Pré-calcul Exemples

$[\begin{array}{c} 2 & 2 \\ 3 & - 7 \end{array}]$

Étape 1

L’inverse d’une matrice $2 \times 2$ peut être déterminé en utilisant la formule $\frac{1}{a d - b c} [\begin{array}{c} d & - b \\ - c & a \end{array}]$ où $a d - b c$ est le déterminant.

Étape 2

Déterminez le déterminant.

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Étape 2.1

Le déterminant d’une matrice $2 \times 2$ peut être déterminé en utilisant la formule $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$2 \cdot - 7 - 3 \cdot 2$

Étape 2.2

Simplifiez le déterminant.

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Étape 2.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.2.1.1

Multipliez $2$ par $- 7$ .

$- 14 - 3 \cdot 2$

Étape 2.2.1.2

Multipliez $- 3$ par $2$ .

$- 14 - 6$

Étape 2.2.2

Soustrayez $6$ de $- 14$ .

$- 20$

Étape 3

Comme le déterminant est non nul, l’inverse existe.

Étape 4

Remplacez l’inverse dans la formule par les valeurs connues.

$\frac{1}{- 20} [\begin{array}{c} - 7 & - 2 \\ - 3 & 2 \end{array}]$

Étape 5

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{1}{20} [\begin{array}{c} - 7 & - 2 \\ - 3 & 2 \end{array}]$

Étape 6

Multipliez $- \frac{1}{20}$ par chaque élément de la matrice.

$[\begin{array}{c} - \frac{1}{20} \cdot - 7 & - \frac{1}{20} \cdot - 2 \\ - \frac{1}{20} \cdot - 3 & - \frac{1}{20} \cdot 2 \end{array}]$

Étape 7

Simplifiez chaque élément dans la matrice.

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Étape 7.1

Multipliez $- \frac{1}{20} \cdot - 7$ .

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Étape 7.1.1

Multipliez $- 7$ par $- 1$ .

$[\begin{array}{c} 7 (\frac{1}{20}) & - \frac{1}{20} \cdot - 2 \\ - \frac{1}{20} \cdot - 3 & - \frac{1}{20} \cdot 2 \end{array}]$

Étape 7.1.2

Associez $7$ et $\frac{1}{20}$ .

$[\begin{array}{c} \frac{7}{20} & - \frac{1}{20} \cdot - 2 \\ - \frac{1}{20} \cdot - 3 & - \frac{1}{20} \cdot 2 \end{array}]$

Étape 7.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 7.2.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{1}{20}$ dans le numérateur.

$[\begin{array}{c} \frac{7}{20} & \frac{- 1}{20} \cdot - 2 \\ - \frac{1}{20} \cdot - 3 & - \frac{1}{20} \cdot 2 \end{array}]$

Étape 7.2.2

Factorisez $2$ à partir de $20$ .

$[\begin{array}{c} \frac{7}{20} & \frac{- 1}{2 (10)} \cdot - 2 \\ - \frac{1}{20} \cdot - 3 & - \frac{1}{20} \cdot 2 \end{array}]$

Étape 7.2.3

Factorisez $2$ à partir de $- 2$ .

$[\begin{array}{c} \frac{7}{20} & \frac{- 1}{2 \cdot 10} \cdot (2 \cdot - 1) \\ - \frac{1}{20} \cdot - 3 & - \frac{1}{20} \cdot 2 \end{array}]$

Étape 7.2.4

Annulez le facteur commun.

$[\begin{array}{c} \frac{7}{20} & \frac{- 1}{2 \cdot 10} \cdot (2 \cdot - 1) \\ - \frac{1}{20} \cdot - 3 & - \frac{1}{20} \cdot 2 \end{array}]$

Étape 7.2.5

Réécrivez l’expression.

$[\begin{array}{c} \frac{7}{20} & \frac{- 1}{10} \cdot - 1 \\ - \frac{1}{20} \cdot - 3 & - \frac{1}{20} \cdot 2 \end{array}]$

Étape 7.3

Associez $\frac{- 1}{10}$ et $- 1$ .

$[\begin{array}{c} \frac{7}{20} & \frac{- - 1}{10} \\ - \frac{1}{20} \cdot - 3 & - \frac{1}{20} \cdot 2 \end{array}]$

Étape 7.4

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$[\begin{array}{c} \frac{7}{20} & \frac{1}{10} \\ - \frac{1}{20} \cdot - 3 & - \frac{1}{20} \cdot 2 \end{array}]$

Étape 7.5

Multipliez $- \frac{1}{20} \cdot - 3$ .

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Étape 7.5.1

Multipliez $- 3$ par $- 1$ .

$[\begin{array}{c} \frac{7}{20} & \frac{1}{10} \\ 3 (\frac{1}{20}) & - \frac{1}{20} \cdot 2 \end{array}]$

Étape 7.5.2

Associez $3$ et $\frac{1}{20}$ .

$[\begin{array}{c} \frac{7}{20} & \frac{1}{10} \\ \frac{3}{20} & - \frac{1}{20} \cdot 2 \end{array}]$

Étape 7.6

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 7.6.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{1}{20}$ dans le numérateur.

$[\begin{array}{c} \frac{7}{20} & \frac{1}{10} \\ \frac{3}{20} & \frac{- 1}{20} \cdot 2 \end{array}]$

Étape 7.6.2

Factorisez $2$ à partir de $20$ .

$[\begin{array}{c} \frac{7}{20} & \frac{1}{10} \\ \frac{3}{20} & \frac{- 1}{2 (10)} \cdot 2 \end{array}]$

Étape 7.6.3

Annulez le facteur commun.

$[\begin{array}{c} \frac{7}{20} & \frac{1}{10} \\ \frac{3}{20} & \frac{- 1}{2 \cdot 10} \cdot 2 \end{array}]$

Étape 7.6.4

Réécrivez l’expression.

$[\begin{array}{c} \frac{7}{20} & \frac{1}{10} \\ \frac{3}{20} & \frac{- 1}{10} \end{array}]$

Étape 7.7

Placez le signe moins devant la fraction.

$[\begin{array}{c} \frac{7}{20} & \frac{1}{10} \\ \frac{3}{20} & - \frac{1}{10} \end{array}]$