Pré-calcul Exemples

$\sin (x + \frac{π}{6}) - \cos (x + \frac{π}{3}) = \sqrt{3} \sin (x)$

Étape 1

Commencez du côté gauche.

$\sin (x + \frac{π}{6}) - \cos (x + \frac{π}{3})$

Étape 2

Appliquez l’identité de somme d’angles.

$\sin (x) \cos (\frac{π}{6}) + \cos (x) \sin (\frac{π}{6}) - \cos (x + \frac{π}{3})$

Étape 3

Appliquez l’identité de somme d’angles $\cos (x + y) = \cos (x) \cos (y) - \sin (x) \sin (y)$ .

$\sin (x) \cos (\frac{π}{6}) + \cos (x) \sin (\frac{π}{6}) - (\cos (x) \cos (\frac{π}{3}) - \sin (x) \sin (\frac{π}{3}))$

Étape 4

Simplifiez l’expression.

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Étape 4.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.1.1

La valeur exacte de $\cos (\frac{π}{6})$ est $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$\sin (x) \frac{\sqrt{3}}{2} + \cos (x) \sin (\frac{π}{6}) - (\cos (x) \cos (\frac{π}{3}) - \sin (x) \sin (\frac{π}{3}))$

Étape 4.1.2

Associez $\sin (x)$ et $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$\frac{\sin (x) \sqrt{3}}{2} + \cos (x) \sin (\frac{π}{6}) - (\cos (x) \cos (\frac{π}{3}) - \sin (x) \sin (\frac{π}{3}))$

Étape 4.1.3

La valeur exacte de $\sin (\frac{π}{6})$ est $\frac{1}{2}$ .

$\frac{\sin (x) \sqrt{3}}{2} + \cos (x) \frac{1}{2} - (\cos (x) \cos (\frac{π}{3}) - \sin (x) \sin (\frac{π}{3}))$

Étape 4.1.4

Associez $\cos (x)$ et $\frac{1}{2}$ .

$\frac{\sin (x) \sqrt{3}}{2} + \frac{\cos (x)}{2} - (\cos (x) \cos (\frac{π}{3}) - \sin (x) \sin (\frac{π}{3}))$

Étape 4.1.5

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.1.5.1

La valeur exacte de $\cos (\frac{π}{3})$ est $\frac{1}{2}$ .

$\frac{\sin (x) \sqrt{3}}{2} + \frac{\cos (x)}{2} - (\cos (x) \frac{1}{2} - \sin (x) \sin (\frac{π}{3}))$

Étape 4.1.5.2

Associez $\cos (x)$ et $\frac{1}{2}$ .

$\frac{\sin (x) \sqrt{3}}{2} + \frac{\cos (x)}{2} - (\frac{\cos (x)}{2} - \sin (x) \sin (\frac{π}{3}))$

Étape 4.1.5.3

La valeur exacte de $\sin (\frac{π}{3})$ est $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$\frac{\sin (x) \sqrt{3}}{2} + \frac{\cos (x)}{2} - (\frac{\cos (x)}{2} - \sin (x) \frac{\sqrt{3}}{2})$

Étape 4.1.5.4

Associez $\frac{\sqrt{3}}{2}$ et $\sin (x)$ .

$\frac{\sin (x) \sqrt{3}}{2} + \frac{\cos (x)}{2} - (\frac{\cos (x)}{2} - \frac{\sqrt{3} \sin (x)}{2})$

Étape 4.1.6

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{\sin (x) \sqrt{3}}{2} + \frac{\cos (x)}{2} - \frac{\cos (x)}{2} - - \frac{\sqrt{3} \sin (x)}{2}$

Étape 4.1.7

Multipliez $- - \frac{\sqrt{3} \sin (x)}{2}$ .

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Étape 4.1.7.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$\frac{\sin (x) \sqrt{3}}{2} + \frac{\cos (x)}{2} - \frac{\cos (x)}{2} + 1 \frac{\sqrt{3} \sin (x)}{2}$

Étape 4.1.7.2

Multipliez $\frac{\sqrt{3} \sin (x)}{2}$ par $1$ .

$\frac{\sin (x) \sqrt{3}}{2} + \frac{\cos (x)}{2} - \frac{\cos (x)}{2} + \frac{\sqrt{3} \sin (x)}{2}$

Étape 4.2

Associez les termes opposés dans $\frac{\sin (x) \sqrt{3}}{2} + \frac{\cos (x)}{2} - \frac{\cos (x)}{2} + \frac{\sqrt{3} \sin (x)}{2}$ .

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Étape 4.2.1

Soustrayez $\frac{\cos (x)}{2}$ de $\frac{\cos (x)}{2}$ .

$\frac{\sin (x) \sqrt{3}}{2} + 0 + \frac{\sqrt{3} \sin (x)}{2}$

Étape 4.2.2

Additionnez $\frac{\sin (x) \sqrt{3}}{2}$ et $0$ .

$\frac{\sin (x) \sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{3} \sin (x)}{2}$

Étape 4.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{\sin (x) \sqrt{3} + \sqrt{3} \sin (x)}{2}$

Étape 4.4

Réorganisez les facteurs de $\sin (x) \sqrt{3}$ .

$\frac{\sqrt{3} \sin (x) + \sqrt{3} \sin (x)}{2}$

Étape 4.5

Additionnez $\sqrt{3} \sin (x)$ et $\sqrt{3} \sin (x)$ .

$\frac{2 \sqrt{3} \sin (x)}{2}$

Étape 4.6

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 4.6.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 \sqrt{3} \sin (x)}{2}$

Étape 4.6.2

Divisez $\sqrt{3} \sin (x)$ par $1$ .

$\sqrt{3} \sin (x)$

Étape 5

Comme il a été démontré que les deux côtés étaient équivalents, l’équation est une identité.

$\sin (x + \frac{π}{6}) - \cos (x + \frac{π}{3}) = \sqrt{3} \sin (x)$ est une identité