Pré-calcul Exemples

$y = 2 e^{x - 2}$

Étape 1

Interchangez les variables.

$x = 2 e^{y - 2}$

Étape 2

Résolvez $y$ .

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Étape 2.1

Réécrivez l’équation comme $2 e^{y - 2} = x$ .

$2 e^{y - 2} = x$

Étape 2.2

Divisez chaque terme dans $2 e^{y - 2} = x$ par $2$ et simplifiez.

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Étape 2.2.1

Divisez chaque terme dans $2 e^{y - 2} = x$ par $2$ .

$\frac{2 e^{y - 2}}{2} = \frac{x}{2}$

Étape 2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.2.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 2.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 e^{y - 2}}{2} = \frac{x}{2}$

Étape 2.2.2.1.2

Divisez $e^{y - 2}$ par $1$ .

$e^{y - 2} = \frac{x}{2}$

Étape 2.3

Prenez le logarithme naturel des deux côtés de l’équation pour retirer la variable de l’exposant.

$\ln (e^{y - 2}) = \ln (\frac{x}{2})$

Étape 2.4

Développez le côté gauche.

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Étape 2.4.1

Développez $\ln (e^{y - 2})$ en déplaçant $y - 2$ hors du logarithme.

$(y - 2) \ln (e) = \ln (\frac{x}{2})$

Étape 2.4.2

Le logarithme naturel de $e$ est $1$ .

$(y - 2) \cdot 1 = \ln (\frac{x}{2})$

Étape 2.4.3

Multipliez $y - 2$ par $1$ .

$y - 2 = \ln (\frac{x}{2})$

Étape 2.5

Ajoutez $2$ aux deux côtés de l’équation.

$y = \ln (\frac{x}{2}) + 2$

Étape 3

Remplacez $y$ par $f^{- 1} (x)$ pour montrer la réponse finale.

$f^{- 1} (x) = \ln (\frac{x}{2}) + 2$

Étape 4

Vérifiez si $f^{- 1} (x) = \ln (\frac{x}{2}) + 2$ est l’inverse de $f (x) = 2 e^{x - 2}$ .

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Étape 4.1

Pour vérifier l’inverse, vérifiez si $f^{- 1} (f (x)) = x$ et $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Étape 4.2

Évaluez $f^{- 1} (f (x))$ .

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Étape 4.2.1

Définissez la fonction de résultat composé.

$f^{- 1} (f (x))$

Étape 4.2.2

Évaluez $f^{- 1} (2 e^{x - 2})$ en remplaçant la valeur de $f$ par $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (2 e^{x - 2}) = \ln (\frac{2 e^{x - 2}}{2}) + 2$

Étape 4.2.3

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.2.3.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 4.2.3.1.1

Annulez le facteur commun.

$f^{- 1} (2 e^{x - 2}) = \ln (\frac{2 e^{x - 2}}{2}) + 2$

Étape 4.2.3.1.2

Divisez $e^{x - 2}$ par $1$ .

$f^{- 1} (2 e^{x - 2}) = \ln (e^{x - 2}) + 2$

Étape 4.2.3.2

Utilisez les règles des logarithmes pour retirer $x - 2$ de l’exposant.

$f^{- 1} (2 e^{x - 2}) = (x - 2) \ln (e) + 2$

Étape 4.2.3.3

Le logarithme naturel de $e$ est $1$ .

$f^{- 1} (2 e^{x - 2}) = (x - 2) \cdot 1 + 2$

Étape 4.2.3.4

Multipliez $x - 2$ par $1$ .

$f^{- 1} (2 e^{x - 2}) = x - 2 + 2$

Étape 4.2.4

Associez les termes opposés dans $x - 2 + 2$ .

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Étape 4.2.4.1

Additionnez $- 2$ et $2$ .

$f^{- 1} (2 e^{x - 2}) = x + 0$

Étape 4.2.4.2

Additionnez $x$ et $0$ .

$f^{- 1} (2 e^{x - 2}) = x$

Étape 4.3

Évaluez $f (f^{- 1} (x))$ .

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Étape 4.3.1

Définissez la fonction de résultat composé.

$f (f^{- 1} (x))$

Étape 4.3.2

Évaluez $f (\ln (\frac{x}{2}) + 2)$ en remplaçant la valeur de $f^{- 1}$ par $f$ .

$f (\ln (\frac{x}{2}) + 2) = 2 e^{(\ln (\frac{x}{2}) + 2) - 2}$

Étape 4.3.3

Associez les termes opposés dans $(\ln (\frac{x}{2}) + 2) - 2$ .

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Étape 4.3.3.1

Soustrayez $2$ de $2$ .

$f (\ln (\frac{x}{2}) + 2) = 2 e^{\ln (\frac{x}{2}) + 0}$

Étape 4.3.3.2

Additionnez $\ln (\frac{x}{2})$ et $0$ .

$f (\ln (\frac{x}{2}) + 2) = 2 e^{\ln (\frac{x}{2})}$

Étape 4.3.4

L’élévation à une puissance et log sont des fonctions inverses.

$f (\ln (\frac{x}{2}) + 2) = 2 (\frac{x}{2})$

Étape 4.3.5

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 4.3.5.1

Annulez le facteur commun.

$f (\ln (\frac{x}{2}) + 2) = 2 (\frac{x}{2})$

Étape 4.3.5.2

Réécrivez l’expression.

$f (\ln (\frac{x}{2}) + 2) = x$

Étape 4.4

Comme $f^{- 1} (f (x)) = x$ et $f (f^{- 1} (x)) = x$ , $f^{- 1} (x) = \ln (\frac{x}{2}) + 2$ est l’inverse de $f (x) = 2 e^{x - 2}$ .

$f^{- 1} (x) = \ln (\frac{x}{2}) + 2$