Pré-calcul Exemples

$\sin (4 x) = \frac{\sqrt{3}}{2}$

Étape 1

Multipliez chaque terme par un facteur de $1$ qui rendra tous les dénominateurs égaux. Dans ce cas, tous les termes ont besoin d’un dénominateur de $2$ .

$\sin (4 x) \cdot \frac{2}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2}$

Étape 2

Multipliez l’expression par un facteur de $1$ pour créer le plus petit dénominateur commun de $2$ .

$\sin (4 x) \cdot 2$

Étape 3

Déplacez $2$ à gauche de $\sin (4 x)$ .

$\frac{2 \sin (4 x)}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2}$

Étape 4

Simplifiez $\sin (4 x) \cdot \frac{2}{2}$ .

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Étape 4.1

Divisez $2$ par $2$ .

$\sin (4 x) \cdot 1 = \frac{\sqrt{3}}{2}$

Étape 4.2

Multipliez $\sin (4 x)$ par $1$ .

$\sin (4 x) = \frac{\sqrt{3}}{2}$

Étape 5

Prenez le sinus inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $x$ de l’intérieur du sinus.

$4 x = \arcsin (\frac{\sqrt{3}}{2})$

Étape 6

Simplifiez le côté droit.

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Étape 6.1

La valeur exacte de $\arcsin (\frac{\sqrt{3}}{2})$ est $\frac{π}{3}$ .

$4 x = \frac{π}{3}$

Étape 7

Divisez chaque terme dans $4 x = \frac{π}{3}$ par $4$ et simplifiez.

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Étape 7.1

Divisez chaque terme dans $4 x = \frac{π}{3}$ par $4$ .

$\frac{4 x}{4} = \frac{\frac{π}{3}}{4}$

Étape 7.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 7.2.1

Annulez le facteur commun de $4$ .

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Étape 7.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{4 x}{4} = \frac{\frac{π}{3}}{4}$

Étape 7.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{\frac{π}{3}}{4}$

Étape 7.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 7.3.1

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$x = \frac{π}{3} \cdot \frac{1}{4}$

Étape 7.3.2

Multipliez $\frac{π}{3} \cdot \frac{1}{4}$ .

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Étape 7.3.2.1

Multipliez $\frac{π}{3}$ par $\frac{1}{4}$ .

$x = \frac{π}{3 \cdot 4}$

Étape 7.3.2.2

Multipliez $3$ par $4$ .

$x = \frac{π}{12}$

Étape 8

La fonction sinus est positive dans les premier et deuxième quadrants. Pour déterminer la deuxième solution, soustrayez l’angle de référence de $π$ pour déterminer la solution dans le deuxième quadrant.

$4 x = π - \frac{π}{3}$

Étape 9

Résolvez $x$ .

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Étape 9.1

Simplifiez

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Étape 9.1.1

Pour écrire $π$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$4 x = π \cdot \frac{3}{3} - \frac{π}{3}$

Étape 9.1.2

Associez $π$ et $\frac{3}{3}$ .

$4 x = \frac{π \cdot 3}{3} - \frac{π}{3}$

Étape 9.1.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$4 x = \frac{π \cdot 3 - π}{3}$

Étape 9.1.4

Soustrayez $π$ de $π \cdot 3$ .

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Étape 9.1.4.1

Remettez dans l’ordre $π$ et $3$ .

$4 x = \frac{3 \cdot π - π}{3}$

Étape 9.1.4.2

Soustrayez $π$ de $3 \cdot π$ .

$4 x = \frac{2 \cdot π}{3}$

Étape 9.2

Divisez chaque terme dans $4 x = \frac{2 \cdot π}{3}$ par $4$ et simplifiez.

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Étape 9.2.1

Divisez chaque terme dans $4 x = \frac{2 \cdot π}{3}$ par $4$ .

$\frac{4 x}{4} = \frac{\frac{2 \cdot π}{3}}{4}$

Étape 9.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 9.2.2.1

Annulez le facteur commun de $4$ .

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Étape 9.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{4 x}{4} = \frac{\frac{2 \cdot π}{3}}{4}$

Étape 9.2.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{\frac{2 \cdot π}{3}}{4}$

Étape 9.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 9.2.3.1

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$x = \frac{2 \cdot π}{3} \cdot \frac{1}{4}$

Étape 9.2.3.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 9.2.3.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2 \cdot π$ .

$x = \frac{2 (π)}{3} \cdot \frac{1}{4}$

Étape 9.2.3.2.2

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$x = \frac{2 (π)}{3} \cdot \frac{1}{2 (2)}$

Étape 9.2.3.2.3

Annulez le facteur commun.

$x = \frac{2 π}{3} \cdot \frac{1}{2 \cdot 2}$

Étape 9.2.3.2.4

Réécrivez l’expression.

$x = \frac{π}{3} \cdot \frac{1}{2}$

Étape 9.2.3.3

Multipliez $\frac{π}{3}$ par $\frac{1}{2}$ .

$x = \frac{π}{3 \cdot 2}$

Étape 9.2.3.4

Multipliez $3$ par $2$ .

$x = \frac{π}{6}$

Étape 10

Déterminez la période de $\sin (4 x)$ .

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Étape 10.1

La période de la fonction peut être calculée en utilisant $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Étape 10.2

Remplacez $b$ par $4$ dans la formule pour la période.

$\frac{2 π}{| 4 |}$

Étape 10.3

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $4$ est $4$ .

$\frac{2 π}{4}$

Étape 10.4

Annulez le facteur commun à $2$ et $4$ .

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Étape 10.4.1

Factorisez $2$ à partir de $2 π$ .

$\frac{2 (π)}{4}$

Étape 10.4.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 10.4.2.1

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$\frac{2 π}{2 \cdot 2}$

Étape 10.4.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 π}{2 \cdot 2}$

Étape 10.4.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{π}{2}$

Étape 11

La période de la fonction $\sin (4 x)$ est $\frac{π}{2}$ si bien que les valeurs se répètent tous les $\frac{π}{2}$ radians dans les deux sens.

$x = \frac{π}{12} + \frac{π n}{2}, \frac{π}{6} + \frac{π n}{2}$ , pour tout entier $n$