Pré-calcul Exemples

$\frac{\sec (θ) + \tan (θ)}{\sec (θ) - \tan (θ)} = \frac{1 + 2 \sin (θ) + \sin^{2} (θ)}{\cos^{2} (θ)}$

Étape 1

Commencez du côté droit.

$\frac{1 + 2 \sin (θ) + \sin^{2} (θ)}{\cos^{2} (θ)}$

Étape 2

Factorisez en utilisant la règle du carré parfait.

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Étape 2.1

Réécrivez $1$ comme $1^{2}$ .

$\frac{1^{2} + 2 \sin (θ) + \sin^{2} (θ)}{\cos^{2} (θ)}$

Étape 2.2

Vérifiez que le terme central est le double du produit des nombres élevés au carré dans le premier terme et le troisième terme.

$2 \sin (θ) = 2 \cdot 1 \cdot \sin (θ)$

Étape 2.3

Réécrivez le polynôme.

$\frac{1^{2} + 2 \cdot 1 \cdot \sin (θ) + \sin^{2} (θ)}{\cos^{2} (θ)}$

Étape 2.4

Factorisez en utilisant la règle trinomiale du carré parfait $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ , où $a = 1$ et $b = \sin (θ)$ .

$\frac{{(1 + \sin (θ))}^{2}}{\cos^{2} (θ)}$

Étape 3

Appliquez l’identité pythagoricienne en sens inverse.

$\frac{{(1 + \sin (θ))}^{2}}{1 - \sin^{2} (θ)}$

Étape 4

Simplifiez

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Étape 4.1

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 4.1.1

Réécrivez $1$ comme $1^{2}$ .

$\frac{{(1 + \sin (θ))}^{2}}{1^{2} - {\sin (θ)}^{2}}$

Étape 4.1.2

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = 1$ et $b = \sin (θ)$ .

$\frac{{(1 + \sin (θ))}^{2}}{(1 + \sin (θ)) (1 - \sin (θ))}$

Étape 4.2

Annulez le facteur commun à ${(1 + \sin (θ))}^{2}$ et $1 + \sin (θ)$ .

$\frac{1 + \sin (θ)}{1 - \sin (θ)}$

Étape 5

Réécrivez $\frac{1 + \sin (θ)}{1 - \sin (θ)}$ comme $\frac{\sec (θ) + \tan (θ)}{\sec (θ) - \tan (θ)}$ .

$\frac{\sec (θ) + \tan (θ)}{\sec (θ) - \tan (θ)}$

Étape 6

Comme il a été démontré que les deux côtés étaient équivalents, l’équation est une identité.

$\frac{\sec (θ) + \tan (θ)}{\sec (θ) - \tan (θ)} = \frac{1 + 2 \sin (θ) + \sin^{2} (θ)}{\cos^{2} (θ)}$ est une identité