Pré-calcul Exemples

$3 x \leq 20 - 2 x^{2}$

Étape 1

Ajoutez $2 x^{2}$ aux deux côtés de l’inégalité.

$3 x + 2 x^{2} \leq 20$

Étape 2

Convertissez l’inégalité en une équation.

$3 x + 2 x^{2} = 20$

Étape 3

Soustrayez $20$ des deux côtés de l’équation.

$3 x + 2 x^{2} - 20 = 0$

Étape 4

Factorisez le côté gauche de l’équation.

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Étape 4.1

Laissez $u = x$ . Remplacez toutes les occurrences de $x$ par $u$ .

$3 u + 2 u^{2} - 20 = 0$

Étape 4.2

Factorisez par regroupement.

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Étape 4.2.1

Remettez les termes dans l’ordre.

$2 u^{2} + 3 u - 20 = 0$

Étape 4.2.2

Pour un polynôme de la forme $a x^{2} + b x + c$ , réécrivez le point milieu comme la somme de deux termes dont le produit est $a \cdot c = 2 \cdot - 20 = - 40$ et dont la somme est $b = 3$ .

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Étape 4.2.2.1

Factorisez $3$ à partir de $3 u$ .

$2 u^{2} + 3 (u) - 20 = 0$

Étape 4.2.2.2

Réécrivez $3$ comme $- 5$ plus $8$

$2 u^{2} + (- 5 + 8) u - 20 = 0$

Étape 4.2.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$2 u^{2} - 5 u + 8 u - 20 = 0$

Étape 4.2.3

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

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Étape 4.2.3.1

Regroupez les deux premiers termes et les deux derniers termes.

$(2 u^{2} - 5 u) + 8 u - 20 = 0$

Étape 4.2.3.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

$u (2 u - 5) + 4 (2 u - 5) = 0$

Étape 4.2.4

Factorisez le polynôme en factorisant le plus grand facteur commun, $2 u - 5$ .

$(2 u - 5) (u + 4) = 0$

Étape 4.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x$ .

$(2 x - 5) (x + 4) = 0$

Étape 5

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$2 x - 5 = 0$

$x + 4 = 0$

Étape 6

Définissez $2 x - 5$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 6.1

Définissez $2 x - 5$ égal à $0$ .

$2 x - 5 = 0$

Étape 6.2

Résolvez $2 x - 5 = 0$ pour $x$ .

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Étape 6.2.1

Ajoutez $5$ aux deux côtés de l’équation.

$2 x = 5$

Étape 6.2.2

Divisez chaque terme dans $2 x = 5$ par $2$ et simplifiez.

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Étape 6.2.2.1

Divisez chaque terme dans $2 x = 5$ par $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{5}{2}$

Étape 6.2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 6.2.2.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 6.2.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 x}{2} = \frac{5}{2}$

Étape 6.2.2.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{5}{2}$

Étape 7

Définissez $x + 4$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 7.1

Définissez $x + 4$ égal à $0$ .

$x + 4 = 0$

Étape 7.2

Soustrayez $4$ des deux côtés de l’équation.

$x = - 4$

Étape 8

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $(2 x - 5) (x + 4) = 0$ vraie.

$x = \frac{5}{2}, - 4$

Étape 9

Utilisez chaque racine pour créer des intervalles de test.

$x < - 4$

$- 4 < x < \frac{5}{2}$

$x > \frac{5}{2}$

Étape 10

Choisissez une valeur de test depuis chaque intervalle et placez cette valeur dans l’inégalité d’origine afin de déterminer quels intervalles satisfont à l’inégalité.

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Étape 10.1

Testez une valeur sur l’intervalle $x < - 4$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 10.1.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $x < - 4$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = - 6$

Étape 10.1.2

Remplacez $x$ par $- 6$ dans l’inégalité d’origine.

$3 (- 6) \leq 20 - 2 {(- 6)}^{2}$

Étape 10.1.3

Le côté gauche $- 18$ est supérieur au côté droit $- 52$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est faux.

Faux

Étape 10.2

Testez une valeur sur l’intervalle $- 4 < x < \frac{5}{2}$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 10.2.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $- 4 < x < \frac{5}{2}$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 0$

Étape 10.2.2

Remplacez $x$ par $0$ dans l’inégalité d’origine.

$3 (0) \leq 20 - 2 {(0)}^{2}$

Étape 10.2.3

Le côté gauche $0$ est inférieur au côté droit $20$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est toujours vrai.

Vrai

Étape 10.3

Testez une valeur sur l’intervalle $x > \frac{5}{2}$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 10.3.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $x > \frac{5}{2}$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 5$

Étape 10.3.2

Remplacez $x$ par $5$ dans l’inégalité d’origine.

$3 (5) \leq 20 - 2 {(5)}^{2}$

Étape 10.3.3

Le côté gauche $15$ est supérieur au côté droit $- 30$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est faux.

Faux

Étape 10.4

Comparez les intervalles afin de déterminer lesquels satisfont à l’inégalité d’origine.

$x < - 4$ Faux

$- 4 < x < \frac{5}{2}$ Vrai

$x > \frac{5}{2}$ Faux

$x < - 4$ Faux

$- 4 < x < \frac{5}{2}$ Vrai

$x > \frac{5}{2}$ Faux

Étape 11

La solution se compose de tous les intervalles vrais.

$- 4 \leq x \leq \frac{5}{2}$

Étape 12

Convertissez l’inégalité en une notation d’intervalle.

$[- 4, \frac{5}{2}]$

Étape 13