Pré-calcul Exemples

$11 x^{3} + 17 x^{2} - 21 x + 5 = 0$

Étape 1

Factorisez $11 x^{3} + 17 x^{2} - 21 x + 5$ en utilisant le test des racines rationnelles.

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Étape 1.1

Si une fonction polynomiale a des coefficients entiers, chaque zéro rationnel aura la forme $\frac{p}{q}$ où $p$ est un facteur de la constante et $q$ est un facteur du coefficient directeur.

$p = \pm 1, \pm 5$

$q = \pm 1, \pm 11$

Étape 1.2

Déterminez chaque combinaison de $\pm \frac{p}{q}$ . Il s’agit des racines possibles de la fonction polynomiale.

$\pm 1, \pm 0.\overline{09}, \pm 5, \pm 0.\overline{45}$

Étape 1.3

Remplacez $0.\overline{45}$ et simplifiez l’expression. Dans ce cas, l’expression est égale à $0$ donc $0.\overline{45}$ est une racine du polynôme.

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Étape 1.3.1

Remplacez $0.\overline{45}$ dans le polynôme.

$11 \cdot {0.\overline{45}}^{3} + 17 \cdot {0.\overline{45}}^{2} - 21 \cdot 0.\overline{45} + 5$

Étape 1.3.2

Élevez $0.\overline{45}$ à la puissance $3$ .

$11 \cdot 0.09391435 + 17 \cdot {0.\overline{45}}^{2} - 21 \cdot 0.\overline{45} + 5$

Étape 1.3.3

Multipliez $11$ par $0.09391435$ .

$1.03305785 + 17 \cdot {0.\overline{45}}^{2} - 21 \cdot 0.\overline{45} + 5$

Étape 1.3.4

Élevez $0.\overline{45}$ à la puissance $2$ .

$1.03305785 + 17 \cdot 0.20661157 - 21 \cdot 0.\overline{45} + 5$

Étape 1.3.5

Multipliez $17$ par $0.20661157$ .

$1.03305785 + 3.51239669 - 21 \cdot 0.\overline{45} + 5$

Étape 1.3.6

Additionnez $1.03305785$ et $3.51239669$ .

$4.54545454 - 21 \cdot 0.\overline{45} + 5$

Étape 1.3.7

Multipliez $- 21$ par $0.\overline{45}$ .

$4.54545454 - 9.\overline{54} + 5$

Étape 1.3.8

Soustrayez $9.\overline{54}$ de $4.54545454$ .

$- 5 + 5$

Étape 1.3.9

Additionnez $- 5$ et $5$ .

$0$

Étape 1.4

Comme $0.\overline{45}$ est une racine connue, divisez le polynôme par $11 x - 5$ pour déterminer le polynôme quotient. Ce polynôme peut alors être utilisé pour déterminer les racines restantes.

$\frac{11 x^{3} + 17 x^{2} - 21 x + 5}{11 x - 5}$

Étape 1.5

Divisez $11 x^{3} + 17 x^{2} - 21 x + 5$ par $11 x - 5$ .

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Étape 1.5.1

Définissez les polynômes à diviser. S’il n’y a pas de terme pour chaque exposant, insérez-en un avec une valeur de $0$ .

$11 x$

$5$

$11 x^{3}$

$17 x^{2}$

$21 x$

$5$

Étape 1.5.2

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $11 x^{3}$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $11 x$ .

					$x^{2}$
	$11 x$	-	$5$		$11 x^{3}$	+	$17 x^{2}$	-	$21 x$	+	$5$

Étape 1.5.3

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

				$x^{2}$
$11 x$	-	$5$		$11 x^{3}$	+	$17 x^{2}$	-	$21 x$	+	$5$
			+	$11 x^{3}$	-	$5 x^{2}$

Étape 1.5.4

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $11 x^{3} - 5 x^{2}$

				$x^{2}$
$11 x$	-	$5$		$11 x^{3}$	+	$17 x^{2}$	-	$21 x$	+	$5$
			-	$11 x^{3}$	+	$5 x^{2}$

Étape 1.5.5

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

				$x^{2}$
$11 x$	-	$5$		$11 x^{3}$	+	$17 x^{2}$	-	$21 x$	+	$5$
			-	$11 x^{3}$	+	$5 x^{2}$
					+	$22 x^{2}$

Étape 1.5.6

Extrayez les termes suivants du dividende d’origine dans le dividende actuel.

				$x^{2}$
$11 x$	-	$5$		$11 x^{3}$	+	$17 x^{2}$	-	$21 x$	+	$5$
			-	$11 x^{3}$	+	$5 x^{2}$
					+	$22 x^{2}$	-	$21 x$

Étape 1.5.7

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $22 x^{2}$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $11 x$ .

				$x^{2}$	+	$2 x$
$11 x$	-	$5$		$11 x^{3}$	+	$17 x^{2}$	-	$21 x$	+	$5$
			-	$11 x^{3}$	+	$5 x^{2}$
					+	$22 x^{2}$	-	$21 x$

Étape 1.5.8

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

				$x^{2}$	+	$2 x$
$11 x$	-	$5$		$11 x^{3}$	+	$17 x^{2}$	-	$21 x$	+	$5$
			-	$11 x^{3}$	+	$5 x^{2}$
					+	$22 x^{2}$	-	$21 x$
					+	$22 x^{2}$	-	$10 x$

Étape 1.5.9

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $22 x^{2} - 10 x$

				$x^{2}$	+	$2 x$
$11 x$	-	$5$		$11 x^{3}$	+	$17 x^{2}$	-	$21 x$	+	$5$
			-	$11 x^{3}$	+	$5 x^{2}$
					+	$22 x^{2}$	-	$21 x$
					-	$22 x^{2}$	+	$10 x$

Étape 1.5.10

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

				$x^{2}$	+	$2 x$
$11 x$	-	$5$		$11 x^{3}$	+	$17 x^{2}$	-	$21 x$	+	$5$
			-	$11 x^{3}$	+	$5 x^{2}$
					+	$22 x^{2}$	-	$21 x$
					-	$22 x^{2}$	+	$10 x$
							-	$11 x$

Étape 1.5.11

Extrayez les termes suivants du dividende d’origine dans le dividende actuel.

				$x^{2}$	+	$2 x$
$11 x$	-	$5$		$11 x^{3}$	+	$17 x^{2}$	-	$21 x$	+	$5$
			-	$11 x^{3}$	+	$5 x^{2}$
					+	$22 x^{2}$	-	$21 x$
					-	$22 x^{2}$	+	$10 x$
							-	$11 x$	+	$5$

Étape 1.5.12

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $- 11 x$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $11 x$ .

				$x^{2}$	+	$2 x$	-	$1$
$11 x$	-	$5$		$11 x^{3}$	+	$17 x^{2}$	-	$21 x$	+	$5$
			-	$11 x^{3}$	+	$5 x^{2}$
					+	$22 x^{2}$	-	$21 x$
					-	$22 x^{2}$	+	$10 x$
							-	$11 x$	+	$5$

Étape 1.5.13

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

				$x^{2}$	+	$2 x$	-	$1$
$11 x$	-	$5$		$11 x^{3}$	+	$17 x^{2}$	-	$21 x$	+	$5$
			-	$11 x^{3}$	+	$5 x^{2}$
					+	$22 x^{2}$	-	$21 x$
					-	$22 x^{2}$	+	$10 x$
							-	$11 x$	+	$5$
							-	$11 x$	+	$5$

Étape 1.5.14

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $- 11 x + 5$

				$x^{2}$	+	$2 x$	-	$1$
$11 x$	-	$5$		$11 x^{3}$	+	$17 x^{2}$	-	$21 x$	+	$5$
			-	$11 x^{3}$	+	$5 x^{2}$
					+	$22 x^{2}$	-	$21 x$
					-	$22 x^{2}$	+	$10 x$
							-	$11 x$	+	$5$
							+	$11 x$	-	$5$

Étape 1.5.15

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

				$x^{2}$	+	$2 x$	-	$1$
$11 x$	-	$5$		$11 x^{3}$	+	$17 x^{2}$	-	$21 x$	+	$5$
			-	$11 x^{3}$	+	$5 x^{2}$
					+	$22 x^{2}$	-	$21 x$
					-	$22 x^{2}$	+	$10 x$
							-	$11 x$	+	$5$
							+	$11 x$	-	$5$
										$0$

Étape 1.5.16

Comme le reste est $0$ , la réponse finale est le quotient.

$x^{2} + 2 x - 1$

Étape 1.6

Écrivez $11 x^{3} + 17 x^{2} - 21 x + 5$ comme un ensemble de facteurs.

$(11 x - 5) (x^{2} + 2 x - 1) = 0$

Étape 2

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$11 x - 5 = 0$

$x^{2} + 2 x - 1 = 0$

Étape 3

Définissez $11 x - 5$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 3.1

Définissez $11 x - 5$ égal à $0$ .

$11 x - 5 = 0$

Étape 3.2

Résolvez $11 x - 5 = 0$ pour $x$ .

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Étape 3.2.1

Ajoutez $5$ aux deux côtés de l’équation.

$11 x = 5$

Étape 3.2.2

Divisez chaque terme dans $11 x = 5$ par $11$ et simplifiez.

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Étape 3.2.2.1

Divisez chaque terme dans $11 x = 5$ par $11$ .

$\frac{11 x}{11} = \frac{5}{11}$

Étape 3.2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.2.2.2.1

Annulez le facteur commun de $11$ .

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Étape 3.2.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{11 x}{11} = \frac{5}{11}$

Étape 3.2.2.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{5}{11}$

Étape 4

Définissez $x^{2} + 2 x - 1$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 4.1

Définissez $x^{2} + 2 x - 1$ égal à $0$ .

$x^{2} + 2 x - 1 = 0$

Étape 4.2

Résolvez $x^{2} + 2 x - 1 = 0$ pour $x$ .

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Étape 4.2.1

Utilisez la formule quadratique pour déterminer les solutions.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Étape 4.2.2

Remplacez les valeurs $a = 1$ , $b = 2$ et $c = - 1$ dans la formule quadratique et résolvez pour $x$ .

$\frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot (1 \cdot - 1)}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.2.3

Simplifiez

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Étape 4.2.3.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.2.3.1.1

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot - 1}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.2.3.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 1 \cdot - 1$ .

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Étape 4.2.3.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot - 1}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.2.3.1.2.2

Multipliez $- 4$ par $- 1$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 + 4}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.2.3.1.3

Additionnez $4$ et $4$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{8}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.2.3.1.4

Réécrivez $8$ comme $2^{2} \cdot 2$ .

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Étape 4.2.3.1.4.1

Factorisez $4$ à partir de $8$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 (2)}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.2.3.1.4.2

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.2.3.1.5

Extrayez les termes de sous le radical.

$x = \frac{- 2 \pm 2 \sqrt{2}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.2.3.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$x = \frac{- 2 \pm 2 \sqrt{2}}{2}$

Étape 4.2.3.3

Simplifiez $\frac{- 2 \pm 2 \sqrt{2}}{2}$ .

$x = - 1 \pm \sqrt{2}$

Étape 4.2.4

Simplifiez l’expression pour résoudre la partie $+$ du $\pm$ .

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Étape 4.2.4.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.2.4.1.1

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot - 1}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.2.4.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 1 \cdot - 1$ .

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Étape 4.2.4.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot - 1}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.2.4.1.2.2

Multipliez $- 4$ par $- 1$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 + 4}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.2.4.1.3

Additionnez $4$ et $4$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{8}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.2.4.1.4

Réécrivez $8$ comme $2^{2} \cdot 2$ .

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Étape 4.2.4.1.4.1

Factorisez $4$ à partir de $8$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 (2)}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.2.4.1.4.2

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.2.4.1.5

Extrayez les termes de sous le radical.

$x = \frac{- 2 \pm 2 \sqrt{2}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.2.4.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$x = \frac{- 2 \pm 2 \sqrt{2}}{2}$

Étape 4.2.4.3

Simplifiez $\frac{- 2 \pm 2 \sqrt{2}}{2}$ .

$x = - 1 \pm \sqrt{2}$

Étape 4.2.4.4

Remplacez le $\pm$ par $+$ .

$x = - 1 + \sqrt{2}$

Étape 4.2.5

Simplifiez l’expression pour résoudre la partie $-$ du $\pm$ .

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Étape 4.2.5.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.2.5.1.1

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot - 1}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.2.5.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 1 \cdot - 1$ .

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Étape 4.2.5.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot - 1}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.2.5.1.2.2

Multipliez $- 4$ par $- 1$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 + 4}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.2.5.1.3

Additionnez $4$ et $4$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{8}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.2.5.1.4

Réécrivez $8$ comme $2^{2} \cdot 2$ .

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Étape 4.2.5.1.4.1

Factorisez $4$ à partir de $8$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 (2)}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.2.5.1.4.2

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.2.5.1.5

Extrayez les termes de sous le radical.

$x = \frac{- 2 \pm 2 \sqrt{2}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.2.5.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$x = \frac{- 2 \pm 2 \sqrt{2}}{2}$

Étape 4.2.5.3

Simplifiez $\frac{- 2 \pm 2 \sqrt{2}}{2}$ .

$x = - 1 \pm \sqrt{2}$

Étape 4.2.5.4

Remplacez le $\pm$ par $-$ .

$x = - 1 - \sqrt{2}$

Étape 4.2.6

La réponse finale est la combinaison des deux solutions.

$x = - 1 + \sqrt{2}, - 1 - \sqrt{2}$

Étape 5

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $(11 x - 5) (x^{2} + 2 x - 1) = 0$ vraie.

$x = \frac{5}{11}, - 1 + \sqrt{2}, - 1 - \sqrt{2}$

Étape 6

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$x = \frac{5}{11}, - 1 + \sqrt{2}, - 1 - \sqrt{2}$

Forme décimale :

$x = 0.\overline{45}, 0.41421356 \dots, - 2.41421356 \dots$