 9)}^{2} - 81$

Étape 6

Remplacez $y^{2} + 18 y$ par ${(y + 9)}^{2} - 81$ dans l’équation $x^{2} + y^{2} + 20 x + 18 y = - 156$ .

${(x + 10)}^{2} + {(y + 9)}^{2} - 81 = - 156 + 100$

Étape 7

Déplacez $- 81$ du côté droit de l’équation en ajoutant $81$ des deux côtés.

${(x + 10)}^{2} + {(y + 9)}^{2} = - 156 + 100 + 81$

Étape 8

Simplifiez $- 156 + 100 + 81$ .

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Étape 8.1

Additionnez $- 156$ et $100$ .

${(x + 10)}^{2} + {(y + 9)}^{2} = - 56 + 81$

Étape 8.2

Additionnez $- 56$ et $81$ .

${(x + 10)}^{2} + {(y + 9)}^{2} = 25$

Étape 9

C’est la forme d’un cercle. Utilisez cette forme pour déterminer le centre et le rayon du cercle.

${(x - h)}^{2} + {(y - k)}^{2} = r^{2}$

Étape 10

Faites correspondre les valeurs dans ce cercle avec celles de la forme normalisée. La variable $r$ représente le rayon du cercle, $h$ représente le décalage x par rapport à l’origine et $k$ représente le décalage y par rapport à l’origine.

$r = 5$

$h = - 10$

$k = - 9$

Étape 11

Le centre du cercle se trouve sur $(h, k)$ .

Centre : $(- 10, - 9)$

Étape 12

Ces valeurs représentent les valeurs importantes pour représenter graphiquement et analyser un cercle.

Centre : $(- 10, - 9)$

Rayon : $5$

Étape 13