Pré-calcul Exemples

$y = {(x + 5)}^{\frac{1}{2}}$

Étape 1

Interchangez les variables.

$x = {(y + 5)}^{\frac{1}{2}}$

Étape 2

Résolvez $y$ .

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Étape 2.1

Réécrivez l’équation comme ${(y + 5)}^{\frac{1}{2}} = x$ .

${(y + 5)}^{\frac{1}{2}} = x$

Étape 2.2

Élevez chaque côté de l’équation à la puissance $2$ pour éliminer l’exposant fractionnel du côté gauche.

${({(y + 5)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = x^{2}$

Étape 2.3

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.3.1

Simplifiez ${({(y + 5)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Étape 2.3.1.1

Multipliez les exposants dans ${({(y + 5)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Étape 2.3.1.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(y + 5)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = x^{2}$

Étape 2.3.1.1.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 2.3.1.1.2.1

Annulez le facteur commun.

${(y + 5)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = x^{2}$

Étape 2.3.1.1.2.2

Réécrivez l’expression.

${(y + 5)}^{1} = x^{2}$

Étape 2.3.1.2

Simplifiez

$y + 5 = x^{2}$

Étape 2.4

Soustrayez $5$ des deux côtés de l’équation.

$y = x^{2} - 5$

Étape 3

Remplacez $y$ par $f^{- 1} (x)$ pour montrer la réponse finale.

$f^{- 1} (x) = x^{2} - 5$

Étape 4

Vérifiez si $f^{- 1} (x) = x^{2} - 5$ est l’inverse de $f (x) = {(x + 5)}^{\frac{1}{2}}$ .

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Étape 4.1

Pour vérifier l’inverse, vérifiez si $f^{- 1} (f (x)) = x$ et $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Étape 4.2

Évaluez $f^{- 1} (f (x))$ .

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Étape 4.2.1

Définissez la fonction de résultat composé.

$f^{- 1} (f (x))$

Étape 4.2.2

Évaluez $f^{- 1} ({(x + 5)}^{\frac{1}{2}})$ en remplaçant la valeur de $f$ par $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} ({(x + 5)}^{\frac{1}{2}}) = {({(x + 5)}^{\frac{1}{2}})}^{2} - 5$

Étape 4.2.3

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.2.3.1

Multipliez les exposants dans ${({(x + 5)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Étape 4.2.3.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f^{- 1} ({(x + 5)}^{\frac{1}{2}}) = {(x + 5)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} - 5$

Étape 4.2.3.1.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 4.2.3.1.2.1

Annulez le facteur commun.

$f^{- 1} ({(x + 5)}^{\frac{1}{2}}) = {(x + 5)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} - 5$

Étape 4.2.3.1.2.2

Réécrivez l’expression.

$f^{- 1} ({(x + 5)}^{\frac{1}{2}}) = (x + 5) - 5$

Étape 4.2.3.2

Simplifiez

$f^{- 1} ({(x + 5)}^{\frac{1}{2}}) = x + 5 - 5$

Étape 4.2.4

Associez les termes opposés dans $x + 5 - 5$ .

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Étape 4.2.4.1

Soustrayez $5$ de $5$ .

$f^{- 1} ({(x + 5)}^{\frac{1}{2}}) = x + 0$

Étape 4.2.4.2

Additionnez $x$ et $0$ .

$f^{- 1} ({(x + 5)}^{\frac{1}{2}}) = x$

Étape 4.3

Évaluez $f (f^{- 1} (x))$ .

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Étape 4.3.1

Définissez la fonction de résultat composé.

$f (f^{- 1} (x))$

Étape 4.3.2

Évaluez $f (x^{2} - 5)$ en remplaçant la valeur de $f^{- 1}$ par $f$ .

$f (x^{2} - 5) = {((x^{2} - 5) + 5)}^{\frac{1}{2}}$

Étape 4.3.3

Associez les termes opposés dans $(x^{2} - 5) + 5$ .

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Étape 4.3.3.1

Additionnez $- 5$ et $5$ .

$f (x^{2} - 5) = {(x^{2} + 0)}^{\frac{1}{2}}$

Étape 4.3.3.2

Additionnez $x^{2}$ et $0$ .

$f (x^{2} - 5) = {(x^{2})}^{\frac{1}{2}}$

Étape 4.3.4

Multipliez les exposants dans ${(x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

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Étape 4.3.4.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (x^{2} - 5) = x^{2 (\frac{1}{2})}$

Étape 4.3.4.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 4.3.4.2.1

Annulez le facteur commun.

$f (x^{2} - 5) = x^{2 (\frac{1}{2})}$

Étape 4.3.4.2.2

Réécrivez l’expression.

$f (x^{2} - 5) = x$

Étape 4.4

Comme $f^{- 1} (f (x)) = x$ et $f (f^{- 1} (x)) = x$ , $f^{- 1} (x) = x^{2} - 5$ est l’inverse de $f (x) = {(x + 5)}^{\frac{1}{2}}$ .

$f^{- 1} (x) = x^{2} - 5$