Pré-calcul Exemples

sin (x + \frac{π}{6}) - cos (x + \frac{π}{3}) = \sqrt{3} sin (x)

$\sin (x + \frac{π}{6}) - \cos (x + \frac{π}{3}) = \sqrt{3} \sin (x)$

Étape 1

Commencez du côté gauche.

sin (x + \frac{π}{6}) - cos (x + \frac{π}{3})

$\sin (x + \frac{π}{6}) - \cos (x + \frac{π}{3})$

Étape 2

Appliquez l’identité de somme d’angles.

sin (x) cos (\frac{π}{6}) + cos (x) sin (\frac{π}{6}) - cos (x + \frac{π}{3})

$\sin (x) \cos (\frac{π}{6}) + \cos (x) \sin (\frac{π}{6}) - \cos (x + \frac{π}{3})$

Étape 3

Appliquez l’identité de somme d’angles

cos (x + y) = cos (x) cos (y) - sin (x) sin (y)

$\cos (x + y) = \cos (x) \cos (y) - \sin (x) \sin (y)$ .

sin (x) cos (\frac{π}{6}) + cos (x) sin (\frac{π}{6}) - (cos (x) cos (\frac{π}{3}) - sin (x) sin (\frac{π}{3}))

$\sin (x) \cos (\frac{π}{6}) + \cos (x) \sin (\frac{π}{6}) - (\cos (x) \cos (\frac{π}{3}) - \sin (x) \sin (\frac{π}{3}))$

Étape 4

Simplifiez l’expression.

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Étape 4.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.1.1

La valeur exacte de

cos (\frac{π}{6})

$\cos (\frac{π}{6})$ est

\frac{\sqrt{3}}{2}

$\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

sin (x) \frac{\sqrt{3}}{2} + cos (x) sin (\frac{π}{6}) - (cos (x) cos (\frac{π}{3}) - sin (x) sin (\frac{π}{3}))

$\sin (x) \frac{\sqrt{3}}{2} + \cos (x) \sin (\frac{π}{6}) - (\cos (x) \cos (\frac{π}{3}) - \sin (x) \sin (\frac{π}{3}))$

Étape 4.1.2

Associez

sin (x)

$\sin (x)$ et

\frac{\sqrt{3}}{2}

$\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

\frac{sin (x) \sqrt{3}}{2} + cos (x) sin (\frac{π}{6}) - (cos (x) cos (\frac{π}{3}) - sin (x) sin (\frac{π}{3}))

$\frac{\sin (x) \sqrt{3}}{2} + \cos (x) \sin (\frac{π}{6}) - (\cos (x) \cos (\frac{π}{3}) - \sin (x) \sin (\frac{π}{3}))$

Étape 4.1.3

La valeur exacte de

sin (\frac{π}{6})

$\sin (\frac{π}{6})$ est

\frac{1}{2}

$\frac{1}{2}$ .

\frac{sin (x) \sqrt{3}}{2} + cos (x) \frac{1}{2} - (cos (x) cos (\frac{π}{3}) - sin (x) sin (\frac{π}{3}))

$\frac{\sin (x) \sqrt{3}}{2} + \cos (x) \frac{1}{2} - (\cos (x) \cos (\frac{π}{3}) - \sin (x) \sin (\frac{π}{3}))$

Étape 4.1.4

Associez

cos (x)

$\cos (x)$ et

\frac{1}{2}

$\frac{1}{2}$ .

\frac{sin (x) \sqrt{3}}{2} + \frac{cos (x)}{2} - (cos (x) cos (\frac{π}{3}) - sin (x) sin (\frac{π}{3}))

$\frac{\sin (x) \sqrt{3}}{2} + \frac{\cos (x)}{2} - (\cos (x) \cos (\frac{π}{3}) - \sin (x) \sin (\frac{π}{3}))$

Étape 4.1.5

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.1.5.1

La valeur exacte de

cos (\frac{π}{3})

$\cos (\frac{π}{3})$ est

\frac{1}{2}

$\frac{1}{2}$ .

\frac{sin (x) \sqrt{3}}{2} + \frac{cos (x)}{2} - (cos (x) \frac{1}{2} - sin (x) sin (\frac{π}{3}))

$\frac{\sin (x) \sqrt{3}}{2} + \frac{\cos (x)}{2} - (\cos (x) \frac{1}{2} - \sin (x) \sin (\frac{π}{3}))$

Étape 4.1.5.2

Associez

cos (x)

$\cos (x)$ et

\frac{1}{2}

$\frac{1}{2}$ .

\frac{sin (x) \sqrt{3}}{2} + \frac{cos (x)}{2} - (\frac{cos (x)}{2} - sin (x) sin (\frac{π}{3}))

$\frac{\sin (x) \sqrt{3}}{2} + \frac{\cos (x)}{2} - (\frac{\cos (x)}{2} - \sin (x) \sin (\frac{π}{3}))$

Étape 4.1.5.3

La valeur exacte de

sin (\frac{π}{3})

$\sin (\frac{π}{3})$ est

\frac{\sqrt{3}}{2}

$\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

\frac{sin (x) \sqrt{3}}{2} + \frac{cos (x)}{2} - (\frac{cos (x)}{2} - sin (x) \frac{\sqrt{3}}{2})

$\frac{\sin (x) \sqrt{3}}{2} + \frac{\cos (x)}{2} - (\frac{\cos (x)}{2} - \sin (x) \frac{\sqrt{3}}{2})$

Étape 4.1.5.4

Associez

\frac{\sqrt{3}}{2}

$\frac{\sqrt{3}}{2}$ et

sin (x)

$\sin (x)$ .

\frac{sin (x) \sqrt{3}}{2} + \frac{cos (x)}{2} - (\frac{cos (x)}{2} - \frac{\sqrt{3} sin (x)}{2})

$\frac{\sin (x) \sqrt{3}}{2} + \frac{\cos (x)}{2} - (\frac{\cos (x)}{2} - \frac{\sqrt{3} \sin (x)}{2})$

\frac{sin (x) \sqrt{3}}{2} + \frac{cos (x)}{2} - (\frac{cos (x)}{2} - \frac{\sqrt{3} sin (x)}{2})

$\frac{\sin (x) \sqrt{3}}{2} + \frac{\cos (x)}{2} - (\frac{\cos (x)}{2} - \frac{\sqrt{3} \sin (x)}{2})$

Étape 4.1.6

Appliquez la propriété distributive.

\frac{sin (x) \sqrt{3}}{2} + \frac{cos (x)}{2} - \frac{cos (x)}{2} - - \frac{\sqrt{3} sin (x)}{2}

$\frac{\sin (x) \sqrt{3}}{2} + \frac{\cos (x)}{2} - \frac{\cos (x)}{2} - - \frac{\sqrt{3} \sin (x)}{2}$

Étape 4.1.7

Multipliez

- - \frac{\sqrt{3} sin (x)}{2}

$- - \frac{\sqrt{3} \sin (x)}{2}$ .

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Étape 4.1.7.1

Multipliez

- 1

$- 1$ par

- 1

$- 1$ .

\frac{sin (x) \sqrt{3}}{2} + \frac{cos (x)}{2} - \frac{cos (x)}{2} + 1 \frac{\sqrt{3} sin (x)}{2}

$\frac{\sin (x) \sqrt{3}}{2} + \frac{\cos (x)}{2} - \frac{\cos (x)}{2} + 1 \frac{\sqrt{3} \sin (x)}{2}$

Étape 4.1.7.2

Multipliez

\frac{\sqrt{3} sin (x)}{2}

$\frac{\sqrt{3} \sin (x)}{2}$ par

1

$1$ .

\frac{sin (x) \sqrt{3}}{2} + \frac{cos (x)}{2} - \frac{cos (x)}{2} + \frac{\sqrt{3} sin (x)}{2}

$\frac{\sin (x) \sqrt{3}}{2} + \frac{\cos (x)}{2} - \frac{\cos (x)}{2} + \frac{\sqrt{3} \sin (x)}{2}$

\frac{sin (x) \sqrt{3}}{2} + \frac{cos (x)}{2} - \frac{cos (x)}{2} + \frac{\sqrt{3} sin (x)}{2}

$\frac{\sin (x) \sqrt{3}}{2} + \frac{\cos (x)}{2} - \frac{\cos (x)}{2} + \frac{\sqrt{3} \sin (x)}{2}$

\frac{sin (x) \sqrt{3}}{2} + \frac{cos (x)}{2} - \frac{cos (x)}{2} + \frac{\sqrt{3} sin (x)}{2}

$\frac{\sin (x) \sqrt{3}}{2} + \frac{\cos (x)}{2} - \frac{\cos (x)}{2} + \frac{\sqrt{3} \sin (x)}{2}$

Étape 4.2

Associez les termes opposés dans

\frac{sin (x) \sqrt{3}}{2} + \frac{cos (x)}{2} - \frac{cos (x)}{2} + \frac{\sqrt{3} sin (x)}{2}

$\frac{\sin (x) \sqrt{3}}{2} + \frac{\cos (x)}{2} - \frac{\cos (x)}{2} + \frac{\sqrt{3} \sin (x)}{2}$ .

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Étape 4.2.1

Soustrayez

\frac{cos (x)}{2}

$\frac{\cos (x)}{2}$ de

\frac{cos (x)}{2}

$\frac{\cos (x)}{2}$ .

\frac{sin (x) \sqrt{3}}{2} + 0 + \frac{\sqrt{3} sin (x)}{2}

$\frac{\sin (x) \sqrt{3}}{2} + 0 + \frac{\sqrt{3} \sin (x)}{2}$

Étape 4.2.2

Additionnez

\frac{sin (x) \sqrt{3}}{2}

$\frac{\sin (x) \sqrt{3}}{2}$ et

0

$0$ .

\frac{sin (x) \sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{3} sin (x)}{2}

$\frac{\sin (x) \sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{3} \sin (x)}{2}$

\frac{sin (x) \sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{3} sin (x)}{2}

$\frac{\sin (x) \sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{3} \sin (x)}{2}$

Étape 4.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

\frac{sin (x) \sqrt{3} + \sqrt{3} sin (x)}{2}

$\frac{\sin (x) \sqrt{3} + \sqrt{3} \sin (x)}{2}$

Étape 4.4

Réorganisez les facteurs de

sin (x) \sqrt{3}

$\sin (x) \sqrt{3}$ .

\frac{\sqrt{3} sin (x) + \sqrt{3} sin (x)}{2}

$\frac{\sqrt{3} \sin (x) + \sqrt{3} \sin (x)}{2}$

Étape 4.5

Additionnez

\sqrt{3} sin (x)

$\sqrt{3} \sin (x)$ et

\sqrt{3} sin (x)

$\sqrt{3} \sin (x)$ .

\frac{2 \sqrt{3} sin (x)}{2}

$\frac{2 \sqrt{3} \sin (x)}{2}$

Étape 4.6

Annulez le facteur commun de

2

$2$ .

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Étape 4.6.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 \sqrt{3} \sin (x)}{2}$

Étape 4.6.2

Divisez

$\sqrt{3} \sin (x)$ par

$1$ .

$\sqrt{3} \sin (x)$

Étape 5

Comme il a été démontré que les deux côtés étaient équivalents, l’équation est une identité.

$\sin (x + \frac{π}{6}) - \cos (x + \frac{π}{3}) = \sqrt{3} \sin (x)$ est une identité