Pré-calcul Exemples

$2 x^{2} + 2 y^{2} - 2 x - 2 y = 7$

Étape 1

Divisez les deux côtés de l’équation par $2$ .

$x^{2} + y^{2} - x - y = \frac{7}{2}$

Étape 2

Complétez le carré pour $x^{2} - x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1

Utilisez la forme $a x^{2} + b x + c$ pour déterminer les valeurs de $a$ , $b$ et $c$ .

$a = 1$

$b = - 1$

$c = 0$

Étape 2.2

Étudiez la forme du sommet d’une parabole.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Étape 2.3

Déterminez la valeur de $d$ en utilisant la formule $d = \frac{b}{2 a}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.3.1

Remplacez les valeurs de $a$ et $b$ dans la formule $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{- 1}{2 \cdot 1}$

Étape 2.3.2

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.3.2.1

Annulez le facteur commun à $- 1$ et $1$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.3.2.1.1

Réécrivez $- 1$ comme $- 1 (1)$ .

$d = \frac{- 1 (1)}{2 \cdot 1}$

Étape 2.3.2.1.2

Annulez le facteur commun.

$d = \frac{- 1 \cdot 1}{2 \cdot 1}$

Étape 2.3.2.1.3

Réécrivez l’expression.

$d = \frac{- 1}{2}$

Étape 2.3.2.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$d = - \frac{1}{2}$

Étape 2.4

Déterminez la valeur de $e$ en utilisant la formule $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.4.1

Remplacez les valeurs de $c$ , $b$ et $a$ dans la formule $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{{(- 1)}^{2}}{4 \cdot 1}$

Étape 2.4.2

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.4.2.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.4.2.1.1

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$e = 0 - \frac{1}{4 \cdot 1}$

Étape 2.4.2.1.2

Multipliez $4$ par $1$ .

$e = 0 - \frac{1}{4}$

Étape 2.4.2.2

Soustrayez $\frac{1}{4}$ de $0$ .

$e = - \frac{1}{4}$

Étape 2.5

Remplacez les valeurs de $a$ , $d$ et $e$ dans la forme du sommet ${(x - \frac{1}{2})}^{2} - \frac{1}{4}$ .

${(x - \frac{1}{2})}^{2} - \frac{1}{4}$

Étape 3

Remplacez $x^{2} - x$ par ${(x - \frac{1}{2})}^{2} - \frac{1}{4}$ dans l’équation $x^{2} + y^{2} - x - y = \frac{7}{2}$ .

${(x - \frac{1}{2})}^{2} - \frac{1}{4} + y^{2} - y = \frac{7}{2}$

Étape 4

Déplacez $- \frac{1}{4}$ du côté droit de l’équation en ajoutant $\frac{1}{4}$ des deux côtés.

${(x - \frac{1}{2})}^{2} + y^{2} - y = \frac{7}{2} + \frac{1}{4}$

Étape 5

Complétez le carré pour $y^{2} - y$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.1

Utilisez la forme $a x^{2} + b x + c$ pour déterminer les valeurs de $a$ , $b$ et $c$ .

$a = 1$

$b = - 1$

$c = 0$

Étape 5.2

Étudiez la forme du sommet d’une parabole.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Étape 5.3

Déterminez la valeur de $d$ en utilisant la formule $d = \frac{b}{2 a}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.3.1

Remplacez les valeurs de $a$ et $b$ dans la formule $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{- 1}{2 \cdot 1}$

Étape 5.3.2

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.3.2.1

Annulez le facteur commun à $- 1$ et $1$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.3.2.1.1

Réécrivez $- 1$ comme $- 1 (1)$ .

$d = \frac{- 1 (1)}{2 \cdot 1}$

Étape 5.3.2.1.2

Annulez le facteur commun.

$d = \frac{- 1 \cdot 1}{2 \cdot 1}$

Étape 5.3.2.1.3

Réécrivez l’expression.

$d = \frac{- 1}{2}$

Étape 5.3.2.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$d = - \frac{1}{2}$

Étape 5.4

Déterminez la valeur de $e$ en utilisant la formule $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.4.1

Remplacez les valeurs de $c$ , $b$ et $a$ dans la formule $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{{(- 1)}^{2}}{4 \cdot 1}$

Étape 5.4.2

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.4.2.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.4.2.1.1

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$e = 0 - \frac{1}{4 \cdot 1}$

Étape 5.4.2.1.2

Multipliez $4$ par $1$ .

$e = 0 - \frac{1}{4}$

Étape 5.4.2.2

Soustrayez $\frac{1}{4}$ de $0$ .

$e = - \frac{1}{4}$

Étape 5.5

Remplacez les valeurs de $a$ , $d$ et $e$ dans la forme du sommet ${(y - \frac{1}{2})}^{2} - \frac{1}{4}$ .

${(y - \frac{1}{2})}^{2} - \frac{1}{4}$

Étape 6

Remplacez $y^{2} - y$ par ${(y - \frac{1}{2})}^{2} - \frac{1}{4}$ dans l’équation $x^{2} + y^{2} - x - y = \frac{7}{2}$ .

${(x - \frac{1}{2})}^{2} + {(y - \frac{1}{2})}^{2} - \frac{1}{4} = \frac{7}{2} + \frac{1}{4}$

Étape 7

Déplacez $- \frac{1}{4}$ du côté droit de l’équation en ajoutant $\frac{1}{4}$ des deux côtés.

${(x - \frac{1}{2})}^{2} + {(y - \frac{1}{2})}^{2} = \frac{7}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{4}$

Étape 8

Simplifiez $\frac{7}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{4}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.1

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

${(x - \frac{1}{2})}^{2} + {(y - \frac{1}{2})}^{2} = \frac{7}{2} + \frac{1 + 1}{4}$

Étape 8.2

Additionnez $1$ et $1$ .

${(x - \frac{1}{2})}^{2} + {(y - \frac{1}{2})}^{2} = \frac{7}{2} + \frac{2}{4}$

Étape 8.3

Annulez le facteur commun à $2$ et $4$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.3.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

${(x - \frac{1}{2})}^{2} + {(y - \frac{1}{2})}^{2} = \frac{7}{2} + \frac{2 (1)}{4}$

Étape 8.3.2

Annulez les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.3.2.1

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

${(x - \frac{1}{2})}^{2} + {(y - \frac{1}{2})}^{2} = \frac{7}{2} + \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2}$

Étape 8.3.2.2

Annulez le facteur commun.

${(x - \frac{1}{2})}^{2} + {(y - \frac{1}{2})}^{2} = \frac{7}{2} + \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2}$

Étape 8.3.2.3

Réécrivez l’expression.

${(x - \frac{1}{2})}^{2} + {(y - \frac{1}{2})}^{2} = \frac{7}{2} + \frac{1}{2}$

Étape 8.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

${(x - \frac{1}{2})}^{2} + {(y - \frac{1}{2})}^{2} = \frac{7 + 1}{2}$

Étape 8.5

Simplifiez l’expression.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.5.1

Additionnez $7$ et $1$ .

${(x - \frac{1}{2})}^{2} + {(y - \frac{1}{2})}^{2} = \frac{8}{2}$

Étape 8.5.2

Divisez $8$ par $2$ .

${(x - \frac{1}{2})}^{2} + {(y - \frac{1}{2})}^{2} = 4$

Étape 9

C’est la forme d’un cercle. Utilisez cette forme pour déterminer le centre et le rayon du cercle.

${(x - h)}^{2} + {(y - k)}^{2} = r^{2}$

Étape 10

Faites correspondre les valeurs dans ce cercle avec celles de la forme normalisée. La variable $r$ représente le rayon du cercle, $h$ représente le décalage x par rapport à l’origine et $k$ représente le décalage y par rapport à l’origine.

$r = 2$

$h = \frac{1}{2}$

$k = \frac{1}{2}$

Étape 11

Le centre du cercle se trouve sur $(h, k)$ .

Centre : $(\frac{1}{2}, \frac{1}{2})$

Étape 12

Ces valeurs représentent les valeurs importantes pour représenter graphiquement et analyser un cercle.

Centre : $(\frac{1}{2}, \frac{1}{2})$

Rayon : $2$

Étape 13